LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
2- Le déterminant d'une matrice . 2. 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Généralités sur les matrices
2. Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et. : ......... 3 ... Trace d'une matrice carrée d'ordre n (notée ) : .
Déterminants 1 Cas dune matrice dordre 2 2 Cas dune matrice d
Dans tout ce qui suit nous ne considérerons que des matrices carrées. En notant Aij la matrice d'ordre 2 obtenue en supprimant la i`eme ligne et la ...
Chapitre 6. Déterminant dune matrice carrée
2 1. 1 3 \\. =?? det (. 4 1. ?1 3). =?? A quoi ça sert ? Ca sert
Les matrices - Lycée dAdultes
. est une matrice diagonale. Définition 2 On appelle matrice identité d'ordre n la matrice carrée dont les éléments de la diago- nale sont égaux
Diagonalisation dune matrice carrée
2. Polynômes caractéristique. Soit A une matrice carrée d'ordre n . ? est une valeur propre de A et X un vecteur propre de. A associé à ? donc on a :.
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Si elles ont un sens calculer les matrices AB
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À présent que nous avons vu comment calculer l'inverse d'une matrice carrée (nous nous sommes limités au cas 2 × 2 mais nous aurons l'occasion de voir que
MATRICES
Propriété : La matrice est inversible si et seulement si
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Définition 2 Une matrice carrée D = dij est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls Une telle matrice est fréquemment notée D =diag(d11d22 dnn) où certains ou tous les scalaires dii peuvent être égaux à zéro Exemples 1 100 030 002 = D 2 40 05 = ? D 3 1000 0000 0020 0005 = ? D 3 3 Matrice Identité
Matrice carrées PrepAcademy
Trace d’une matrice carrée d’ordre n # L : = Ü Ý (notée P N ;) : Somme des éléments de la diagonale principale i e trA L a 5 5a 6 6?a l l Propriétés : 1 trA E B L trA E trB 2 tr cA L c trA 3 Forme échelonnée d’une matrice
Exo7 - Cours de mathématiques
• La matrice (de taille n p) dont tous les coef?cients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0np ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels
Les Matrices Cours - Lycée d'Adultes
–Une matrice ne contenant qu’une colonne (matrice m×1) est appelée matrice-colonne ou encore vecteur-colonne –Unematriceayantlemêmenombredelignesetdecolonnes(matricem×m)estappeléematricecarrée L’ensembledes matricescarrées d’ordre mà coe?cients réelssenote M mm(
Chapitre 13 : Matrices - résumé de cours
• Toute matrice carrée s’écrit comme combinaison linéaire des matrices (E ij) 1 ij n • Soit A et B deux matrices carrées d’ordre n les produits matriciels AB et BA existent et donne une matrice carrée d’ordre n Le produit est donc une opération interne dans n ( )
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Le produit est automatiquement bien défini pour les matricées carrées d’ordre L’élement neutre est () ( ) On l’appelle la matrice d’identité d’ordre On a une structure d’algèbre sur ( ) isomorphe à ( ) si ii) Ce qui ne marche pas toujours Attention : Le produit n’est pas toujours bien défini : par exemple
Comment faire une matrice carrée d’ordre 3 ?
Il est également possible : en effet cela reste un produit de deux matrices carrées et donne à nouveau, une matrice carrée d’ordre?3. Le produit de A par B est possible car ce sont toutes les deux des matrices carrées d’ordre 3. Ce produit donne une matrice carrée d’ordre 3. Soit une matrice de format 3 × 3.
Comment calculer une matrice carrée ?
Le calcul du produit B × Adonne un résultat différent. Il est également possible : en effet cela reste un produit de deux matrices carrées et donne à nouveau, une matrice carrée d’ordre?3. Le produit de A par B est possible car ce sont toutes les deux des matrices carrées d’ordre 3. Ce produit donne une matrice carrée d’ordre 3.
Quel est le produit d’une matrice carrée d’ordre n par la matrice identité ?
Le produit d’une matrice A carrée d’ordre n par la matrice identité donne toujours la matrice A. Et ce produit est commutatif. Il s’agit du seul cas (avec le produit par la matrice nulle et les puissances de matrices) où il peut être commutatif (à part les hasards du calcul qui restent exceptionnels).
Qu'est-ce que la matrice carrée?
Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes est appelée matrice carrée. Si elle a pour dimension (nn,), on dit alors qu’elle est d’ordre n. Rappelons que l’addition et la multiplication de matrices ne sont pas définies pour des matrices quelconques. Cependant, si on considère uniquement des matrices carrées d’ordre n
1 Cas d'une matrice d'ordre 2SoitA=a b
c d . Siadbc6= 0 alors la matriceAest inversible et A1=1adbc
db c a Par contre, siadbc= 0,An'est pas inversible.Proposition 1.1 Le reeladbcest appeledeterminantde la matriceAet on note detA=adbc:Denition 1.12 Cas d'une matrice d'ordre 3
Echelonnons la matriceA= (aij)1i;j3.
