On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x
Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d'abscisse b. 1. a. Exprimer en fonction de a le
Exercice 1 : On considère les fonctions f et g suivantes : f : t 4t + 3 et
Sur le graphique ci-dessous on a représenté la fonction g. Représenter sur ce même graphique la fonction f. 5. Déterminer le nombre de demi-journées d'
S ASIE juin 2013
On considère les fonctions f et g définies pour nombre réel x par : f (x)=e x et g(x)=1−e−x. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère
Corrigé du TD no 11
valeur absolue est continue donc la fonction
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Corrigé du baccalauréat spécialité Polynésie 5 mai 2022
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Corrigé du baccalauréat Métropole 12 mai 2022 Sujet 2 ÉPREUVE
12 мая 2022 г. On admet que les fonctions f et g sont dérivables et on note f ′ et g′ leurs fonctions dérivées respec- tives. 1. On donne le tableau de ...
Dans un repère orthonormé on considère les points A(-1 ;-2)
https://www.site.ac-aix-marseille.fr/lyc-lurcat/spip/sites/www.site/lyc-lurcat/spip/IMG/pdf/math_pour_les_futurs_eleves_de_1ere.pdf
LES FONCTIONS DE REFERENCE
1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par
EXERCICE no XXGENPOSV — Camille et Claude font une
Fonctions linéaires — Fonctions affines — Lecture graphique — Vitesse — Expression littérale — Équation du premier degré. On considère les fonctions f et g
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x) = ex Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du ...
Correction (très rapide) des exercices de révision
REPRESENTATION GARPHIQUE D'UNE FONCTION : Exercice 1 : On considère les fonctions f et g données par leurs courbes représentativ.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x. 0. 2 g(x). 2) Tracer la représentation graphique de g. Exercice 5. On considère la fonction affine f définie par
DÉRIVATION
Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.
On considère les deux fonctions a nes f et g ayant respec- tivement
Déterminer les expressions algébriques des fonctions f et g. Exercice 2. Dans le plan muni d'un repère. (. O ; I ; J. ) on considère la.
Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et
Même question avec la fonction g : x 7! sin(x) +. 1. 2 cos(2x). 5. On considère la fonction f : x 7
A B C D E F 1 2 3
On considère les fonctions f et g qui donnent les tarifs à payer en fonction du nombre x de demi-journées d'activités. — Tarif A : f (x) = 8x.
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07/09/2020 On considère les fonctions f et g suivantes : f : t ? ? 4t +3 et g : t ? ? 6t. Leurs représentations graphiques (d1) et (d2) sont ...
Corrigé du TD no 11
Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x) On considère la fonction f : [0
Exercices corrigés - AlloSchool
On considère les fonctions f et g dé?nies par : – f (x)= x2 ?x +1 2?x pour x =2 – g(x)= sinx x pour x =0 1 (a) Déterminer la limite de f en +?et en?? (b) Peut-onen déduirel’existence d’une asymptote pour la représentation graphique C f en±?? 2 Montrer que pour tout x >0 ona : ? 1 x ?g(x)? 1 x Endéduirela
Analyse 7e édition Théorie de l’intégration
On considère les deux fonctions f et g définies par : f(x) = x² ; g(x) = 2x – 1 1 A l’aide de votre calculatrice donner les abscisses des points d’intersections des deux courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g 2 a) Retrouver le résultat de la question précédente en résolvant l’équation : x² = 2x – 1
Chapitre n°3 NOTIONS DE FONCTION - Prof-launay
et C 2 de deux fonctions f et g sont données dans le repère ci-dessous La feuille de calcul ci-dessous permet de calculer des images par les fonctions f et g 1 a Calculer l’image de ?2 par la fonction f b On complète la ligne 2 de cette feuille de calcul par recopie automatique Quelle formule sera alors dans la cellule C2 ?
COMPOSITION DE FONCTIONS - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 COMPOSITION DE FONCTIONS Partie 1 : Composée de deux fonctions Exemple : On considère la fonction f définie par !(#)=?#?3
Chapitre 5 Applications - univ-rennes1fr
On l’appelle application compos´ee de g et f Remarques -• Soient f et g deux ´el´ements de F(EE); les deux applications f g et g f sont d´e?nies mais en g´en´eral elles ne sont pas ´egales Par exemple si on a f : R ?? R x ?? x2 et g : R ?? R x ?? 2x on obtient g f : R ?? R x ?? 2x2 et f g : R ?? R
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Exprimer en fonction de x les salaires de Félix Gaëlle et Henry 3 Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : f (x) = 1500 g (x) = 1000+2x h(x) = 7x On choisira comme unités : • 1 cm pour 20 boîtiers sur l’axe des abscisses • 1 cm pour 200 € sur l’axe des ordonnées
Quelle est la différence entre la fonction f et la fonction g?
