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Razika NIBOUCHAetAlain SALINIER

Composition d"applications quasi-polynomiales

Tome 29, n

o2 (2017), p. 569-601. © Société Arithmétique de Bordeaux, 2017, tous droits réservés. L"accès aux articles de la revue " Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://jtnb.cedram.org/ legal/). Toute reproduction en tout ou partie de cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l"utilisation à fin strictement personnelle du copiste est constitutive d"une infrac- tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.cedramArticle mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/

Journal de Théorie des Nombres

de Bordeaux29(2017), 569-601

Composition d"applications quasi-polynomiales

parRazikaNIBOUCHA etAlainSALINIER Résumé.L"objet de ce travail est l"étude de la composition des applications quasi-polynomiales deZdansZ, et plus particuliè- rement des applications quasi-affines, définies comme les appli- cations quasi-polynomiales de degré au plus 1. On montre que les applications quasi-affines correspondent aux endomorphismes continus de l"algèbre des suites reconnaissables indexées parZ. On représente les applications quasi-affines par des suites finies d"en- tiers, et on donne les formules explicites sur ces suites traduisant la composition ou la réversion des fonctions quasi-affines. Enfin, est étudié un problème de coloriage équivalent à la caractérisation de telles suites pour des bijections quasi-affines.

Abstract.Composition of quasi-polynomial maps.

The aim of this work is to study compositional properties of quasi- polynomial maps fromZtoZ, and more particularly of quasi- affine maps, namely quasi-polynomial maps of degree at most 1. We show that quasi-affine maps correspond to continuous endo- morphisms of the algebra of recognizable bi-infinite sequences. We represent quasi-affine maps by means of finite sequences of in- tegers, and we give explicit formulae on these sequences which translate composition or reversion of quasi-affine maps. Finally, we consider a coloring problem equivalent to the characterization of such sequences for quasi-affine bijections.

Introduction

Les applications quasi-polynomiales sont les applications deZdansC qui sont combinaisons linéaires à coefficients périodiques des fonctions puis- sances d"exposant entier naturel. Ce type d"applications semble être apparu dans les travaux de Cayley [ 7 ], qui a en substance observé que le dénumé- rant [ 9 , p. 120] d"un entier naturelnpar rapport à une suite strictement croissantea= (a1,a2,...)d"entiers naturels non nuls, c"est-à-dire le nombre de solutions en entiers naturels de l"équationa1x1+a2x2+···=n, est une

fonction quasi-polynomiale de l"entiern. Ehrhart [10] en a mené une étudeManuscrit reçu le 19 janvier 2016, révisé le 13 septembre 2016, accepté le 17 octobre 2016.

Mathematics Subject Classification.11B37.

Mots-clefs.Bijections entre entiers rationnels, coloriages, quasi-polynômes, suites récurrentes

linéaires.

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plus systématique dans le cadre de ses recherches relatives au nombre de points à coordonnées entières dans certains polytopes. L"objet de ce travail est l"étude des propriétés de ces quasi-polynômes relativement à l"opération de composition des applications. Aucun des tra- vaux qui nous sont connus n"avait envisagé ces propriétés. Bien sûr, pour pouvoir définir cette composition, il convient de se restreindre aux appli- cations quasi-polynomiales à valeurs entières, pour lesquelles nous réser- vons le nom de quasi-polynômes arithmétiques. (Ehrhart [ 10 , p. 12] les dénommait plus brièvement des polars ou des polynômes arithmétiques). Le fait fondamental dans notre étude est la stabilité de l"ensemble des quasi- polynômes arithmétiques pour la composition (théorème 1.6 ). Nous nous intéressons aux éléments inversibles du monoïde ainsi défini, c"est-à-dire aux quasi-polynômes arithmétiques qui induisent des bijections deZdans Z, en montrant qu"ils sont tous quasi-affines (théorème1.10 ), c"est-à-dire combinaisons linéaires à coefficients périodiques des deux fonctions1etIdZ. Le reste de cet article est consacré aux propriétés de ces fonctions quasi- affines, qui constituent un sous-monoïdeQAdu monoïde de tous les quasi- polynômes arithmétiques (théorème 2.9 ). Nous représentons chacune de ces fonctions?par un triplet(d,a,b), appelé présentation de?, oùd≥1est un entier période des coefficients, et oùaetbsont deux suites d"entiers, chacune de longueurd, et nous explicitons les règles de calcul sur ces objets qui correspondent à la composition des fonctions, à l"égalité des fonctions et à la réversion d"une fonction bijective. Ceci revient à décrire le monoïde QAcomme le quotient d"un monoïdePQA, dont l"ensemble sous-jacent est la réunion disjointe? d≥1Z2d, et dont l"opération est celle donnée par les formules de notre proposition 2.10 . La relation d"équivalence par laquelle on quotiente le monoïdePQApour obtenirQAest précisée par l"énoncé de la proposition 2.13 Cette étude des fonctions quasi-affines deZdansZest inspirée de la notion d"application purement semi-affine deNdansNintroduite dans [1], elle-même cas particulier des applications semi-affines deNdansNdéfi- nies dans [ 3 ]. En effet, de même que [ 3 ] interprétait les applications semi- affines comme endomorphismes continus de l"algèbre des suites indexées par l"ensembleNrécurrentes linéaires sur un corps commutatif de caractéris- tique nulle, les applications quasi-affines correspondent exactement, d"après notre théorème 3.19 , aux endomorphismes continus de l"algèbre des suites indexées par l"ensembleZreconnaissables sur uneQ-algèbre commutative complètement intégralement close. La possibilité d"une telle description ex- plique l"intérêt particulier qui s"attache au monoïdeQA. On aimerait donc décrire le groupeQA?de ses éléments symétrisables, c"est-à-dire des quasi-polynômes arithmétiques bijectifs. En préalable à cette question, nous cherchons dans la dernière section du présent article

