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EXERCICE no XXGENPOSV — Camille et Claude font une
Fonctions linéaires — Fonctions affines — Lecture graphique — Vitesse — Expression littérale — Équation du premier degré. On considère les fonctions f et g
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REPRESENTATION GARPHIQUE D'UNE FONCTION : Exercice 1 : On considère les fonctions f et g données par leurs courbes représentativ.
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Même question avec la fonction g : x 7! sin(x) +. 1. 2 cos(2x). 5. On considère la fonction f : x 7
A B C D E F 1 2 3
On considère les fonctions f et g qui donnent les tarifs à payer en fonction du nombre x de demi-journées d'activités. — Tarif A : f (x) = 8x.
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Chapitre n°3 NOTIONS DE FONCTION - Prof-launay
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COMPOSITION DE FONCTIONS - maths et tiques
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Chapitre 5 Applications - univ-rennes1fr
On l’appelle application compos´ee de g et f Remarques -• Soient f et g deux ´el´ements de F(EE); les deux applications f g et g f sont d´e?nies mais en g´en´eral elles ne sont pas ´egales Par exemple si on a f : R ?? R x ?? x2 et g : R ?? R x ?? 2x on obtient g f : R ?? R x ?? 2x2 et f g : R ?? R
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Quelle est la différence entre la fonction f et la fonction g?
Les fonctions f et g sont Riemann int´egrables (cf. exemple 2 pour f, g ´etant en escalier), cependant on constate que gf =1 Q[0;1]2= I([0;1];R)(cf. exemple 1). La Riemann integrabilit´ e n’est donc pas stable par composition. N´ eanmoins, le´ r´esultat est vrai d `es que la fonction g est continue.
Qu'est-ce que la fonction f f?
La fonction f f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X X . Tous les problèmes de probabilité relatifs à X X peuvent être traités grâce à f f.
Comment calculer la fonction g o f ?
Les deux fonctions f : X Y et g : Y Z peuvent être composées en appliquant f à l'argument x, puis en appliquant g au résultat. On obtient ainsi la fonction g o f: X Z définie par ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x )) pour tout x de l' ensemble X. La notation g o f se lit " g rond f ", ou " f suivie de g ". ( g o f ) ( x) se note aussi g o f (x).
Quelle est la différence entre F et G ?
Vrai-Faux 2. Soient f et g deux fonctions, admettant un développement limité d’ordre 2 en 0. On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) ? La fonction f + g admet un développement limité d’ordre 2 en 0. ? La fonction f g admet un développement limité d’ordre 2 en 0. La fonction f /g admet un développement limité d’ordre 2 en 0.
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x) = e x et g(x) = 1 e x.
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g , sont fournies en
annexe.Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B
Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.On note D l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d'abscisse a et tangente à la courbe C g au point B
d'abscisse b.1. a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A.
b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B. c. En déduire que b = a.2. Démontrer que le réel a est solution de l'équation : 2 (x - 1) e x + 1 = 0.
Partie C
On considère la fonction ij définie sur par ijx) = 2 (x - 1) e x + 11. a. Calculer les limites de la fonction ij en
b. Calculer la dérivée de la fonction ij, puis étudier son signe. c. Dresser le tableau de variation de la fonction ijsur . Préciser la valeur de ij(0).2. a. Démontrer que l'équation ij(x) = 0 admet exactement deux solutions dans .
b. Įégative de l'équation ij(xȕ de cette équation.À l'aide d'Į ȕ arrondies au centième.
Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.
On note E le point de la courbe C f d'abscisse et F le point de la courbe C g d'abscisse - ( est le nombre réel défini dans la partie
C).1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E.
2. Démontrer que (EF) est tangente à C g au point F.
Annexe
à rendre avec la copie
Exercice 2
CORRECTION
Partie A
Partie B
1. a. f '(x) = e x donc le coefficient directeur de la tangente à
la courbe C f au point A est e a b. g'(x) = e - x donc le coefficient directeur de la tangenteà la courbe C g au point B est e - b
c. Les deux tangentes sont confondues donc leurs coefficients directeurs sont égaux donc e a = e - b donc a = - b soit b = a.2. Une équation de la tangente en A à C f est :
y = f '(a) (x - a) + f (a) soit y = e a (x - a) + e a. Cette droite passe par B de coordonnées (b ; g(b)) b = - a donc B a pour coordonnées (- a ; 1 - e a ) donc 1 - e a = e a (- a - a) + e a soit 1 - e a = - 2 a e a + e a. soit 1 + 2 a e a - 2 e a = 0 Le réel a est solution de l'équation : 2 (x - 1) e x + 1 = 0.Partie C
1. a. limx e x = + limx x - 1 = + limx ijx) = +
ijx) = 2 x e x - 2 e x + 1 or limx x e x = 0 et limx e x = 0 donc limx ijx) = 1 b. ( ) 2 ( 1) '( ) 2 ( ) e '( ) ex x u x x u x v x v xijx) = 2 e x + 2 (x - 1) e x = 2 x e x
La fonction exponentielle est strictement positive sur donc f '(x) a le même signe que x. c. ij- 2 e 0 + 1 = - 1 x - 0 + f '(x) - 0 + f 1 - 12. a. Sur l'intervalle ] - 0 ], la fonction est continue et strictement décroissante, limx ijxij- 1, 0 [ - 1 ; 1 [
donc, l'équation ij(x) = 0 possède une unique solution sur ] - 0 ]Sur l'intervalle ] 0 ; + [, la fonction est continue et strictement croissante, limx ijx) = + ij- 1, 0 [ - 1 ; +
l'équation ij(x) = 0 possède une unique solution sur ] 0 ; + [. L'équation ij(x) = 0 admet exactement deux solutions dans . b. (- 1,68) > 0 et (- 1,67) > 0 donc - Į- 1,67 de même (0,76) < 0 et (0,77) > 0 donc ȕPartie D
1. La tangente en E à la courbe C f a pour équation y = e (x - ) + e , cette droite passe par E par définition de la tangente.
F est le point de coordonnées (- ; 1 - e )
Si x = - et y = 1 - e , alors y F - [ e (x F - ) + e ] = (1 - e ) - [ e (- - ) + e ] = 2 e - 2 e + 1 = 2 ( - 1) e + 1
or est solution de (x) = 0 donc 2 ( - 1) e x + 1 = 0 donc y F - [ e (x F - ) + e ] = 0 soit y F = e (x F - ) + e
F appartient à la tangente en E à la courbe C f . La droite (EF) est confondue avec la tangente à la courbe C f au point E.2. La tangente en F à la courbe C g a pour équation y = e (x + ) + 1 - e , cette droite passe par F par définition de la tangente.
E est le point de coordonnées ( ; e )
Si x = et y = e , alors y E - [ e (x E + ) + 1 - e ] = e - [ e ( + ) + 1 - e ] = - 2 e + 2 e - 1 = - [ 2 ( - 1) e + 1 ]
or est solution de (x) = 0 donc 2 ( - 1) e x + 1 = 0 donc y E - [ e (x E + ) + 1 - e ] = 0 soit y E = [ e (x E + ) + 1 - e
E appartient à la tangente en F à la courbe C g .La droite (EF) est confondue avec la tangente à la courbe C g au point F. La droite (EF) est tangente commune à C f et à C g..
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