Rang des matrices PDF Le rang d'une matrice

Les matrices - Lycée dAdultes

Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice

II. Les Matrices

L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs numériques (n = lignes vecteur ligne qui est une matrice 1 x m.

Généralités sur les matrices

Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives La transposée d'une matrice s'obtient en remplaçant les lignes de la matrice par ses.

Le rang

31 janv. 2006 Une matrice B est dite échelonnée en lignes si. – chaque ligne non nulle de B commence avec strictement plus de 0 que la ligne précédente et. – ...

CH 5 : Manipulation de matrices dans Scilab

matrice ligne ou vecteur ligne. • Une matrice ne possédant qu'une colonne (i.e. de taille n × 1) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne.

Quelques commandes R

commentaires (jusqu'`a la fin de ligne). Vecteurs. Les vecteurs ne sont pas des matrices et n'ont qu'1 dimension. matrice de 0 `a 10 ligne 20 colonnes.

Rang des matrices

Le rang d'une matrice ne change pas quand on change l'ordre des lignes quand on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non.

Calcul matriciel

C'est une matrice carrée. [7 13 11 5 3]. Cette matrice a pour dimension 1×5. Elle comporte 1 lignes et 5 colonnes. C'est un vecteur ligne.

Matrix algebra for beginners Part I matrices determinants

Addition of matrices obeys all the formulae that you are familiar with for addition of numbers A list of these are given in Figure 2 You can also multiply a matrix by a number by simply multiplying each entry of the matrix by the number If ? is a number and A is an n×m matrix then we denote the result of such multiplication by ?A where

Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1

Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice (np) ou np× Définition 2 Le couple (np) est appelé dimension de la matrice Définitions 3 Une matrice de dimension (n1) est une matrice colonne Une matrice de dimension (1 p) est une matrice ligne Notation: L’ensemble des matrices de dimension (np) est noté Mnp ()

1 Introduction to Matrices - University of Florida

Identity Matrix – Diagonal matrix with 1’s everywhere on main diagonal Symmetric Matrix – Matrix where element aij = aji ?ij Scalar – A single ordinary number The transpose of a matrix is the matrix generated by interchanging the rows and columns of the matrix If the original matrix is A then its transpose is labelled A0 For

BLOCK MATRICES IN LINEAR ALGEBRA - Pomona College

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MATRICES ET DETERMINANTS

• Une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux est dite scalaire » Une matrice scalaire dont les« éléments diagonaux valent 1 est dite « identité » et se note I n • Une matrice à une ligne s’appelle« matrice-ligne » et une matrice à une colonne s’appelle « matrice-colonne »

Calcul matriciel - PCSI2

1 Si n = p (la matrice a donc le même nombre de lignes et de colonnes) M est dite matrice carrée On note alors Mnp(K) = Mn(K) 2 Si n = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule ligne) M est dite matrice ligne 3 Si p = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule colonne) M est dite matrice colonne Définition 2

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ECE1-B2015-2016CH 5 : Manipulation de matrices dansScilab

I. Les matrices en mathématiques

En préambule nous présentons une partie du vocabulaire et des opérations mathématiques sur les matrices

I.1. Définition

Une matrice est un tableau rectangulaire (éventuellement carré) de nombres.

Un tel tableau est caractérisé par :

son nombrende lignes, son nombrepde colonnes. Une matrice ànlignes etpcolonnes est dite detaillenp. Une matrice ne possédant qu"une ligne (i.e.de taille1p) est appelée matrice ligneouvecteur ligne. Une matrice ne possédant qu"une colonne (i.e.de taillen1) est appelée matrice colonneouvecteur colonne. Considérons, par exemple, les trois matrices d"entiersU,VetWsuivantes. U= 1 01 02 7

5 1 0!

V=1 3 0

412
W=0 B @34 2 1 1 0 9 81 C A Uest une matrice33(3 lignes et 3 colonnes),Vest une matrice23(2

lignes et 3 colonnes) etWest une matrice42(4 lignes et 2 colonnes).I.2. Opérations sur les matrices

I.2.a) Somme de matrices

La somme de deux matricesAetBest une opération définie uniquement pour des matrices de même taille (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). On noteA+Bla somme deAetB. La somme de deux matrices est la somme terme à terme des coefficients des matrices. Si l"on reprend l"exemple précédent, nous ne pouvons réaliser la somme de deux matrices différentes car elles sont de tailles différentes deux à deux. Voici un exemple (en couleur le calcul du coefficient(2;3):2 + 7 = 5) : 1 3 0 41-2
+5 4 2 2 17 =4 7 2 6 05

I.2.b) Produit d"un réel et d"une matrice

Pour tout réelet toute matriceAon peut définir le produit deetA.

On noteA(et pasA) cette opération.

Le résultat est obtenu en multipliant tous les coefficients deApar.

