Composition des applications linéaires
Linéarité de la composition : énoncé. Proposition. La composée de deux applications linéaires est encore linéaire. Plus formellement ça se lit :.
Chapitre I Applications généralités
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Composition d'applications quasi-polynomiales par Razika NIBOUCHA et Alain SALINIER. Résumé. L'objet de ce travail est l'étude de la composition des.
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Composition DES Applications - SUNUMATHS
SERIE NOI : COMPOSITIONS DES APPLICATIONS Exercice 1: Composé entre deux fonctions affines On considère deux fonctions définies par :f(x) = x + 3 et g(x) = 2x —1 1 Détermine le domaine de définition def et g 2 Donner les expressions de : f og etg of 3 A-t-on f og = g of? Conclure Exercice 2: Composé entre deux fonctions polynômes
Composition des applications linéaires - unicefr
La composition des applications lin´eaires est associative Plus formellement ¸ca se lit : ?pqrs ?N?h?Lpq?g?Lqr?f ?Lrs (h g) f =h (g f) Associativit´e de la composition : d´emonstration ?pqrs ?N?h?Lpq?g?Lqr?f ?Lrs (h g) f =h (g f) Preuve Soient pqrsfghcomme dans l’´enonc´e On doit montrer
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Composition des applications lin´eaires
D´edou
Novembre 2010
Exemple de composition
Exercice r´esolu
Calculez la compos´eeg◦favec
g:= (x,y)?→?x+y x-y? ,f:= (x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z2x+ 2y+ 2z?
.SolutionOn calcule
(g◦f)(x,y,z) = (g(f(x,y,z)) (par d´efinition de la composition) =g(3x+ 5y+ 7z,2x+ 2y+ 2z) (par d´efinition def) = (5x+ 7y+ 9z,x+ 3y+ 5z) (par d´efinition deg).La compos´eeg◦fest donc
(x,y,z)?→?5x+ 7y+ 9z x+ 3y+ 5z?Exercice
Exo 1Calculez la compos´eeg◦favec
g:= (x,y)?→?2x+y x+ 2y? ,f:= (x,y,z)?→?3x+ 3y+ 3z2x+ 4y+ 6z?
Lin´earit´e de la composition : ´enonc´eProposition
La compos´ee de deux applications lin´eaires est encore lin´eaire.Plus formellement, ¸ca se lit :
?p,q,r?N,?f?Lq,r,?g?Lp,q,g◦fest lin´eaire.Lin´earit´e de la composition : preuve
Soientp,q,rtrois entiers,fdansLq,retgdansLp,q. Pour montrer queg◦fest lin´eaire, il faut montrer : ?λ,μ?R,?u,v?Rr,(g◦f)(λu+μv) =λ(g◦f)(u)+μ(g◦f)(v).On a (g◦f)(λu+μv)
=g(f(λu+μv)) (par d´efinition de la composition) =g(λf(u) +μf(v)) (par lin´earit´e def) =λg(f(u)) +μg(f(v)) (par lin´earit´e deg) =λ(g◦f)(u) +μ(g◦f)(v) (par d´efinition de la composition).Carte de visite des compositions
On rappelle queLp,qd´esigne l"ensemble des applications lin´eaires deRqdansRp. p,q,r:Lp,q×Lq,r→Lp,r (g,f)?→g◦f (g,f)?→(v?→g(f(v)).Et il faut voir ¸ca comme suit :
R rf-→Rqg-→Rp.Surcharge pour les compositions
Notation
On note toutes les compositions d"applications avec le seul signe◦.Exo 2 Sachant quehest dansLp,qetfdansLr,s, dites quelles sont les compositions (lin´eaires) figurant dans la formule d"associativit´e (h◦g)◦f=h◦(g◦f). Associativit´e de la composition : ´enonc´eProposition
La composition des applications lin´eaires est associative.Plus formellement, ¸ca se lit :
Associativit´e de la composition : d´emonstration Soientp,q,r,s,f,g,hcomme dans l"´enonc´e. On doit montrer (h◦g)◦f=h◦(g◦f) autrement dit ?u?Rs,((h◦g)◦f)(u) = (h◦(g◦f))(u).Soit doncu quelconque dansRs. Par d´efinition de la composition, on a ((h◦g)◦f)(u) = (h◦g)(f(u)) =h(g(f(u))). Et de mˆeme (h◦(g◦f))(u) =h((g◦f)(u)) =h(g(f(u))). On a donc bien ((h◦g)◦f)(u) = (h◦(g◦f))(u). Cqfd.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] quelle question poser a la maitresse
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