Les fonctions f et g sont Riemann int´egrables (cf. exemple 2 pour f, g ´etant en escalier), cependant on constate que gf =1 Q[0;1]2= I([0;1];R)(cf. exemple 1). La Riemann integrabilit´ e n’est donc pas stable par composition. N´ eanmoins, le´ r´esultat est vrai d `es que la fonction g est continue.
Qu'est-ce que la fonction f f?
La fonction f f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X X . Tous les problèmes de probabilité relatifs à X X peuvent être traités grâce à f f.
Comment calculer la fonction g o f ?
Les deux fonctions f : X Y et g : Y Z peuvent être composées en appliquant f à l'argument x, puis en appliquant g au résultat. On obtient ainsi la fonction g o f: X Z définie par ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x )) pour tout x de l' ensemble X. La notation g o f se lit " g rond f ", ou " f suivie de g ". ( g o f ) ( x) se note aussi g o f (x).
Quelle est la différence entre F et G ?
Vrai-Faux 2. Soient f et g deux fonctions, admettant un développement limité d’ordre 2 en 0. On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) ? La fonction f + g admet un développement limité d’ordre 2 en 0. ? La fonction f g admet un développement limité d’ordre 2 en 0. La fonction f /g admet un développement limité d’ordre 2 en 0.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1DÉRIVATION I. Rappels Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ 1) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :
lim h→0 f(a+h)-f(a) h =L. L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. L est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative
C f de f. Définition : La tangente à la courbe C fau point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L. Propriété : Une équation de la tangente à la courbe
C f en A est : y=f'a x-a +fa Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur par f(x)=x 2 +3x-1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.
lim h→0 f(2+h)-f(2) h =lim h→0 2+h 2 +32+h-1-9 h =lim h→0 h 2 +7h h =lim h→0 h+7 =7 Le coefficient directeur de la tangente est égal à 7. Donc son équation est de la forme : y=7x-2 +f(2) , soit : y=7x-2 +9 y=7x-5
Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est
y=7x-5. 3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f Ensemble de définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
f(x)=a a∈! f'(x)=0 f(x)=ax a∈! f'(x)=a f(x)=x 2 f'(x)=2x f(x)=x n n≥1 entier f'(x)=nx n-1 f(x)= 1 x \{0} f'(x)=- 1 x 2 \{0} f(x)= 1 x n n≥1 entier \{0} f'(x)=- n x n+1 \{0} f(x)=x0;+∞
f'(x)= 1 2x0;+∞
Exemples : a) Soit la fonction f définie sur
par f(x)=x 6 alors f est dérivable sur et on a pour tout x de f'(x)=6x 5 . b) Soit la fonction f définie sur \{0} par f(x)= 1 x 4 alors f est dérivable sur -∞;0 et sur0;+∞
et on a pour tout x de \{0}, f'(x)=- 4 x 5. 4) Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 Exemples : a) f(x)=2x 2 -5x 3x-2On pose
f(x)=u(x)v(x) avec u(x)=2x 2 -5x u'(x)=4x-5 v(x)=3x-2 v'(x)=3Donc :
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4x-5 3x-2 +2x 2 -5x ×3 =12x 2 -8x-15x+10+6x 2 -15x =18x 2 -38x+10 b) g(x)= 6x-5 x 3 -2x 2 -1On pose
g(x)= u(x) v(x) avec u(x)=6x-5 u'(x)=6 v(x)=x 3 -2x 2 -1 v'(x)=3x 2 -4xDonc :
g(x)= u'(x)v(x)-u(x)v'(x) v(x) 2 6x 3 -2x 2 -1 -6x-5 3x 2 -4x x 3 -2x 2 -1 2 6x 3 -12x 2 -6-18x 3 +24x2 +15x 2 -20x x 3 -2x 2 -1 2 -12x 3 +27x
2 -20x-6 x 3 -2x 2 -1 2 Un logiciel de calcul formel permet de vérifier les résultats : u+v est dérivable sur I u+v '=u'+v' ku est dérivable sur I, où k est une constante ku '=ku' uv est dérivable sur I uv '=u'v+uv' 1 u est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I 1 u u' u 2 u v est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I u v u'v-uv' v 2
