Calcul matriciel PDF C'est une matrice carré

Les matrices - Lycée dAdultes

Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice

II. Les Matrices

L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs numériques (n = lignes vecteur ligne qui est une matrice 1 x m.

Généralités sur les matrices

Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives La transposée d'une matrice s'obtient en remplaçant les lignes de la matrice par ses.

Le rang

31 janv. 2006 Une matrice B est dite échelonnée en lignes si. – chaque ligne non nulle de B commence avec strictement plus de 0 que la ligne précédente et. – ...

CH 5 : Manipulation de matrices dans Scilab

matrice ligne ou vecteur ligne. • Une matrice ne possédant qu'une colonne (i.e. de taille n × 1) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne.

Quelques commandes R

commentaires (jusqu'`a la fin de ligne). Vecteurs. Les vecteurs ne sont pas des matrices et n'ont qu'1 dimension. matrice de 0 `a 10 ligne 20 colonnes.

Rang des matrices

Le rang d'une matrice ne change pas quand on change l'ordre des lignes quand on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non.

Calcul matriciel

C'est une matrice carrée. [7 13 11 5 3]. Cette matrice a pour dimension 1×5. Elle comporte 1 lignes et 5 colonnes. C'est un vecteur ligne.

Matrix algebra for beginners Part I matrices determinants

Addition of matrices obeys all the formulae that you are familiar with for addition of numbers A list of these are given in Figure 2 You can also multiply a matrix by a number by simply multiplying each entry of the matrix by the number If ? is a number and A is an n×m matrix then we denote the result of such multiplication by ?A where

Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1

Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice (np) ou np× Définition 2 Le couple (np) est appelé dimension de la matrice Définitions 3 Une matrice de dimension (n1) est une matrice colonne Une matrice de dimension (1 p) est une matrice ligne Notation: L’ensemble des matrices de dimension (np) est noté Mnp ()

1 Introduction to Matrices - University of Florida

Identity Matrix – Diagonal matrix with 1’s everywhere on main diagonal Symmetric Matrix – Matrix where element aij = aji ?ij Scalar – A single ordinary number The transpose of a matrix is the matrix generated by interchanging the rows and columns of the matrix If the original matrix is A then its transpose is labelled A0 For

BLOCK MATRICES IN LINEAR ALGEBRA - Pomona College

BLOCK MATRICES IN LINEAR ALGEBRA STEPHAN RAMON GARCIA AND ROGER A HORN Abstract Linear algebra is best done with block matrices As evidence in support of this thesis we present numerous examples suitable for classroom presentation 1 Introduction This paper is addressed to instructors of a rst course in linear algebra who

MATRICES ET DETERMINANTS

• Une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux est dite scalaire » Une matrice scalaire dont les« éléments diagonaux valent 1 est dite « identité » et se note I n • Une matrice à une ligne s’appelle« matrice-ligne » et une matrice à une colonne s’appelle « matrice-colonne »

Calcul matriciel - PCSI2

1 Si n = p (la matrice a donc le même nombre de lignes et de colonnes) M est dite matrice carrée On note alors Mnp(K) = Mn(K) 2 Si n = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule ligne) M est dite matrice ligne 3 Si p = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule colonne) M est dite matrice colonne Définition 2

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Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Chapitre 3Calcul matriciel

1. Définitions et Vocabulairea. Définitions d'une matriceDéfinitionUne matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p

colonnesExemples [3787 2145

56102]Cette matrice a pour dimension 3×4Elle comporte 3 lignes et 4 colonnesC'est une matrice quelconque

[36-57 4781
082-5

00-16]Cette matrice a pour dimension 4×4Elle comporte 4 lignes et 4 colonnesC'est une matrice carrée

[7131153]Cette matrice a pour dimension 1×5Elle comporte 1 lignes et 5 colonnesC'est un vecteur ligne

[1 4 2 5

-3]Cette matrice a pour dimension 5×1Elle comporte 5 lignes et 1 colonnesC'est un vecteur colonne1 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)b. Vocabulaire•Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice•On noteaijle coefficient à l'intersection de la ligne i et la colonne j.•Toute matrice est de la forme :

[a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp

]•Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnesOn a alors n = p.•Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne•Un vecteur ligne est une matrice à une seule ligne•Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à

la même place sont égaux.c. Transposée d'une matriceDéfinitionLa transposée d'une matrice est obtenu en échangant les lignes et les colonnesSi A est une matrice alors sa transposée se note : tA

Les lignes de A sont les colonnes de tA

Si A= [a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp ]alors tA= [a11a21a31...........an1 a12a22a32..........an2 a13a23a33...........an3 a1pa2pa3p...........anp ]2 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Exemples A= [3787 2145

