Fonctions : symétries et translations
27 févr. 2017 Définition 4 : Soit I un intervalle et soit f et g deux fonctions ... Soit les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x et g(x) = x.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
La fonction g définie sur ? par Soit f une fonction affine définie sur ? par ( ) ... Soient m et p deux nombres réels tels que m < p.
Corrigé du TD no 11
Dans tous les cas la formule est bien vérifiée. 2. Soient f et g deux fonctions continues D ? R. Soit max(fg) la fonction définie par max(f
DÉRIVATION
On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à +? et on note : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit deux réels a et b ...
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Exercice 9. Soit f la fonction définie sur ? par f (x) = 3x2 ?3x ? 2. 1) À l'aide de la calculatrice tracer dans un repère la représentation graphique de la
Domaine de définition Exercice 1 Injectivité surjectivité
https://perso.univ-rennes1.fr/ludovic.marquis/enseign/2021-22/AN1_2021/TD/F2_an5.pdf
Généralités sur les fonctions
Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un ensemble Df et soit I un intervalle de R inclu dans Df . La restriction de f à I est la fonction g définie
Soit a et b deux réels. La fonction f définie sur R par f(x) = ax+b est
6 oct. 2017 Soit g la fonction affine telle que g(?. 9. 4)= ?6 et g(. 13. 4 ). = 5. a) Déterminer l'expression de g en fonction de x. b) Tracer la courbe ...
Chapitre 1 Généralités sur les fonctions
Exercice : Soient f et g deux fonctions définies sur ?- {. 1. 2. } par f (x)= Exemple : Soit f la fonction définie sur ? par f (x)=.
Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes
26 nov. 2010 Définition 4 : Soit I un intervalle et soient f et g deux fonctions définies au moins sur I. On dit que : Á f est inférieure à g sur I ...
Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) - ac-bordeauxfr
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R continues sur R et vérifiant pour tout réel x l’équation fonctionnelle : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) Soit f une fonction remplissant ces conditions
Chapitre 3 D´ erivabilit´ e des fonctions r´ eelles
Soit f : [ab] ? R une fonction (1) Soit x 0 ?]ab[ Alors f est d´erivable en x 0 si et seulement si f est d´erivable `a droite et `a gauche en x 0 et f? g(x 0) = f? d(x 0) (2) f est d´erivable en a si et seulement si f est d´erivable `a droite en a (3) f est d´erivable en b si et seulement si f est d´erivable `a gauche en b
Exercices sur les limites de fonctions
2°) Soit f et g deux fonctions de R dans R telle que f admette une limite finie en + g soit périodique et f g soit croissante Démontrer que g est constante 5 Démontrer que la fonction f : x cos x n’admet pas de limite en + à partir de la définition 6 Soit f une fonction périodique sur R telle que lim f l
Comment déterminer l’ensemble de définition de la fonction g ?
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . 2. Déterminer les antécédents de 2 par la fonction g (donner les résultats sous forme simplifiée). Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c’est la représentation graphique d’une fonction. 1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)
Quels sont les exercices en seconde 2de sur les généralités sur les fonctions ?
Des exercices en seconde (2de) sur les généralités sur les fonctions. L’intégralité de ces fiches d’exercices sont corrigés. Etablir le tableau de signe des expressions algébriques suivantes : a. b. 1. Etablir le tableau de signe de l’expression algébrique suivante : 2. Résoudre : 3. a. Développer . b. Résoudre : . 1.
Qu'est-ce que la fonction f ?
f est la fonction définie sur par . 1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, . 2- Résoudre graphiquement l’inéquation . 3- Factoriser et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes. 4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f 5 ) résoudre algébriquement f (x) = 0.
Comment calculer l’équation fonctionnelle?
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies sur R, continues sur R et vérifiant, pour tout réel x, l’équation fonctionnelle : f (x + y) = f (x) + f (y). Soit f une fonction remplissant ces conditions. Soit x un nombre réel quelconque.
