Les matrices - Lycée dAdultes
Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice
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II. Les Matrices
L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs numériques (n = lignes vecteur ligne qui est une matrice 1 x m.
Généralités sur les matrices
Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives La transposée d'une matrice s'obtient en remplaçant les lignes de la matrice par ses.
Le rang
31 janv. 2006 Une matrice B est dite échelonnée en lignes si. – chaque ligne non nulle de B commence avec strictement plus de 0 que la ligne précédente et. – ...
CH 5 : Manipulation de matrices dans Scilab
matrice ligne ou vecteur ligne. • Une matrice ne possédant qu'une colonne (i.e. de taille n × 1) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne.
Quelques commandes R
commentaires (jusqu'`a la fin de ligne). Vecteurs. Les vecteurs ne sont pas des matrices et n'ont qu'1 dimension. matrice de 0 `a 10 ligne 20 colonnes.
les matrices sur Exo7
Les éléments a11
Rang des matrices
Le rang d'une matrice ne change pas quand on change l'ordre des lignes quand on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non.
Calcul matriciel
C'est une matrice carrée. [7 13 11 5 3]. Cette matrice a pour dimension 1×5. Elle comporte 1 lignes et 5 colonnes. C'est un vecteur ligne.
Matrix algebra for beginners Part I matrices determinants
Addition of matrices obeys all the formulae that you are familiar with for addition of numbers A list of these are given in Figure 2 You can also multiply a matrix by a number by simply multiplying each entry of the matrix by the number If ? is a number and A is an n×m matrix then we denote the result of such multiplication by ?A where
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice (np) ou np× Définition 2 Le couple (np) est appelé dimension de la matrice Définitions 3 Une matrice de dimension (n1) est une matrice colonne Une matrice de dimension (1 p) est une matrice ligne Notation: L’ensemble des matrices de dimension (np) est noté Mnp ()
1 Introduction to Matrices - University of Florida
Identity Matrix – Diagonal matrix with 1’s everywhere on main diagonal Symmetric Matrix – Matrix where element aij = aji ?ij Scalar – A single ordinary number The transpose of a matrix is the matrix generated by interchanging the rows and columns of the matrix If the original matrix is A then its transpose is labelled A0 For
BLOCK MATRICES IN LINEAR ALGEBRA - Pomona College
BLOCK MATRICES IN LINEAR ALGEBRA STEPHAN RAMON GARCIA AND ROGER A HORN Abstract Linear algebra is best done with block matrices As evidence in support of this thesis we present numerous examples suitable for classroom presentation 1 Introduction This paper is addressed to instructors of a rst course in linear algebra who
MATRICES ET DETERMINANTS
• Une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux est dite scalaire » Une matrice scalaire dont les« éléments diagonaux valent 1 est dite « identité » et se note I n • Une matrice à une ligne s’appelle« matrice-ligne » et une matrice à une colonne s’appelle « matrice-colonne »
Calcul matriciel - PCSI2
1 Si n = p (la matrice a donc le même nombre de lignes et de colonnes) M est dite matrice carrée On note alors Mnp(K) = Mn(K) 2 Si n = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule ligne) M est dite matrice ligne 3 Si p = 1 (la matrice n’a donc qu’une seule colonne) M est dite matrice colonne Définition 2
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MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n°1 1) La matrice A est de format 3 4× puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) a14 est le nombre figurant à l’intersection de la 1 ère ligne et de la 4 ème colonne donc a14 =4 a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2 ère ligne et de la 3 ème colonne donc a23 =3
Le rang
On rappelle une d´efinition du cours pr´ec´edent : D´efinition.Une matriceBest dite´echelonn´ee en lignessi - chaque ligne non nulle deBcommence avec strictement plus de 0 que la ligne pr´ec´edente, et - les lignes nulles (ne contenant que des 0) deBviennent en bas apr`es les lignes non nulles.Toute matriceApeut se r´eduire `a une matrice ´echelonn´ee en lignesBpar une suite d"op´erations
´el´ementaires sur les lignes. On appelleBlaforme ´echelonn´ee en lignesdeA. Une des concepts fondamentaux dans l"alg`ebre lin´eaire est lerangd"une matrice. Il admet de plusieurs d´efinitions ´equivalentes. En voici la premi`ere.D´efinition.Lerangd"une matriceAest le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee
en lignes. On le note rgA.Par exemple la matrice suivanteAse r´eduit en sa forme ´echelonn´ee en lignes par les pivotages
A=( (1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4)
L2←L2-2L1--------→L
3←L3-3L1(
(1-3 6 20 1-2-1
0 1-1-2)
L3←L3-L2-------→(
(1-3 6 20 1-2-1
0 0 1-1)
Donc on a rgA= 3. Pour la matrice suivante
C=( (1 3 2 1 4 10 1-1)
L2←L2-L1-------→(
(1 3 2 0 1-10 1-1)
L3←L3-L2-------→(
(1 3 2 0 1-10 0 0)
on a rgC= 2.Th´eor`eme 1.Pour toute matriceAon a
Id´ee de la preuve.En r´eduisant la matriceAen une matrice ´echelonn´ee en lignes similaire `a celle-ci
((13 0 4 5021 3 8
0 0 072
0 0 0 0 0)
lespivots(les premiers coefficients non nuls des lignes non nulles) sont danslignes distincteset dans descolonnes distinctes. Donc on aLe nombre de pivots est aussi le nombre de lignes non nulles de la forme ´echelonn´ee deA, d"o`u
nombre de pivots = rgA.La matrice des coefficients
On peut associer une matrice `a chaque membre d"un syst`eme lin´eaire. Pour le syst`eme ?x-3y+ 6z+ 2w=-1,2x-5y+ 10z+ 3w= 0,
3x-8y+ 17z+ 4w= 1,
on a des matrices A=( (1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4)
,b=( (-1 0 1) avecAlamatrice des coefficientsregroupant les coefficients des variables du membre de gauche du syst`eme, et le vecteur colonnebcontient le membre de droite. Quand on met les deux ensemble, on a lamatrice augment´eequ"on a d´ej`a vueA=?A??b?=(
(1-3 6 22-5 10 3
3-8 17 4?
?????-1 0 1)Le rang et les syst`emes lin´eaires
On va ´etudier les syst`emes lin´eaires en consid´erant le membre de gauche comme fixe, mais
le membre de droite comme ´eventuellement variable. Dans cette optique, il est convenable deconsid´erer le rang d"un syst`eme lin´eaire comme d´ependant uniquement de son membre de gauche.
D"o`u :
D´efinition.Lerangd"un syst`eme lin´eaire est le rang de sa matrice des coefficientsA.Par exemple, le rang du syst`eme (‡) est 3, selon les calculs faits sur la page pr´ec´edente.
Pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire on fait des op´erations ´el´ementaires et pivotages soit sur
les ´equations, soit sur la matrice augment´ee?A. A la fin, la forme ´echelonn´ee du syst`eme lin´eaire
correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de?A, et le membre gauche du syst`eme ´echelonn´e
correspond `a la forme ´echelonn´ee en lignes de la matrice des coeffientsA. On en d´eduit :rg
?A= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0.rgA= nombre de lignes du syst`eme ´echelonn´e non de la forme 0 = 0 ou 0 =caveccnon nul.Ce que nous connaissons sur la solution des syst`emes lin´eaires se traduit par les parties (a) et
(b) du th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Pour un membre de droitebparticulier, le syst`eme lin´eaire a une solution si et seulement si on argA= rg?A. (b)Quand elles existent, les solutions d´ependent den-rgAparam`etres ind´ependants. La partie (c) se d´eduit du Th´eor`eme 1 ci-dessus.Quand on r´eduit la matrice augment´ee d"un syst`eme lin´eaire `a sa forme ´echelonn´ee en lignes,
parfois on termine avec une matrice contenant autant de pivots que de lignes dans la partie gauche de la matrice, comme celle-ci :( (13 4 15 024-60 0 01?
2 On peut r´esoudre un tel syst`eme ´echelonn´e quelque soit le membre de droite.Mais parfois on termine avec une matrice augment´ee ´echelonn´ee avec moins de pivots que de
lignes dans la partie gauche, comme celle-ci : (13 4 15 024-60 0 0 0?
La derni`ere ligne correspond `a une ´equation de la forme 0 =?, o`u le?d´epend du membre dedroitebdu syst`eme non ´echelonn´e du d´epart. Pour certainsb, le?prend la valeur 0, et le syst`eme
a des solutions. Pour d"autresb, le?est non nul, et le syst`eme n"a pas de solutions. Or quand on a un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coeffi-cientsA, le nombre de pivots dans la partie gauche de la matrice ´echelonn´ee est rgA, et le nombre
de lignes estm. Donc les deux situations ci-dessus correspondent `a d"abord rgA=m, et ensuite rgA < m. On a donc le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3.Consid´erons un syst`eme lin´eaire dem´equationsenninconnuesavec matrice des coefficientsA, membre de droiteb, et matrice augment´ee?A=?A??b?. (a)Quand on argA=m, le syst`eme lin´eaire a des solutions quelque soit le membre de droite b. (b)Quand on argA < m, le syst`eme lin´eaire a des solutions pour certains membres de droite bmais pas pour tout membre de droite. 3quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] matrice multiplication
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