Chapitre 7 : Intégrales généralisées
Si l'intégrale n'est pas convergente on dira qu'elle est divergente. converge en tous ces points
Intégrales convergentes
9 mai 2012 bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
Chapitre 3 Intégrale double
On dit qu'une fonction f: R. R est une fonction en escalier si f est bornée sur R et s'il existe un quadrillage {Rij} de R en sous rectangles Rij = [xi?1
Espérance
On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X ? x1
Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration
Faire quelques rappels sur l'intégrale de Riemann des fonctions d'une variable. On dit qu'un domaine D de R2 est régulier si D se décompose (se.
Un gUide de lUtilisateUr dU concept de développement HUmain
Le développement ne peut se limiter à une simple croissance économique. Pour être authentique il faut être complet : intégral
Sans titre
On dit qu'une intégrale diverge si elle n'est pas convergente. Étudier la nature d'une intégrale impropre c'est déterminer si elle converge ou non.
Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)
Lorsqu'on sait calculer explicitement une primitive une premi`ere mani`ere de vérifier qu'une intégrale impropre est convergente est donc d'examiner la
Résumé intégrales généralisées
3 nov. 2013 Si l'intégrale ? b a f (t)dt ne converge pas on dit qu'elle diverge. Étudier la nature d'une intégrale
Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches - Dunod
Fiche 103 Qu’est-ce qu’une intégrale? 406 Fiche 104 Intégrale d’une fonction en escaliers 408 Fiche 105 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 413 Fiche 106 Calcul intégral 419 Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425 Fiche 108 Calcul approché d’intégrales 427 viii
CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques
Ce symbole fait penser à un "S" allongé et s'explique par le fait que l'intégral est égal à une aire calculée comme somme infinie d'autres aires Plus tard un second mathématicien allemand Bernhard Riemann(1826 ; 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral
Chapitre 1 : Intégrales définies - unicefr
Chapitre 1 : Intégrales définies La théorie de l’intégration est issue de la nécessité pratique de calculer les aires et les volumes Dans tout le chapitre nous ne considérerons que des fonctions continues I Construction de l’intégrale() b a ?f tdt fcontinue sur [a ; b] :
Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr
La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr
de l’intégrale il faut s’intéresser au comportement au voisinage de 0 et de +1 Si 0
Quelle est la définition de l’intégrale ?
L’intégrale est l’aire du demi-disque de rayon 1 soit ? 2 . Conclusion : Z1 ?1 p 1?x2dx= ? 2 ?1 1 1 y= ? 1?x2 O C 1.4 Dé?nition cinématique de l’intégrale On a donné une dé?nition géométrique de l’intégrale, on peut aussi en don- ner une dé?nition cinématique.
Comment calculer les intégrales?
Calculs d’intégrales 1) Définition Propriétés 4 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, aet b deux réels de I. Si F est une primitive quelconque de f sur I, ?f F F( )d = ?( )( ) b a x x b a. Démonstration : La dérivée de la fonction G définie sur ? ?? ?a b; par G f( ) ( )=?d
Comment calculer l’intégrale de référence?
dt tx t ?= = ln(x) or lim ln( ) x x =+? Donc l’intégrale diverge. 1 1 t dt ? +?z converge si et seulement si ?> 1 Intégrale de référence Interprétation graphique : L’aire sous la courbe à droite de 1 est finie pour la courbe y = 1
Comment savoir si l’intégrale est intégrable?