56102]

tA= [325 716
8410

752]B=

[36-57 4781
082-5

00-16]tB=

[3400 6780
-582-1

71-56]

C=[41034]tC=

[4 10 3 4] D= [5 2 1

6]tD=[5216]2. Additions et Soustractionsa. Les additions et soustractions de matricesRègle de calculLa somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la

matrice obtenue en ajoutant ( ou soustrayant ) les coefficients de A et B situés à la même place.Exemple Si A= [3787 2145

56102]et

B= [0347 1361

0019]alors

AB=

[3101214 34106

561111]3 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :A+B a la même dimension que A et B. b. Multiplication par un réelRègle de calculLe produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant

chaque coefficient de A par .Exemples Si A= [3787 2145

56102]alors

10A= [30708070

20104050

506010020] Si

A= [1 3 7 3 8 3 7 3 2 3 1 3 4 3 5 3 5 3 6 3 10 3 2 3 ]alors 3A= [1787 2145

56102]Si

A= [1787 2145

56102]alors

1 2 A= [1 2 7 2 8 2 7 2 2 2 1 2 4 3 5 2 5 2 6 2 10 2 2 2

4 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)3. Multiplications a. Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonneRègle de calcul[a1a2....an-1an]×

[b1 b2 bn-1 bn a1 ×b1a2 ×b2....an-1×bn-1an×bnExemple [14201]× [3 1 5 4 0

1 ×34 ×12 ×50 ×41 ×0= 17b. Produit d'une matrice par un vecteur colonneRègle de calculPour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie

chacune des n lignes de la matrice A par le vecteur colonne BOn obtient alors un vecteur colonneExemples Si

A=[24

32]et B=[5

7]alorsA×B=[24

32]×[5

7]=[2 ×44 ×7

3 ×52 ×7]=[36

29] Si

A=[241

322]et B=

[1 0

0]alors

A×B=[241

322]×

[1 0

0]=[2 ×14 ×01 ×0

3 ×12 ×02 ×0]=[2

3]5 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605) Si A=[241

322]et B=

[0 1

0]alors

A×B=[241

322]×

[0 1

0]=[2 ×04 ×11 ×0

3 ×02 ×12 ×0]=[4

2] Si

A=[241

322]et B=

[0 0

1]alors

A×B=[241

322]×

[0 0

1]=[2 ×04 ×01 ×1

3 ×02 ×02 ×1]=[1

2]Si

A=[241

322]et B=

[x y z]alors

A×B=[241

322]×

[x y z]=[2x4y1z

3x2y2z]d. Produit de deux matricesRègle de calculSi A

aijest une matrice de dimension n×p et B bijest une matrice de dimension p×m alors C=A×B cijest une matrice de dimension n×m et Cij est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.Exemple Si

A=[241

322]et B=

[014 017

156]alors

A×B=[241

322]×

[014 017 156]

A×B=[2 ×04 ×01 ×12 ×14 ×11 ×52 ×44 ×71 ×6

3 ×02 ×02 ×13 ×12 ×12 ×53 ×42 ×72 ×6]=[11142

21538]6 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)e. Propriétés de la multiplicationLa multiplication n'est pas commutative :

AxB BxA Exemple A=[20

34]et B=[-11

45] La multiplicatin est distributive par rapport à l'addition :A × (B + C) = A × B + B × CExemple

A=[20

34], B=[-11

45]et C=[17

82]La multiplication est associativeA × (B × C ) = ( A × B ) × C Exemple

A=[20

34], B=[-11

45]et C=[17

82]4. Matrice unité et Inverse a. DéfinitionDéfinitionIn est une matrice unité si i ∀∈ , aℕii = 1 et aij=0 si i ≠ jTous les coefficient de la diagonale sont égaux à 1 et les autres sont tous nulsExemple

I3= [100 010

001]7 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)DéfinitionSoit A une matrice carrée n × n.La matrice A-1 est l'inverse de A ssi A × A-1 = A-1 × A= In

Exemple Si A=[20

34]alorsA-1=

[1 20 -3 8 1

4] En effet : A × A-1 = A-1 × A= I3

b. Recherche de l'inverse d'une matriceRègle de calculPour déterminer l'inverse d'une matrice M carée d'ordre n, on recherche une

matrice N dont les coefficients sont des inconnues telle que M x N = In

Exemple Soit

M=[32

2-1]On cherche une matrice N telle que MN = I2

On pose

N=[ab cd] On a alors

M=[3a2c3b2d

2a-c2b-d]