![Chapitre 1 Généralités sur les fonctions Chapitre 1 Généralités sur les fonctions](https://pdfprof.com/Listes/18/2574-18Chapitre_1_-_Generalites_sur_les_fonctions.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1
Généralités sur les fonctions
I Opérations sur les fonctions
Transmaths : Activité 1 page 14
1)Égalité de deux fonctions
Définition : Dire que deux fonctions f et g sont égales (on note f = g) signifie que : → f et g ont le même ensemble de définition D → pour tout réel x∈D, ux=vxExemple : u et v sont définies sur
ℝ- {- 1} par ux=3-2 x1 et vx=3x1 x1. Les fonctions u et v ont bien le même ensemble de définition et pour tout réel x≠-1, ux=3x1 x1-2 x1=3x3-2 x1=3x1 x1=vx. Donc u = v. Exercice : Soient f et g deux fonctions définies sur ℝ- {12} par fx=8x-3
2x-1 et gx=41
2x-1.A t-on la relation f = g ?
2)Opérations algébriques sur les fonctions
Définition 1 : Soient u et v deux fonctions définies sur l'ensemble D et désigne un réel. On définit les fonctions suivantes sur l'ensemble D : uv est définie par uvx=ux=vx→u×v ou uv est définie par uvx=u×vx=ux×vx
u est définie par ux=×ux=ux
u est définie par ux=uxRemarque : Si les deux fonctions u et v ne sont pas définies sur le même ensemble D, mais u sur Du et v sur
Dv, l'ensemble de définition de chacune des deux premières fonctions uv et uv est Du∩Dv.Application : Les fonctions polynômes
Définition 2 : Soient n un entier naturel et a un réel. La fonction xaxn, définie sur ℝ, est appelée unmonôme de coefficient a. Si a≠0, on dit que le degré de ce monôme est n. Un polynôme est une somme
de plusieurs monômes. Le degré du polynôme est le degré le plus élevé de chacun de ses monômes.
Exemple : 6x5 est un monôme de degré 5. 6x53x4-7x2-3x8 est un polynôme de degré 5.
Transmaths : Exercices 9 à 16 pages 26 et 27
Définition 3 : Soient u et v deux fonctions définies respectivement surDu et Dv. La fonction
rationnelle u v est définie sur Du∩Dv avec vx≠0 par u vx=ux vx.Exemple : Soient u et v définies sur ℝ par ux=x2 et vx=x-2. La fonction rationnelle u
v est donc définie surℝ∩ℝ=ℝ avec vx≠0 donc avec x≠2. Elle est donc définie sur ℝ- {2} par
u vx=x2 x-2.Transmaths : Exercices 7 et 8 page 26
3)Composition de fonctions
Définition : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur D' et D tels que pour tout réel x de
l'ensemble D, le réel v(x) soit dans l'ensemble D'. La fonction composée de v suivie de u, notée u o v, est la
fonction définie sur D par (u o v) (x) = u[v(x)].Schéma :
Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par fx=1 x²3. La fonction f est la composée de u suivie dev suivie de w où u est la fonction carrée (pour tout réel x, ux=x²), v est la fonction affine telle que, pour
tout réel x, vx=x3 et w la fonction inverse (pour tout réel x non nul, wx=1 x). f = w o v o u. En effet, u:ℝ→[0;∞[, v:[0;∞[→[3;∞[ et w:[3;∞[→ℝ.Transmaths : Exercices 17 à 23 page 27
II Sens de variation
Rappel : On dit qu'une fonction est monotone sur un intervalle I lorsque f est croissante sur cette intervalle I
ou que f est décroissante sur I.Dans cette partie, les démonstrations sont faites avec des fonctions monotones mais sont aussi valables avec
des fonctions strictement monotones.1)Sens de variation de
uPropriété : Soit u une fonction monotone sur l'intervalle I et désigne une constante réelle. Les fonctions u et u ont même sens de variation sur I.Démonstration : Soient x1 et
x2 deux réels de l'intervalle I tels que x1x2. Supposons que u soitcroissante sur I, alors ux1ux2. Alors ux1ux2, donc la fonction u est croissante
sur I. On effectue la démonstration analogue pour u décroissante sur I.2)Sens de variation de la somme de deux fonctions
Propriété : → La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle I est une fonction
strictement croissante sur I. → La somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est une fonction strictement décroissante sur I.Démonstration : Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle I tels que x1x2. Soient deux fonctions f et
g strictement croissantes sur I, alors fx1fx2 et gx1gx2. Si on additionne ces deux
inégalités, on obtient fx1gx1fx2gx2, donc f + g est strictement croissante sur I. On effectue
la démonstration analogue pour f et g décroissantes sur I.Exemple 1 : Soit f la fonction définie sur tout ℝ par fx=x3 et g la fonction définie sur tout ℝ par
fx=3x. f et g sont strictement croissantes sur ℝ donc fg définie surℝ par fgx=x33x est strictement croissante sur ℝ. Exemple 2 : Soit f la fonction définie sur tout ℝ par fx=-x2 et g la fonction définie sur tout ℝ par fx=-3x. f et g sont strictement décroissantes sur [0;∞[ donc fg, définie par fgx=-x2-3x, est strictement décroissante sur [0;∞[.3)Sens de variation de
uPropriété : Soit u une fonction monotone sur l'intervalle I et désigne une constante réelle.