En reprenant l"exemple précédent :

5V= 51 3 0

412
=5 15 0 20510

I.2.c) Produit de matrices

Le produit de deux matricesAetBest défini à la seule condition que le nombre de colonnes deAsoit égal au nombre de lignes deB.

On note alorsAB.

Autrement dit, siAest de taillenp,Bdoit obligatoirement être de taille pq(avecn,petqquelconques). La matrice obtenue est alors de taille nq.1 ECE1-B2015-2016Si l"on reprend les matrices exemples précédentes : les produitsUV,VW,UW, etWUne sont pas possibles, les produitsVUetWVsont réalisables. Nous donnerons la définition formelle de produit en cours de mathématiques. Nous la détaillons ici à l"aide de l"exemple du produitT=VU. CommeVest de taille23etUest de taille33, la matrice produit, notéeT, est de taille23. De manière générale, le coefficient(i;j)de la matrice produitTest obtenue en combinant laièmeligne deVet lajèmecolonne deU. Par exemple, le coefficientT(2;1)(en vert) est obtenue en combinant la 2 èmeligne deV(en bleu) et la1èrecolonne deU(en jaune). Le produit des matricesVUest représenté comme suit : 0 @10102 751 01 A

1 3 04-1-2

16 20-6011

le coefficientT(2;1)est donné par la formule :

T(2;1) = (41) + (10) + (25) = 4 + 010 =6

le coefficientT(1;1)est donné par la formule :

T(1;1) = (11) + (30) + (05) = 1 + 0 = 1

le coefficientT(1;2)est donné par la formule :

T(1;2) = (40) + (1(2)) + (21) = 0 + 22 = 0

...II. Les matrices dans Scilab

II.1. Créer une matrice

II.1.a) Syntaxe de base

Il existe de multiples manières de définir une matrice enScilab. La ma- nière la plus basique consiste à écrire un par un l"ensemble des coefficients. Une matrice se définit alors à l"aide d"une paire de crochets[ ]et ses coeffi- cients sont écrits ligne par ligne. Les éléments d"une même ligne sont séparés par des virgules ",». Chaque ligne est séparée de la suivante par un point- virgule ";».

À titre d"illustration, définissons enScilables matrices précédentes.>U = [1,0,-1; 0,-2,7; 5,1,0]

U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

>V = [1,3,0; 4,-1,-2]; W = [3,-4; 2,1; 1,0; 9,8];

II.1.b) Création de matrices par blocs

La méthode précédente consiste à construire une matrice ligne par ligne : on écrit d"abord le premier vecteur ligne ([1,0,-1]ici), puis le suivant ([0,-2,7]) et ainsi de suite jusqu"au dernier ([5,1,0]). On peut d"ailleurs mettre en avant cet aspect en faisant apparaître chaque ligne comme un vec- teur, à l"aide d"une paire de crochets ([ ]).>U = [[1,0,-1]; [0,-2,7]; [5,1,0]] U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.2

ECE1-B2015-2016On construit ainsi une matrice en juxtaposant d"autres matrices. L"objet obtenu est appelématrice par blocs. On peut construire une matrice colonne par colonne.>U = [[1;0;5], [0;-2;1], [-1;7;0]] U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

Les différents blocs constituant la matrice résultat ne sont pas obligatoire-

ment des vecteurs. Voici quelques autres exemples de construction par blocs.>U = [[1],[0,-1]; [[0;5],[-2,7;1,0]]]

U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

>U = [[1;0;5], [[0,-1]; [-2;1], [7;0]]] U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

>U = [[[1;0], [0,-1;2,7]]; [5,1,0]] U =

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

On conseille aux lecteurs d"écrire au brouillon les constructions par blocs cor- respondantes. Par exemple, l"un des appels ci-dessus correspond à la matrice0 @10-1 0-27 510
1 Aoù l"on a groupé les blocs par couleurs.II.1.c) Création de matrices par opérateurs

Créer un vecteur avec l"opérateur ":»

L"opérateur ":» permet de créer un vecteur ligne composé de valeurs ré- gulièment espacées. On peut l"utiliser avec l"une des deux syntaxes suivantes. a:brenvoie le vecteur ligne construit en énumérant les valeurs comprises entrea(compris) etb(au maximum), avec un pas de1. a:pas:brenvoie le vecteur ligne construit en énumérant les valeurs com- prises entrea(compris) etb(au maximum), avec un pas de valeurpas. Le deuxième argument est optionnel. Si on ne le précise pas, il est remplacé par1, sa valeur par défaut. Illustrons cette méthode de construction de vecteurs.>3:8 ans =

3. 4. 5. 6. 7. 8.

>3:1:8 ans =

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Siaest une valeur strictement plus grande queb, l"appela:brenvoie le vecteur vide noté[ ].>8:3 ans = L"élémentbn"est pas forcément atteint.>3:2:8 ans =

3. 5. 7.3

ECE1-B2015-2016>3:6:8

ans = 3.

