Fonctions : symétries et translations
27 févr. 2017 Définition 4 : Soit I un intervalle et soit f et g deux fonctions ... Soit les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x et g(x) = x.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
La fonction g définie sur ? par Soit f une fonction affine définie sur ? par ( ) ... Soient m et p deux nombres réels tels que m < p.
Corrigé du TD no 11
Dans tous les cas la formule est bien vérifiée. 2. Soient f et g deux fonctions continues D ? R. Soit max(fg) la fonction définie par max(f
DÉRIVATION
On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à +? et on note : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit deux réels a et b ...
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Exercice 9. Soit f la fonction définie sur ? par f (x) = 3x2 ?3x ? 2. 1) À l'aide de la calculatrice tracer dans un repère la représentation graphique de la
Domaine de définition Exercice 1 Injectivité surjectivité
https://perso.univ-rennes1.fr/ludovic.marquis/enseign/2021-22/AN1_2021/TD/F2_an5.pdf
Généralités sur les fonctions
Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un ensemble Df et soit I un intervalle de R inclu dans Df . La restriction de f à I est la fonction g définie
Soit a et b deux réels. La fonction f définie sur R par f(x) = ax+b est
6 oct. 2017 Soit g la fonction affine telle que g(?. 9. 4)= ?6 et g(. 13. 4 ). = 5. a) Déterminer l'expression de g en fonction de x. b) Tracer la courbe ...
Chapitre 1 Généralités sur les fonctions
Exercice : Soient f et g deux fonctions définies sur ?- {. 1. 2. } par f (x)= Exemple : Soit f la fonction définie sur ? par f (x)=.
Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes
26 nov. 2010 Définition 4 : Soit I un intervalle et soient f et g deux fonctions définies au moins sur I. On dit que : Á f est inférieure à g sur I ...
Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) - ac-bordeauxfr
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R continues sur R et vérifiant pour tout réel x l’équation fonctionnelle : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) Soit f une fonction remplissant ces conditions
Chapitre 3 D´ erivabilit´ e des fonctions r´ eelles
Soit f : [ab] ? R une fonction (1) Soit x 0 ?]ab[ Alors f est d´erivable en x 0 si et seulement si f est d´erivable `a droite et `a gauche en x 0 et f? g(x 0) = f? d(x 0) (2) f est d´erivable en a si et seulement si f est d´erivable `a droite en a (3) f est d´erivable en b si et seulement si f est d´erivable `a gauche en b
Exercices sur les limites de fonctions
2°) Soit f et g deux fonctions de R dans R telle que f admette une limite finie en + g soit périodique et f g soit croissante Démontrer que g est constante 5 Démontrer que la fonction f : x cos x n’admet pas de limite en + à partir de la définition 6 Soit f une fonction périodique sur R telle que lim f l
Comment déterminer l’ensemble de définition de la fonction g ?
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . 2. Déterminer les antécédents de 2 par la fonction g (donner les résultats sous forme simplifiée). Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c’est la représentation graphique d’une fonction. 1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)
Quels sont les exercices en seconde 2de sur les généralités sur les fonctions ?
Des exercices en seconde (2de) sur les généralités sur les fonctions. L’intégralité de ces fiches d’exercices sont corrigés. Etablir le tableau de signe des expressions algébriques suivantes : a. b. 1. Etablir le tableau de signe de l’expression algébrique suivante : 2. Résoudre : 3. a. Développer . b. Résoudre : . 1.
Qu'est-ce que la fonction f ?
f est la fonction définie sur par . 1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, . 2- Résoudre graphiquement l’inéquation . 3- Factoriser et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes. 4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f 5 ) résoudre algébriquement f (x) = 0.
Comment calculer l’équation fonctionnelle?
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R, continues sur R et vérifiant, pour tout réel x, l’équation fonctionnelle : f (x + y) = f (x) + f (y). Soit f une fonction remplissant ces conditions. Soit x un nombre réel quelconque.
Fonctions : symétries et
translationsTable des matières
1 Définition2
1.1 Fonction numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Parité d"une fonction4
2.1 Fonction Paire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Fonction impaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Autres symétries5
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Symétrie par rapport à un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Des représentations déduites par symétrie. . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Translation9
4.1 Translations horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Translations verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
1 Définition
1.1 Fonction numérique
Définition 1 :Unefonctionnumériquefd"unevariableréellexestunerelation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x). On écrit alors : f:RouDf-→R x?-→f(x) ?Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x) qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.Exemple ::
f(x) =3x-7fest une fonction affine (droite)
f(x) =5x2-2x+1fest une fonction du second degré (parabole) f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique (hyperbole) f(x) =e-x2fonction de Gauss (courbe en cloche)1.2 Ensemble de définition
Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des va- leurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemple :
Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =⎷4-xa pour ensemble de définition : D f=]-∞; 4](4-x?0) Soit la fonctiongdéfinie parg(x) =3x2-5x-6a pour ensemble de défini- tion :Dg=R-{-1 ; 6}(x2-5x-6?=0,x=-1 racine évidente) Soit la fonctionhdéfinie parh(x) =ln(x+1)a pour ensemble de définition D h=]-1 ;+∞[(x+1>0)1.3 Comparaison de fonctions
Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : Elles ont même ensemble de définition :Df=DgPour toutx?Df,f(x) =g(x)
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉFINITION
Exemple :Les fonctionfetgdéfinies ci-dessous, sont-elles égales? f(x) =? x-1 x+3etg(x) =⎷ x-1⎷x+3Déterminons leur ensemble de définition :
Pourf, on doit avoir :x-1x+3?0, d"oùDf=]-∞;-3[?[1 ;+∞[ Pourg, on doit avoir :x-1?0 etx+3>0, d"oùDg= [1 ;+∞[ On a donc :Df?=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales. ?On remarquera cependant que sur[1 ;+∞[, on af(x) =g(x) Définition 4 :Soit I un intervalle et soitfetgdeux fonctions définies sur I.On dit que sur I :
f?g? ?x?I,f(x)?g(x).
f?0? ?x?I,f(x)?0.
festmajorée? ?M?R,?x?I,f(x)?M.
festminorée? ?m?R,?x?I,m?f(x).
festbornée? ?m,M?R,?x?I,m?f(x)?M.
Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux fonc- tions ne sont pas toujours comparables. Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2. On a par exemple : 12>?12?
2 ?f?12? >g?12? et 2<22?f(2)On met la fonction sous la forme canonique :
f(x) =-x2+x=-(x2-x) =-? x-1 2? 2 +14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et de sommet S?1 2;14?La fonctionfest donc majorée par1
4. Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx-3 est bornée.On a pour toutx?R:
-1?sinx?1? -4?4sinx?4? -7?4sinx-3?1? -7?g(x)?1 gest donc bornée par[-7 ; 1].PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. PARITÉ D"UNE FONCTION
M fmajorée m fminorée M m fbornée Propriété 1 :Sifune fonction est monotone sur un intervalle I= [a;b]alors fest bornée. Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx?[a;b], i.e.a?x?b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"oùf(a)?f(x)?f(b). On peut prendrem=f(a)etM=f(b),fest donc bornée.2 Parité d"une fonction
2.1 Fonction Paire
Définition 5 :On dit qu"une fonctionfest paire surDfssi l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =f(x)
Exemple :Les fonctions suivantes sont paires sur leur ensemble de définition: f1(x) =x2,f2(x) =5x4+3x2-1,f3(x) =cosx,f4(x) =sinx
x,f5(x) =e-x2 Remarque :Le terme " pair » doit son nom au fait que les fonctions polynômes qui ne contiennent que des termes de puissances paires vérifient :f(-x) =f(x)Propriété 2 :La représentation
d"une fonction paire estsymétrique par rapport à l"axe des ordonnées. ??x -x f(-x) =f(x)MM"OPAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
2.2 Fonction impaire
Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.?x?Df,f(-x) =-f(x)
Exemples :
Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f1(x) =x3,f2(x) =sinx,f3(x) =tanx,f(x)4=1
x,f5(x) =4x3-3x Remarque :Le terme " impair » doit son nom au fait que les fonctions po- lynômes qui ne contiennent que des termes de puissances impaires vérifient : f(-x) =-f(x)Propriété 3 :La représentation
d"une fonction impaire estsymétrique par rapport à l"origine. x -x f(x)f(-x) MM" O3 Autres symétries
3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical
Théorème 1 :Soit A(a; 0)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(A,?ı,??), alors, on a les relations :?X=x-a Y=y SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport à l"axex=asi et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(A,?ı,??)est paire.Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) =f(a-x)
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2-2x-1. Montrer queCfest symétrique par rapport à l"axex=1.On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(A,?ı,??). On a les relations suivantes : ?X=x-1Y=f(x)?
x=X+1 g(X) = (X+1)2-2(X+1)-1 ?x=X+1 g(X) =X2+2X+1-2X-2-1? x=X+1 g(X) =X2-2 1 -1 -21 2 3-1? x X=x-1 x=1 A M Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbeCfest symétrique par rapport à la droitey=1. Remarque :Autre méthode :f(1+x) =f(1-x)en effet : f(1+x) = (1+x)2-2(1+x)-1=1+2x+x2-2-2x-1=x2-2 f(1-x) = (1-x)2-2(1-x)-1=1-2x+x2-2+2x-1=x2-23.2 Symétrie par rapport à un point
Théorème 2 :Soit I(a;b)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(I,?ı,??), alors, on a les relations?X=x-a Y=y-b SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport au point I(a;b)si et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(I,?ı,??)est impaire. Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) +f(a-x) =2b Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR-{-1}tel quef(x) =2x-1x+1. Montrer queCfest symétrique par rapport au point I(-1 ; 2).On change de repère passant de
(O,?ı,??)à(I,?ı,??). On a les relations suivantes :PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. AUTRES SYMÉTRIES
?X=x+1Y=f(x)-2????x=X-1
g(X) =2(X-1)-1X-1+1-2????x=X-1
g(X) =2X-3X-2 ?x=X-1 g(X) =2X-3-2XX????x=X-1
g(X) =-3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe deCfest symétrique par rapport au point I.Remarque :Autre méthode :
f(-1+x) +f(-1-x)2(-1+x)
-1+x+1+2(-1-x)-1-x+1 -2+2x x--2-2xx =4=2×2246 -22 4-2-4 xX=x+1yY=y-2MIM"
O3.3 Des représentations déduites par symétrie
Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3-3x2+1 représentée ci-dessous.1) Déduire les courbes des fonctionsg,
hetkdéfinies surRpar : a)g(x) =-f(x) b)h(x) =|f(x)| c)k(x) =f(-x)2) On définie surRla fonctionFpar :
F(x) =f(|x|).
a) Démontrer que la fonctionFestquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] calcul charge maximale dutilisation
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