→ Si 0, les fonctions u et u ont même sens de variation sur I. → Si 0, les fonctions u et u ont un sens de variation contraire sur I.Démonstration : Soient x1 et
x2 deux réels de l'intervalle I tels que x1x2. Supposons que u soitcroissante sur I, alors ux1ux2. Alors ux1ux2si 0 et ux1ux2 si
0, donc la fonction u est croissante sur I si 0et décroissante sur I si 0. On effectue la
démonstration analogue pour u décroissante sur I.Transmaths : Exercices 24 et 26 page 27
4)Sens de variation de u o v
Propriété : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur Du et Dv. Soit I un intervalle
inclus dansDu et J un intervalle inclus dans Dv tel que, pour tout réel x∈J, vx∈I. Si u et v
sont strictement monotones respectivement sur I et J, alors : → lorsque u et v ont même sens de variation, u o v est strictement croissante sur J.→ lorsque u et v ont un sens de variation contraire, u o v est strictement décroissante sur J.
Démonstration :
1)u et v ont même sens de variation et a et b sont deux réels de l'intervalle J tels que a < b.
a) Supposons que u et v soient strictement croissantes sur I et J. Puisque v est strictement croissante sur
J, ab⇒vavb puis u strictement croissante sur I, on a
uva=uovauvb=uovb, c'est à dire u o v strictement croissante sur J.
b) Supposons que u et v soient strictement croissantes sur I et J, on a alorsab⇒vavb⇒uva=uovauvb=uovb, c'est à dire u o v strictement
croissante sur J.2)u et v ont un sens de variation contraire, alors on démontre de la même façon que u o v est strictement
décroissante sur J.Exemple : Soit f la fonction définie sur
ℝ par fx=x3, strictement croissante sur ℝ, et g la fonction définie sur ℝ par gx=-4x, strictement décroissante sur ℝ. Alors, la fonction f o g définie sur ℝ par fogx=-4x3 est strictement décroissante sur ℝ.Transmaths : Exercices 28 et 29 page 27
III Symétries d'une représentation graphique1)Axe de symétrie
Propriété : Soit C la représentation graphique de la fonction f définie sur Df. La droite verticale d'équation
x=a est un axe de symétrie de C si et seulement si, pour tout x tel que ax∈Df, alors a-x∈Df et
fax=fa-x.Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par fx=x-12-3. La représentation graphique C de f
nous permet de conjecturer d'un axe de symétrie : la droite d'équation x=1. Or, pour tout x tel que
1x∈ℝ, alors1-x∈ℝ, et on calculef1x=1x-12-3=x²-3, puis on calcule
f1-x=1-x-1²-3=x²-3=f1x donc la droite d'équation x=1 est bien axe de symétrie de
C.Transmaths : Exercices 33 et 35 page 29
2)Centre de symétrie
Propriété : Soit C la représentation graphique de la fonction f définie sur Df. Le point S de coordonnées
a;b est le centre de symétrie de C si et seulement si, pour tout x tel que ax∈Df, alors
a-x∈Df et Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ-{-2} par fx=x-1 x2. La représentation graphique C de fparaît avoir le point S de coordonnées -2;1 comme centre de symétrie. Pour tout x tel que
-2x∈Df, -2-x∈Df et -2x2-2-x-1 -2-x2=-3x x-3-x -x=-3x3x x=2x x=2=2×1. Donc le point S de coordonnées -2;1 est bien centre de symétrie de la courbe C.Transmaths : Exercices 34 et 36 page 27
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