On dit aussi que f est intégrable sur [a ; +?[ dans le premier cas, et que f n’est pas intégrable sur [a ; +?[ dans le second cas. Exemples : a) Convergence de 0 edtt 0 0 1 x edt e e?? ?tt x=???=?+x 0 lim 0 1 1 x t x edt? ?+? ?=?+= Donc l’intégrale converge et 0
Chapitre2
impropres) Vousavezd ´efinienS3l'i nt´egraledeRiemannd' unefonc tioncont inueparmorceauxsurun intervalle[a,b],not´e e b a f(t)dt,com mel'aire(ave cunsignepositifoun ´egatif,selonlesi gnede lafonct ion)delacourberepr´ese ntativ edelaf onction`aint´egrer surcetintervalle. Onsouhai tedanscechapitredonn erunsens` adesin t´egralesdutype b a f(t)dtlorsquelafonctionfn'estplusd´efini esurl'inter valle[a,b]tou tentierou lorsqu'onsouhaitecalcul er uneint´egralesur
uninte rvalledelongueurinfinie(cequie stfr´e quentenphysiqueoue nprobabilit´es). Onsouhai teparexemplesavoirs ionpeut donnerunsensauxint´egral es 1 0 1 t dt, 1 0 1 t 2 dtou 1 1 t 2 dt.2.1D´efinit ionetexemplesd'int´egrale simpropr es
continue(parmorceaux). Lafon ctionfestcontinu esur[a,x]pou rtoutxAnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201410
Onpeut ´egalementuti liserlad´efinitions´equen tielledelalimited'unefon ctionet lecrit`erede
Cauchypourexprim erqu'unei nt´egraleimpropreestbiend´ efinie(convergente).2.1.1Exemples
Int´egrale
1 0 t -1/2 dtLafon ctionf:]0,1]→Rtellequef(t)=1/
testcontinu eetpourx?]0,1], F(x)= 1 x t -1/2 dt= 2t 1/2 1 x =2(1 - x). Lafon ctionF(x)adm etdoncunelimi telorsque x→0aveclim x→0+F(x)=2.L'int´egrale
1 0 t -1/2 dt convergeetvaut2.Int´egrale
0 cos(t)dt Lafon ctiont?→cos(t)es tcontinue etuneprimitiveestsin (t).Parcon s´equ ent,pourx≥0, x 0 cos(t)dt=sin(x).L'int´egrale
0 cos(t)dtestdiver gente,puisquelafonctionsin(x)ne conver gepaslorsquextend versl'infin i.Int´egrale
0 exp(-t)dt Lafon ctiont?→exp(t)es tcontinues urRetuneprimitiv edef(t)=exp(-t)estF(t)=-exp(-t).Onadonc
x 0 exp(-t)dt=1-exp(-x) quiconver gevers1quandx→+∞etona 0 exp(-t)dt=1.Int´egrale
1 dt tLafon ctionf:[1,+∞[→Rtellequef(t)=1/
testcontin ueetF(x)=2( x-1)n' apasde limitefinieenplusl' infini.L'int´ egraleim proprediverge .Int´egrale
1 0 dt 1-t 2Lafon ctionf(t)=(
1-t 2 -1 estcontin uesur[0,1[.Elleapourpri mit iveF(x)= x 0 dt 1-t 2 arcsin(x)-arcsin(0)=arcsin(x)qu iapourlimi teπ/2lor squex→1 .L'int´egraleestdoncconver- genteet 1 0 dt 1-t 2 2Int´egrale
2 1 dt t 2 -1Lafon ctionf(t)=(
t 2 -1) -1 estcontin uesur]1,2].Lafon ctionF(x)= 2 x dt t 2 -1 =arg cosh(2)- argcosh(x)ap ourl imiteargcos h(2)=ln(2+3)lor squex→1
.L'i nt´egraleestdoncconvergente.AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201411
Int´egrale
dt 1+t 2 Avantdetrait ercete xemple,enon¸consler ´esultatsu ivant.Soitfunefonction continuesur]a,b[Th´eor`eme2.1.1
(relationdeChaslespourle sint´e gralesimpropres) Soitfunefoncti oncontinue[a,b[?→Retsoitc?]a,b[.L'i nt´egrale b a f(t)dtconvergesietseulemen t silesi nt´egrales c a f(t)dtet b c f(t)dtconvergent.S'ilyaconver genc e,al ors
b a f(t)= c a f(t)dt+ b c f(t)dt etler´ esult atned´ependpasdupointcchoisi.Preuve
Lapr euveestunecons´equ encedirec tedelarel ationdeChaslespourlesint´egralesd´efin ies.Onaen
e ff et,pourtout c?]a,b[,ettoutx?]a,b[ x a f(t)dt= c a f(t)dt+ x c f(t)dtint´egraledeRiemann etdoncl 'int´egral econverge b a f(t)dtssilim x→b x c f(t)dtexiste,d'o`uler´esul tatannonc´e.?Appliquonsleth´eor`emepr´e c´eden tavecc=0e t´e tudions laconvergencedesint´egrales impropr es
0 dt 1+t 2 et 0 dt 1+t 2Lapr imitiveF(x)=
x 0 dt 1+t 2 =arc tanxetlim x→+∞F(x)=π/2.Onadonc
0 dt 1+t 2 2Demˆem e,pourx<0,G(x)=
0 x dt 1+t 2 =-arctan(x)etlim x→-∞G(x)=π/2.Par cons´eq uent
l'int´egrale dt 1+t 2 estconverge nteetvautπ.Int´egrale
tdtAppliquonsdenouveauleth´eor` emepr´ ec´edentpourv´e rifierl 'existencedecetteint´egrale. Ona
x 0 tdt=x 2 /2et donc 0 tdtdiverge.Attention,ona pou rtan tbien
+x -x tdt=0m aisc ecin'assur epaslaconverge nced'uneint´egrale g´en´eralis´ee:laconvergencedoitavoirlieup ourt outesle ssuites(y n )et(x n )quitendentversaetb.Int´egrale
+1 -1 t -1 dtLafon ctionf:t?→t
-1 estcontinu esur]-∞,0[et ]0,+∞[.Etudionss´epar´ementle sdeux int´egralesimpropres 0 -1 t -1 dtet +1 0 t -1 dt. Pourlapre mi`ere int´egraleimpropre,uneprimiti veestF(x)= x -1 t -1 dt=ln|x|.Onalim x→0 F(x)=-∞.Par cons´eq uentl'int´egraledivergemˆemesiun raisonnementtroprapideauraitpunousfai re
penserqu'ellevalait 0.2.2Calculdes int´egrales impropre s
Nous´enon ¸conslespropri´et´essuivan tesquimon trentquelesint´egralesimpropres(conv ergentes)
poss`edentlesmˆemespropri´et ´esdelin´ earit´e,d'additivit ´eetdecroissancequelesint´egralesdeR iemann.
