[PDF] Résumé intégrales généralisées





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Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Si l'intégrale n'est pas convergente on dira qu'elle est divergente. converge en tous ces points



Intégrales convergentes

9 mai 2012 bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



Chapitre 3 Intégrale double

On dit qu'une fonction f: R. R est une fonction en escalier si f est bornée sur R et s'il existe un quadrillage {Rij} de R en sous rectangles Rij = [xi?1 



Espérance

On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X ? x1



Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

Faire quelques rappels sur l'intégrale de Riemann des fonctions d'une variable. On dit qu'un domaine D de R2 est régulier si D se décompose (se.



Un gUide de lUtilisateUr dU concept de développement HUmain

Le développement ne peut se limiter à une simple croissance économique. Pour être authentique il faut être complet : intégral



Sans titre

On dit qu'une intégrale diverge si elle n'est pas convergente. Étudier la nature d'une intégrale impropre c'est déterminer si elle converge ou non.



Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)

Lorsqu'on sait calculer explicitement une primitive une premi`ere mani`ere de vérifier qu'une intégrale impropre est convergente est donc d'examiner la 



Résumé intégrales généralisées

3 nov. 2013 Si l'intégrale ? b a f (t)dt ne converge pas on dit qu'elle diverge. Étudier la nature d'une intégrale



Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches - Dunod

Fiche 103 Qu’est-ce qu’une intégrale? 406 Fiche 104 Intégrale d’une fonction en escaliers 408 Fiche 105 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 413 Fiche 106 Calcul intégral 419 Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425 Fiche 108 Calcul approché d’intégrales 427 viii



CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques

Ce symbole fait penser à un "S" allongé et s'explique par le fait que l'intégral est égal à une aire calculée comme somme infinie d'autres aires Plus tard un second mathématicien allemand Bernhard Riemann(1826 ; 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral



Chapitre 1 : Intégrales définies - unicefr

Chapitre 1 : Intégrales définies La théorie de l’intégration est issue de la nécessité pratique de calculer les aires et les volumes Dans tout le chapitre nous ne considérerons que des fonctions continues I Construction de l’intégrale() b a ?f tdt fcontinue sur [a ; b] :



Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x



INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

de l’intégrale il faut s’intéresser au comportement au voisinage de 0 et de +1 Si 0

Quelle est la définition de l’intégrale ?

L’intégrale est l’aire du demi-disque de rayon 1 soit ? 2 . Conclusion : Z1 ?1 p 1?x2dx= ? 2 ?1 1 1 y= ? 1?x2 O C 1.4 Dé?nition cinématique de l’intégrale On a donné une dé?nition géométrique de l’intégrale, on peut aussi en don- ner une dé?nition cinématique.

Comment calculer les intégrales?

Calculs d’intégrales 1) Définition Propriétés 4 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, aet b deux réels de I. Si F est une primitive quelconque de f sur I, ?f F F( )d = ?( )( ) b a x x b a. Démonstration : La dérivée de la fonction G définie sur ? ?? ?a b; par G f( ) ( )=?d

Comment calculer l’intégrale de référence?

dt tx t ?= = ln(x) or lim ln( ) x x =+? Donc l’intégrale diverge. 1 1 t dt ? +?z converge si et seulement si ?> 1 Intégrale de référence Interprétation graphique : L’aire sous la courbe à droite de 1 est finie pour la courbe y = 1

Comment savoir si l’intégrale est intégrable?

On dit aussi que f est intégrable sur [a ; +?[ dans le premier cas, et que f n’est pas intégrable sur [a ; +?[ dans le second cas. Exemples : a) Convergence de 0 edtt 0 0 1 x edt e e?? ?tt x=???=?+x 0 lim 0 1 1 x t x edt? ?+? ?=?+= Donc l’intégrale converge et 0

Résumé intégrales généralisées

Gilbert Primet

3 novembre 2013

On est invité à réfléchir aux exemples donnés.

1 Convergence, divergence d"une intégrale

1.1 Définitions

1. Soitf2CM([a,b[,K)(KAERouC, (a,b)2R£R,aÇbOnditquel"intégraleRb

af(t)dt converge lorsque l"application de [a,b[ dans

K:x7!Rx

af(t)dtpossède unelimite finielorsquextend versb. Cette limite est alors appelée l"intégrale deaàbdefet est notée :Rb af(t)dt.