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à caractériser les suites finiesa?Zdtelles qu"il existe une bijection quasi- affine de rapporta, c"est-à-dire représentée par un triplet(d,a,b)pour un certainb?Zd. Pour ce faire, nous associons à la suiteale multiensemble d"entiers naturels obtenu en prenant pour multiplicité d"un entier le nombre d"occurrences de cet entier dans la suite des valeurs absolues des termes de a; en effet, l"existence d"une bijection quasi-affine de rapportane dépend que du multiensemble ainsi associé à la suitea(proposition5.1 ). On cherche donc à caractériser les multiensembles associés aux rapports des bijections quasi-affines, dénommés multiensembles idoines. La question de la carac- térisation des multiensembles idoines est ramenée par la proposition 5.2 un certain problème de coloriage qui, à notre connaissance, n"avait pas été abordé jusqu"à présent. On montre ainsi qu"une condition suffisante pour qu"un multiensemble donné soit idoine est que tous les plus grands divi- seurs communs de deux éléments distincts du support sont égaux entre eux (proposition 5.3 ) et on étudie quelques exemples de multiensembles idoines ou non (exemples 5.5 et 5.6 Les remarques qui suivent pourront éclairer le lecteur sur la termino- logie et les méthodes de démonstration utilisées. En premier lieu, notons que l"appellation d"application semi-affine précédemment utilisée [ 1 3 ] a été ici écartée pour être remplacée par celle d"application quasi-affine. Plus que par le fait que sont ici considérées des applications deZdansZ, et non deNdansN, ce changement est motivé par le fait que ces applica- tions sont des cas particuliers de quasi-polynômes. Dans l"étude des quasi- polynômes arithmétiques bijectifs, nous utilisons la notion (analytique) de densité d"une partie de l"ensembleZ. Il aurait été aussi possible d"utiliser cette notion dans l"étude faite dans la section 4 des bij ectionsquasi-affines, la condition 1 de la prop osition 4.4 a yantune in terprétationdirecte à l"aide des densités. Cependant, nous avons préféré justifier cette condition par des arguments purement combinatoires, en introduisant une notion appe- lée empreinte, qui est une application à valeurs dans un groupe, et dont la source est une réunion disjointe de groupes.

Dans la section

3 du présen ttra vail,nous nous conformons, p ouralléger l"expression, à l"usage, inauguré dans le contexte des suites indexées par l"ensembleNpar G. Hansel [13], consistant à utiliser le vocable de " recon- naissable » comme synonyme de " récurrente linéaire ». La démonstration de la caractérisation des applications quasi-affines au moyen des endomor- phismes continus de l"algèbre des suites reconnaissables est très proche de celle de [ 3 ] : c"est pourquoi nous avons omis de reprendre un certain nombre d"arguments en renvoyant pour leur exposé à la littérature existante lorsque cela nous a paru possible. Notons que cette caractérisation peut se com- prendre comme une solution, dans un cas particulier, du problème général de la théorie des bigèbres concernant le rapport susceptible d"exister entre

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les endomorphismes de l"algèbre duale finie et ceux de l"algèbre duale : en effet, Larson et Taft [ 14 ] ont observé, tout au moins lorsque l"anneau de base Aest un corps, que l"algèbre des suites reconnaissablesrZ(A)dont nous dé- terminons les endomorphismes continus, s"identifie au dual fini de l"algèbre de Hopf dont l"algèbre sous-jacente est l"algèbreA[X,X-1]des polynômes de Laurent et dont la comultiplication est donnée parΔ(Xn) =Xn?Xn pour toutn?Z, alors que l"algèbreSZ(A)de toutes les suites s"interprète comme son dual tout entier. Ainsi notre résultat revient, pour cette bigèbre particulière, à décrire les endomorphismes continus du dual fini en tant que sous-ensemble des endomorphismes continus du dual. Notation.Étant donnés deux nombres réelsxety, la notation[x..y]dé- signe l"intersection[x,y]∩Z. Même convention pour des intervalles ouverts ou semi-ouverts.

1. Les quasi-polynômes

1.1. La notion de quasi-polynôme.La définition suivante des quasi-

polynômes est celle donnée dans l"ouvrage [ 18 ] de R. Stanley. Définition 1.1.Étant donné un entier naturel?, unquasi-polynôme de de- gré?est une fonctionf:Z→Ctelle qu"existent?+1fonctions périodiques a

0,...,a?deZdansCsatisfaisant l"identité

(1.1)?m?Z, f(m) =a0(m) +a1(m)m+···+a?(m)m?, aveca??= 0. Un entier non nul période de toutes les fonctionsajpour j?[0..?]est alors appelé unequasi-périodedef. On convient que la fonction nulle est l"unique quasi-polynôme de de- gré-∞. La notationdeg(f) =?signifie que le quasi-polynômefest de degré?. Pour pouvoir définir la composition de quasi-polynômes, on se restreint au cas particulier de fonctions à valeurs entières. Dans ce cas, E. Eh-quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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