Propri´et´e2.2.1
AnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201412
Lin´earit´e.Sifetgontdesi nt´egralesc onvergentessur]a,b[alors?(α,β)?R 2 b a f+βg convergeet b a f+βg=α b a f+β b a g.Croissance.Sifestpositi vesur[a,b[etsi
b a fconvergealors b a f≥0.Lapr euveestdirecteetre posesurle spropri´et´esdelin´ear it´eet decroissancedel' int´egraled e
Riemannetunpassage`ala limit e.
Leschange mentsdevariableetl'int´egration parparti esdoiventˆetree ff ectu´esavecpr´ecaution .On consid´ereratoujoursdesint´egralesdeR iemannenfaisanttendr e"x"versle point`aprobl`eme.Th´eor`eme2.2.2
(changementdevariables) 1 etbije ctivealors b a f(x)dxet f◦?(t)? (t)dt sontdeuxi nt´egralesimpr opresdemˆemenatureetsiellesc onvergent b a f(x)dx= f◦?(t)|? (t)|dtPreuve
Lapr euveestsimilaire`al apreuved uchangementdevariablepourles int´egr alesdeR iemannavecen plusunpassage` alalim ite.Lefaitque?soitbiject ivepermetd'assurerl'´equival ence"uneint´egrale converge"??"l"autreint´egraleco nverge".Lavaleurabsoluepermet decompenserl'interversion deslimit esd'int´egrationlorsquela fonction?estd´ecroi ssante.?Exempledechangementdev ariable
Calculdel'int´egr ale
1 dt t(1+(ln t) 2Lafon ctionf(t)=
1 t(1+(lnt) 2 estcontinu esur[1+∞[.Parcom paraisona veclesint´egrales deBert rand,onremarquequel'int´egr ale estconvergente.Onconsid` erelechan gementdevariable x=?(t)=ln(t).Lafon ction?:[1+∞[→[0,+∞[estC 1 etcrois sante,? (t)=t -1 etonobti ent donc 1 dt t(1+(ln t) 20=?(1)
1 1+x 2 dx=lim u→+∞ [arctan(u)] u 0 2 Uneautre techniqueclas siqueestl'int´egrationparparti es(utileparexemplelorsque lafonction `aint´ egrerestunproduitdefoncti onsexpoutr igoetde polynˆomes).Th´eor`eme2.2.3
(int´egrationparparties)Soientfetgdeuxfonctions C
1 sur]a,b[.Silafon ctionfgadeslimitesfiniesenaetenbalors
b a f (t)g(t)dtet b a f(t)g (t)dtAnalyseM41-Universi t´eBou rgogne -2013/201413
sontdemˆe menatur eetsiellesconver gent b a f(t)g (t)dt=lim b fg-lim a fg- b a f (t)g(t)dt.Preuve.
Lapr euveestomise.Ellee stsimilair e`alapreuvedel 'int´egrationp arpartiesav eclesint´egralesde
Riemann,avecenplusunp assage`alalimit e.?
Exemple:
0 xe -x dxLafon ctionh(x)=xe
-x estcontinu esurR etposit ive.E ff ectuonsuneint´egrati onparparties pourcalcule rcetteint´egraleenposant f(x)=xetg (x)=e -x .Ona,pour t>0, t 0 xe -x dx= -xe -x t 0 t 0 (-e -x )dx =-te -t -(e -t -1)Onalim
t→∞ te -t =0etlim t→∞ e -t =0,l'int´egraleconvergentevautdonc1.2.3Crit` eresg´en´erauxdeconvergenced'unein t´egraleimpropre
Onnesai tpastou jourscalcul er(rare mentenfait)explici tementlaprimitivedel afonction`aint´egrer.Onpourracependantd´ eterm inerdansbiendesc assil'int´egraleconsid´er´e eestconvergente
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