Si l"intégraleRb

af(t)dtne converge pas, on dit qu"ellediverge. Étudier lanatured"une intégrale, c"est dire si elle converge ou si elle diverge.

Remarques

(a) Sibestréelet sifadmet une limite finie enb, alors, l"intégraleRb af(t)dtconverge. On dit qu"elle est faussement généralisée. (b) SibAEÅ1et sifadmet une limite enbautre que 0, alors,Rb af(t)dtdiverge. On dit que la divergence est grossière.

Par contrapposition, si l"intégraleRÅ1

af(t)dtconverge et sifa une limite finie enÅ1, cette limite est forcément 0. Attention,fpeut ne pas avoir de limite enÅ1. Exemple : soitfla fonction définie sur R )AEn,fest nulle surh n,nÅ12

¡13n3i

et surh12Å13n3,nÅ1i ,fest affine surh nÅ12

¡13n3,nÅ12

i et surh nÅ12 ,nÅ12

Å13n3i

. Enfin,fest nulle sur [0,1]. (Faire un dessin)fn"a pas de limite en

Å1, maisRÅ1

0f(t)dtconverge.

(c) Sic2]a,b[, les intégralesRb af(t)dtetRb cf(t)dtsont de même nature, et en cas de convergence : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt(Relation de Chasles) (d) Si Rb af(t)dtconverge, alors limx!b¡Rb xf(t)dtAE0

2. On a des notions identiques lorsquefest continue par morceaux sur ]a,b], en considérant

la limite dex7!Rb xf(t)dtena.

3. Soitf2CM(]a,b[,K), on dit queRb

af(t)dtconverge lorsque pour un certainc2]a,b[, les intégralesRc af(t)dt etRb cf(t)dtconvergent. Lorsque c"est le cas , on pose par définition : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt 1

(La nature de l"intégrale et sa valeur sont indépendantes decd"après la relation de Chasles).

RemarqueSelon l"exemple, on aura affaire à une intégrale généralisée sur un intervalle de

type [a,b[,]a,b],]a,b[,¢¢¢ou non généralisée (Fonction continue par morceaux sur un seg-

ment [a,b]). Il appartient au lecteur de déterminer le cas où l"on est, en prenant garde de ne pas inclure une extrémité où l"intégrale n"est pas généralisée). Å1

0e¡atdtconverge et :RÅ1

0e¡atdtAE1a

R1

0ln(t)dtconverge.RÅ1

1dtt

®converge()®È1R1

0dtt

®converge()®Ç1

1.2 Propriétés

1.2.1 Somme

fetgsont des fonctions continues par morceaux sur un intervalle d"extrémitésaetb. - Si Rb af(t)dtetRb ag(t)dtconvergent, alorsRb a(f(t)Åg(t))dtconverge et Z b a (f(t)Åg(t))dtAEZ b a f(t)dtÅZ b a g(t)dt - Si Rb af(t)dtconverge etRb ag(t)dtdiverge , alorsRb a(f(t)Åg(t))dtdiverge. - SiRb af(t)dtetRb ag(t)dtdivergent, alors on ne peut rien dire sur la nature deRb a(f(t)Åg(t))dt

1.2.2 Produit par un scalaire

af(t)dtetRb a¸f(t)dtsont de même nature, et en cas de convergence :Zb a

¸f(t)dtAE¸Z

b a f(t)dt

1.2.3 Cas des fonctions à valeurs complexes

R b af(t)dtconverge si et seulement siRb aRe(f)(t)dtetRb aIm(f)(t)dtconvergent et en cas de convergence :Zb a f(t)dtAEZ b a

Re(f)(t)dtÅiZ

b a

Im(f)(t)dt

1.2.4 Conjugaison

Si Rb af(t)dtconverge, alorsRb af(t)dtconverge etRb af(t)dtAER b af(t)dt

1.2.5 Cas d"une décomposition de la fonction à intégrer

Lorsque la fonction à intégrer est décomposée en somme, par exemple, dans le cas d"une

décomposition en éléments simples, il convient de rester prudent : les intégrales des différents

termes peuvent diverger, même si l"intégrale initiale converge. Dans ce cas il faut rester entre des

bornes finies puis passer à la limite, en recherchant les compensations de termes.