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 5) Application à l'étude des variations d'une fonction Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si
, alors f est décroissante sur I. - Si f'(x)≥0 , alors f est croissante sur I. - Admis - Exemple : Soit la fonction f définie sur par f(x)=x 2 -4x . Pour tout x réel, on a : f'(x)=2x-4 . Résolvons l'équation La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle -∞;2 . De même, on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle2;+∞
. II. Dérivées de fonctions composées Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs 1) Dérivée de la fonction
x!u(x)Propriété : u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par
f(x)=u(x) est dérivable sur I et on a : f'(x)= u'(x) 2u(x) YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5Démonstration : Soit a∈I et un réel h tel que a+h∈I . On calcule le taux d'accroissement de f entre a et a+h : f(a+h)-f(a) h u(a+h)-u(a) h u(a+h)-u(a) u(a+h)+u(a) hu(a+h)+u(a) u(a+h)-u(a) h 1 u(a+h)+u(a)Or, la fonction u est dérivable sur I, donc
lim h→0 u(a+h)-u(a) h =u'(a) . Et donc, lim h→0 f(a+h)-f(a) h =u'(a)× 1 2u(a) . Exemple : f(x)=3x 2 +4x-1On pose
f(x)=u(x) avec u(x)=3x 2 +4x-1 u'(x)=6x+4Donc :
f'(x)= u'(x) 2u(x) 6x+4 23x2 +4x-1 3x+2 3x 2 +4x-1
2) Dérivée de la fonction
x!u(x) nPropriété : n est un entier relatif non nul. u est une fonction dérivable sur un intervalle I ne s'annulant pas sur I dans le cas où n est négatif. Alors la fonction f définie sur I par
f(x)=u(x) n est dérivable sur I et on a : f'(x)=nu'(x)u(x) n-1 . Démonstration par récurrence : • Initialisation : f'(x)=u'(x)=1×u'(x)×u(x) 1-1La propriété est donc vraie pour n = 1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence :
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr6Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
(u k )'=ku'u k-1 . - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : (u k+1 )'=k+1 u'u k (u k+1 )'=(u k u)' =(u k )'u+u k u' =ku'u k-1 u+u k u' =ku'u k +u k u' =k+1 u'u k• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n non nul. Exemple :
f(x)=2x 2 +3x-3 4On pose
f(x)=u(x) 4 avec u(x)=2x 2 +3x-3 u'(x)=4x+3Donc :
f'(x)=4u'(x)u(x) 3 =44x+3 2x 2 +3x-3 33) Dérivée de la fonction
x!f(ax+b)Propriété : a et b sont deux nombres réels. f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction g définie sur I par
g(x)=f(ax+b) est dérivable sur tout intervalle J tel que pour tout x∈J ax+b∈I et on a : g'(x)=af'(ax+b) . Démonstration : Soit t∈J et un réel h tel que t+h∈J . On calcule le taux d'accroissement de g entre t et t+h : g(t+h)-g(t) h fa(t+h)+b -fat+b h fat+ah+b -fat+b hOn pose
T=at+b
et H=ah . Donc g(t+h)-g(t) h =a× fT+H -fT H . Lorsque h→0 , on a ah→0 doncH→0
lim h→0 g(t+h)-g(t) h =limH→0
a× f(T+H)-f(T) H =a×f'(T)=af'(at+b) . Exemple : f(x)= 1 5x-4 Alors f'(x)=5 -1 5x-4 2 -5 5x-4 2En effet :
(5x-4)'=5 et 1 x -1 x 24) Formules de dérivation sur les fonctions composées Fonction Ensemble de définition Dérivée
u u(x)>0 u' 2u u n avec n∈!* Si n<0 u(x)≠0 nu'u n-1 f(ax+b) f dérivable af'(ax+b)Méthode : Etude d'une fonction composée Vidéos dans la Playlist : https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaolmlZsgQvpuNlXlUQ5D5vS On considère la fonction f définie par
f(x)= 2x 3x+1. On note C sa courbe représentative dans un repère. 1) Déterminer l'ensemble de définition de f. 2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à la courbe C. 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur
0;+∞
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