L"élémentpasest une valeur réelle ou entière. Il peut être positif ou négatif.>3:0.7:8

ans =

3. 3.7. 4.4 5.1 5.8 6.5 7.2 7.9

>8:-1:3 ans =

8. 7. 6. 5. 4. 3.

Créer un vecteur avec l"opérateurlinspace

L"aideScilab(help linspaceouaide en ligne ) stipule que l"opérateur linspacepermet de créer un vecteur ligne de valeurs régulièrement espacées. linspace(a, b)renvoie un vecteur ligne comprenant 100 valeurs réguliè- rement espacées entreaetb. linspace(a, b, n)renvoie un vecteur ligne comprenantnvaleurs régu- lièrement espacées entreaetb. Le troisième argument de la fonctionlinspaceest donc un argument op- tionnel dont la valeur par défaut est100. Illustrons cette méthode de construction de vecteurs.>linspace(3,8) column 1 to 6

3. 3.05051 3.10101 3.15152 3.20202 3.25253

column 7 to 11

3.30303 3.35354 3.40404 3.45455 3.50505

Ce vecteur ayant100éléments, il serait trop long de présenter tous ses coef-

ficients. On note toutefois que le100èmeélément est bien8.On peut faire deux remarques sur cette commande :

1)calculer le pas utilisé est simple. Il suffit de remarquer qu"il est solution

de l"équation3 + 99x= 8. Ainsi, le pas est ici de(83)=99'0:50501.linspace(a, b)crée un vecteur dont les valeurs sont espacées deba99

2)les éléments du vecteur précédent s"écrivent donc sous la forme3+k8399

oùk2J0;99K. Il est donc aisé de savoir si un élément fait partie du vecteur créé. Par exemple,4n"appartient pas à ce vecteur. En effet :

3 +k8399

= 4,k=995 ce qui est impossible carkest une valeur entière. Il est aussi possible de préciser le nombre de valeurs souhaitées.>linspace(3,8,5) ans =

3. 4.25 5.5 6.75 8.

Et aussi d"obtenir une énumération dans le sens décroissant.>linspace(8,3,5) ans =

8. 6.75 5.5 4.25 3.linspace(a, b, n)crée un vecteurs dont les valeurs sont espacées deban1Remarque

Les opérateurslinspaceet ":» représentent deux réponses différentes au problème de créer des vecteurs lignes de valeurs régulièment espacées. L"opérateurlinspacemet l"accent sur le nombre d"éléments du vecteur.

Le pas utilisé s"en déduit.

L"opérateur ":» met quant à lui l"accent sur le pas utilisé.

Les éléments s"en déduisent.4

ECE1-B2015-2016D"autres opérateurs pour créer des matrices Il existe d"autres opérateursScilabpermettant de créer des matrices.

Nous listons ici les principaux.

zeros(n,p)renvoie la matrice de taillenpdont les coefficients sont tous

égaux à0.>Z=zeros(2,3)

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I. Les matrices en mathématiques

I.1. Définition

Un tel tableau est caractérisé par :

5 1 0!

V=1 3 0

I.2.a) Somme de matrices

I.2.b) Produit d"un réel et d"une matrice

On noteA(et pasA) cette opération.

En reprenant l"exemple précédent :

5V= 51 3 0

I.2.c) Produit de matrices

On note alorsAB.

1 3 04-1-2

16 20-6011

T(2;1) = (41) + (10) + (25) = 4 + 010 =6

T(1;1) = (11) + (30) + (05) = 1 + 0 = 1

T(1;2) = (40) + (1(2)) + (21) = 0 + 22 = 0

II.1. Créer une matrice

II.1.a) Syntaxe de base

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

II.1.b) Création de matrices par blocs

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.2

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

1. 0. - 1.

0. - 2. 7.

5. 1. 0.

Créer un vecteur avec l"opérateur ":»

3. 4. 5. 6. 7. 8.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

3. 5. 7.3

ECE1-B2015-2016>3:6:8

3. 3.7. 4.4 5.1 5.8 6.5 7.2 7.9

8. 7. 6. 5. 4. 3.

Créer un vecteur avec l"opérateurlinspace

3. 3.05051 3.10101 3.15152 3.20202 3.25253

3.30303 3.35354 3.40404 3.45455 3.50505

1)calculer le pas utilisé est simple. Il suffit de remarquer qu"il est solution

2)les éléments du vecteur précédent s"écrivent donc sous la forme3+k8399

3 +k8399

3. 4.25 5.5 6.75 8.

8. 6.75 5.5 4.25 3.linspace(a, b, n)crée un vecteurs dont les valeurs sont espacées deban1Remarque

Le pas utilisé s"en déduit.

Les éléments s"en déduisent.4

Nous listons ici les principaux.

égaux à0.>Z=zeros(2,3)