Exemple : Calculer

RÅ1

0dt(tÅ1)(t2Å1)

2

2 Cas des fonctions à valeurs réelles positives

2.1 Ordre et comparaison

Soientfetgdes fonctions continues par morceaux sur [a,b[ à valeurs réelles positives. majorationRb af(t)dtconverge()(x2[a,bj7!Rx af(t)dt) est majorée.

Si c"est le cas :Zb

a f(t)dtAEsup x2[a,b[Z x a f(t)dt Prépondérance,négligeabilitéSifAEOb(g) alors :Rb ag(t)dtconverge)Rb af(t)dtconverge. (et donc par contrapposition :Rb af(t)dtdiverge)Rb ag(t)dtdiverge.) (Ceci vaut donc en particulier sifAEob(g)) Application classique: comparaison à une intégrale de Riemann par calcul de la limite enb det®f(t) (sibAEÅ1), ou de (b¡t)®f(t) (Sib2R), avec®judicieusement choisi.

OrdreSifÉgalors :

Z b a g(t)dtconverge)Z b a f(t)dtconverge etZ b a f(t)dtÉZ b a g(t)dt (et donc par contrapposition : Rb af(t)dtdiverge)Rb ag(t)dtdiverge) (Il suffit d"avoir l"inégalitéfÉgsur un certain intervalle [c,b[,c2[a,b[)

ÉquivalentsSif»bg, alorsRb

af(t)dtetRb ag(t)dtsont de même nature.

Remarques

1. Il suffit quef(oug) soit de signe constant au voisinage deb

2. La condition du signe est essentielle. On pourra par exemple montrer en exercice que

RÅ1

1(¡1)E(t)pt

dtconverge, alors queRÅ1 1³ (¡1)E(t)pt

Å1t

dtdiverge, bien que les deux fonc- tions à intégrer soient équivalentes enÅ1

3. Pour le calcul de l"intégrale, on ne peut bien sûr pas remplacer une fonction par une

fonction équivalente. Cas d"un l"intervalle ]a,b]On a des théorèmes identiques, en les transposant bien entendu ena.

RemarquePour l"application d"un critère, on risque parfois d"introduire des problèmes de diver-

gence à l"autre extrémité de l"intervalle en changeant de fonction. Il faut alors restreindre

l"intervalle. Un cas classique est la comparaison enÅ1avec1t

2.2 Comparaison série-intégrale

2.2.1 Théorème de comparaison série-intégrale

Soitfune fonction continue par morceaux, positive, décroissante sur [N,Å1[,N2N. Alors :

1. La série de terme généralwnAERn

n¡1f(t)dt¡f(n) converge

2. La sérieP

nÊNf(n) et l"intégraleRÅ1

Nf(t)dtsont de même nature.

2.2.2 Exemples

1. La série de Riemann

P nÊ11n

®converge si et seulement si®È1

3

2. La série de Bertrand

P nÊ21n ®ln(n)¯, (®,¯)2R2converge si et seulement si®È1 ou (®AE

1 et¯È1).

(En fait si®est différent de 1, on utilise la comparaison avec1n

¯, où¯est compris entre®et

1. La comparaison série-intégrale n"est utilisée que dans le cas®AE1 pour¯È0.)

3. On peut aussi utiliser des intégrales pour encadrer la somme partielle d"une série ou le reste

d"une sériePf(n), oùfest une fonction monotone positive, pour par exemple trouver

un équivalent de la somme partielle (lorsque la série diverge) ou du reste (lorsque la série

converge). On pourra par exemple examiner le cas des séries de RiemannP1n

®: Si®Ç1,Sn»11¡®n1¡®

et si®È1Rn»1®¡11n

®¡1

2.3 Convergence absolue

On revient à des fonctions quelconques

2.3.1 Convergence absolue

SoitIun intervalle non trivial etfune fonction deIdansKcontinue par morceaux. On dit que l"intégraleR

If(t)dt converge absolumentlorsqueR

Ijf(t)jdtconverge.