A (1)=0 @a11a12a13
a11a21a11a22a11a23
a11a31a11a32a11a331
A ; A(2)=0 @a11a12a13
0a11a22a12a21a11a23a13a21
0a11a32a12a31a11a33a13a311
ACommeAest inversible l'element en position (2;2) ou (3;2) deA(2)est non nul. Supposons que l'element en
position (2;2) est non nul. Alors, A (3)=0 @a11a12a13
0a11a22a12a21a11a23a13a21
0 0 1 Aavec =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.Le reel est appeledeterminantde la matriceAet on note
detA=a11a22a33+a12a23a31+a12a23a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31:Denition 2.1 Une matrice d'ordre 3 est inversible si et seulement si son determinant est non nul.Theoreme 2.1 En notant,Aijla matrice d'ordre 2 obtenue en supprimant laieme ligne et la jeme colonne deA, on a =a11detA11a12detA12+a13detA13 1Trilin
earite du determinant d'une matrice d'ordre 3 SiAest une matrice 33, on peut considerer detAcomme une fonction des 3 vecteurs colonnes deAnotes a1;a2eta3. On denit l'applicationT1deR3dansRpar
T1(x) = det(x a2a3):
Autrement dit, on fait varier la 1ere colonne deA. L'applicationTest lineaire, i.e. i)T(x) =T(x), pour tout2R, ii)T(u+v) =T(u) +T(v), pour toutu;v2R3.De m^eme les applicationsT2(x) = det(a1x a3) etT3(x) = det(a1a2x) sont lineaires deR3dansR.Le determinant est l'unique application deM3(R) dansRlineaire par rapport a chaque vecteur-colonne, les
autres etant xees.Theoreme 2.23 Cas d'une matrice d'ordrenquelconque
SoitA= (aij)1i;jnune matrice d'ordren, avecn2.
On peut denir le determinant d'une matrice d'ordrena partir des sous-matrices d'ordre (n1).SoitAijla matrice d'ordre (n1) obtenue en supprimant laieme ligne et lajeme colonne deA.Soitn2. Le determinant d'une matriceA= (aij)1i;jnd'ordrenest deni par
detA=a11detA11a12detA12++ (1)n+1a1ndetA1n:Denition 3.1 Le determinant est une forme multilineaire alternee au sens suivant : i) Le d eterminantest l'unique application de Mn(R) dansRlineaire par rapport a chaque vecteur-colonne, les autres etant xes. ii)Le d eterminantd'une matrice c hangede signe lorsque l'on p ermutedeux colonnes adjacen tesde la matrice. Theoreme 3.1
4 Developpement en cofacteurs
Soit A une matrice do'ordren.
On app ellemineur deArelatif aaijle determinant ij= detAij. On app ellecofacteur deArelatif aaijle nombre cof (aij) = (1)i+jij.Denition 4.1 2 Le determinant d'une matriceA= (aij)1i;jnd'ordren1 alors, on obtient detAsuivant un developpement en cofacteurs par rapport a i) la i emeligne : det A=nX j=1a ijcof (aij),i= 1;;n, ii) la j emecolonne : det A=nX i=1a ijcof (aij),j= 1;;n.Proposition 4.1Remarque :Le caclul du determinant d'une matrice d'ordrense ramene au calcul den! determinants d'ordre
1. Ainsi, pour une matrice d'ordre 25 on a 25!1;51025. Un ordinateur tera
ops, (1012operations en virguleottante par seconde) aurait besoin d'au moins 500000 ans de fonctionnement ...On appellematrice des cofacteursdeA= (aij)1i;jnla matrice, notee cofA, de coecients cof (aij).Denition 4.2
Pour toute matriceAon a
A(cof (A))T= (cof (A))TA= (detA)In:
En particulier, siAest inversible,
A1=1detA(cofA)T:Theoreme 4.1
5 Proprietes des determinants
Le determinant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coecients diagonaux.Proposition 5.1SoitAune matrice carree.
Si Best une matrice obtenue en ajoutant a une ligne deAun multiple d'une autre de ses lignes, alors detB= detA. Si Best une matrice obtenue en intervertissant deux lignes deA, alors detB=detA.Si Best une matrice obtenue en multipliant une ligne deApar reelk, alors detB=kdetA.Proposition 5.2(Operations sur les lignes)De maniere analogue, on peut eectuer des operations sur les colonnes de la matrice.
SoitAune matrice carree d'ordren. Alors, detA= detAT.Theoreme 5.1 Une matrice carreeAest inversible si et seulement si detA6= 0.Theoreme 5.2 3SoitAune matrice carree.
det A= detAT. Soit Bune matrice de m^eme taille queA, alors detAB= (detA)(detB).Si Aest inversible, alors
det(A1) =1detA:Proposition 5.3Attention :
det( A)6=detApourA2 Mn(R), det( A+B)6= detA+ detBpourA;B2 Mn(R)!6 ApplicationSoitAune matrice inversible. L'unique solution du systeme lineaireAx=best donnee par
x i=detMidetA;ouMiest la matrice d'ordrenobtenue en remplacant la ieme colonne deApar le vecteurb.Theoreme 6.1(Regle de Cramer)SoitAune matrice d'ordren. Le determinant deAest nul si l'une des conditions suivantes est veriee.
{Apossede une ligne (ou une colonne) nulle, {Apossede deux lignes (ou deux colonnes) identiques, {Apossede deux lignes (ou deux colonnes) proportionnelles;{Apossede une ligne (ou une colonne) qui est combinaison lineaire des autres lignes (ou colonnes).Proposition 6.1
7 Interpretation geometrique du determinant
Si Aesr une matrice d'ordre 2, l'aire du du parallelogramme deni par les colonnes deAest egal ajdet(A)j.
Si Aesr une matrice d'ordre 3, le volume du du parallepipede deni par les colonnes deAest egal ajdet(A)j.Proposition 7.1
7.1 Transformations lineaires
4 {Soit T:R2!R2une transformation lineaire determinee par une matriceAd'ordre 2. SiSest un pa- rallelogramme deR2, alors en notantA(S) etA(T(S)) les aires deSet deT(S) on aA(T(S)) =jdetAjA(S):
Soit T:R3!R3une transformation lineaire determinee par une matriceAd'ordre 3. SiSest un pa- rallepipede deR3, alors en notantV(S) etV(T(S)) les volumes deSet deT(S) on aV(T(S)) =jdetAjV(S):Proposition 7.2
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