Ainsi, MN = I equivalent à

[3a2c3b2d

2a-c2b-d]= [10

01] Ou encore :3a + 2c = 13b + 2d = 02a - c = 02b - d = 1 On trouve a = 1/7, b = 2/7, c = 2/7 et d = -3/7 On en déduit que la matrice M est inversible et

M-1= [1 7 2 7 2 7 -3

7]8 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :Soit A=[ab cd]une matrice carrée d'ordre 2

A est inversible si, et seulement si a d - bc 0Si A est inversible, on démontre facilement que

A-1 =1

ad-bc[d-b -ca]

5. Résolution de systèmes d'équationsExemple Je souhaite résoudre

{2x-3y=8

3x5y=-7 or,

[2-3

35]×[x

y]=[2x-3y

3x5y] ce système est équivalent à l'équation suivante : AX = B avec

A=[2-3

35], X=[x

y]et B=[8

-7]or A X = B A⇔-1 × A × X = A-1 × B donc A × X = B I⇔2 * X = A-1 × B X = A⇔-1 × BIl reste donc à calculer A-1 et de calculer A-1 × Bpour obtenir x et y. Attention A-1 est à gauche dans A-1 × BOn trouve

A-1= [5 19 3 19 -3 19 2

19]donc

[x y]= [5 19 3 19 -3 19 2

19]×[8

-7]= [5

19 ×8-3

19 ×7

-3

19 ×8 -2

19 ×7]=

[1 9 19 -38

19]=[1

-2] x = 1 et y = -2⇒9 / 10

Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)6. Autres calculsa. Puissances de matricesPour calculer An on effectue A×A×A ......×A ( n fois )Exemple J=

[010 001

000] montrer que

J3=0b. Image d'une matrice par une fonction polynômeOn note la fonction

f(x) = ( x - 2 )( x - 3 )(x - 5 )Soit A une matrice carrée n × nPour calculer f(A) on effectue ( A - 2In)( A - 3In)( A - 5In)

Exemple Si

J= [200 030

005]montrer que

f(A) = 010 / 10quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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1. Définitions et Vocabulairea. Définitions d'une matriceDéfinitionUne matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p

56102]Cette matrice a pour dimension 3×4Elle comporte 3 lignes et 4 colonnesC'est une matrice quelconque

00-16]Cette matrice a pour dimension 4×4Elle comporte 4 lignes et 4 colonnesC'est une matrice carrée

Les lignes de A sont les colonnes de tA

56102]

752]B=

00-16]tB=

71-56]

C=[41034]tC=

6]tD=[5216]2. Additions et Soustractionsa. Les additions et soustractions de matricesRègle de calculLa somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la

56102]et

0019]alors

AB=

561111]3 / 10

56102]alors

20104050

506010020] Si

56102]Si

56102]alors

4 / 10

1 ×34 ×12 ×50 ×41 ×0= 17b. Produit d'une matrice par un vecteur colonneRègle de calculPour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie

32]et B=[5

7]alorsA×B=[24

32]×[5

7]=[2 ×44 ×7

3 ×52 ×7]=[36

29] Si

A=[241

322]et B=

0]alors

A×B=[241

322]×

0]=[2 ×14 ×01 ×0

3 ×12 ×02 ×0]=[2

3]5 / 10

322]et B=

0]alors

A×B=[241

322]×

0]=[2 ×04 ×11 ×0

3 ×02 ×12 ×0]=[4

2] Si

A=[241

322]et B=

1]alors

A×B=[241

322]×

1]=[2 ×04 ×01 ×1

3 ×02 ×02 ×1]=[1

A=[241

322]et B=

A×B=[241

322]×

3x2y2z]d. Produit de deux matricesRègle de calculSi A

A=[241

322]et B=

156]alors

A×B=[241

322]×

3 ×02 ×02 ×13 ×12 ×12 ×53 ×42 ×72 ×6]=[11142

21538]6 / 10

AxB  BxA Exemple A=[20

34]et B=[-11

45] La multiplicatin est distributive par rapport à l'addition :A × (B + C) = A × B + B × CExemple

34], B=[-11

45]et C=[17

82]La multiplication est associativeA × (B × C ) = ( A × B ) × C Exemple

34], B=[-11

45]et C=[17

82]4. Matrice unité et Inverse a. DéfinitionDéfinitionIn est une matrice unité si i ∀∈ , aℕii = 1 et aij=0 si i ≠ jTous les coefficient de la diagonale sont égaux à 1 et les autres sont tous nulsExemple

001]7 / 10

Exemple Si A=[20

34]alorsA-1=

4] En effet : A × A-1 = A-1 × A= I3

Exemple Soit

2-1]On cherche une matrice N telle que MN = I2

On pose

M=[3a2c3b2d

2a-c2b-d]

AxB BxA Exemple A=[20