2.3.2 Propriété

Si l"intégrale

R If(t)dtconverge absolument, alors elle converge et :Z I f(t)dtÉ Z I jf(t)jdt

2.3.3 Application

On peut utiliser surjfjles critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives. Lorsque par exempleIAE]a,b] : sijfj Égoujfj AEoa(g), et queR

Igconverge (gétant définie et

continue par morceaux surI), alorsR

Ifconverge absolument donc converge.

2.3.4 Exemple

1.8®2]1,2[RÅ1

0sintt

®converge absolument.

2.8®2]0,1]RÅ1

0sintt

®converge mais ne converge pas absolument. (Exemple à savoir retrou- montrer la convergence, on fait une intégration par parties sur [1,Å1[, et pour montrer la non convergence absolue, on montre la divergence de la série de terme généralR(nÅ1)¼ n¼jsintjt par un changement de variablestAEuÅn¼)

3. L"exemple précédent montre en particulier que la convergence n"implique pas la conver-

gence absolue.

3 Fonctions intégrables

3.1 Définition

On dit qu"une fonction continue par morceaux sur un intervalleIà valeurs dansKest inté- grable lorsque l"on est dans l"un des deux cas suivants : 4

1.Iest un segment [a,b]((a,b)2R2)

2.In"est pas un segment et l"intégrale généraliséeR

If(t)dtconverge absolument (c"est-à-direR

Ijf(t)jdtconverge)

3.1.1 Notation

On noteL1(I,K) l"ensemble des fonctions deIdansKcontinues par morceaux intégrables sur I

3.2 Propriétés

3.2.1 Caractérisation

fest intégrable surIsi et seulement si l"ensemble des intégralesR

Jjf(t)jdt, (oùJest unseg-

mentinclus dansI) est majoré. Ce critère sert à unifier la définition mais est peu commode d"emploi.

3.2.2 Linéarité

Sifetgsont des fonctions intégrables surI, alorsfÅget¸fsont intégrables surIet : Z I jfÅgjÉZ I jfjÅZ I jgj

En particulier,L1(I,K) est unKespace vectoriel.

3.2.3 Conjugaison

Sifest intégrable sur un intervalleI, alorsfest intégrable surI

3.2.4 Chasles

SoientIetJdeux intervalles réels non triviaux tels queI[Jsoit un intervalle, et tels queI\J

soit un singleton ou vide (autrement dit :IetJont une extrémité réelle commune, sont situés de

part et d"autre de cette extrémité commune qui appartient à au moins un des deux intervalles).

Sif:I[J!Kest intégrable surIet surJ, alorsfest intégrable surI[Jet Z

I[JfAEZ

I fÅZ J f

3.2.5 Produit, inégalité de la moyenne

Sifetgsont des fonctions continues par morceaux,fintégrable surIetgbornée surI, alors f gest intégrable surIet :Z I f gÉ Z I jf gjÉsup IjgjZ I jfj

3.3 Changement de variables,intégration par parties

3.3.1 Changement de variables dans les intégrales généralisées

SoientIetJdeux intervalles réels non triviaux,fune application continue deIdansK,'une bijection de classeC1deJsurI.

Alors :

5

1.fest intégrable surIsi et seulement sif±'j'0jest intégrable surJ.

2. Si c"est le cas :

Z J f±'j'0jAEZ I f Remarque'est nécessairement strictement monotone. La valeur absolue est là pour rétablir l"ordre des bornes deJlorsque'est décroissante.

3.3.2 Intégration par parties

On ne donne pas de théorème général. On intègre d"abord sur un segment, et on passe à la

limite

3.4 Fonctions de carré intégrable

3.4.1 Définition

On dit qu"une fonctionfcontinue sur un intervalleIà valeurs dansKest de carré intégrable surIlorsquejfj2est intégrable surI NotationOn noteL2(I,K) l"ensemble des fonctions de carré intégrable surIà valeurs dansK.

3.4.2 Inégalité de Schwarz

Soientfetgdes fonctions de carré intégrable surI. Alorsf gest intégrable surIet :Z If g2 Z I 2 ÉZ I jfj2Z I jgj2

3.4.3 Espace vectorielL2(I,K)

Si (f,g)2L2(I,K)2et¸2K, alorsfÅg2L2(I,K) et¸f2L2(I,K). L

2(I,K) est donc unKespace vectoriel (car il contient la fonction nulle surI).

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