S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f (z)=z+. 1 z. On note M le point d'affixe z et M' le
Exercice 5 : f (z) = z + E 1
2 nov. 2021 Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe ... Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1.
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Les nombres
On considère un nombre complexe z non nul et le plan complexe. Soit M le point d'affixe z. On appelle alors « argument de z » noté arg z
CAPLP externe 2012 et CAFEP
plexe z non nul associe le nombre complexe z défini par : z = 1 z et F désigne la transformation géométrique associée qui
Exo7 - Exercices de mathématiques
On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels de M. Soit f : PrgP qui à tout point M d'affixe z associe M d'affixe z = z?i.
TS. Évaluation 5 - Chapitre : Nombres complexes le 18-01-17 1 ( 4
1 ( 4 points ) On considère les nombres complexes zn définis pour tout entier n Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le ...
Annales 2011-2016 : complexes E 1
(a) Calculer l'affixe zC? du point C? image de C par la transformation f Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre ...
NOMBRES COMPLEXES
Soit un nombre complexe z = a + ib avec a ? IR et b ? IR . Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : z = r(cos? + i sin?) ...
Nombres complexes
Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
Exercices : révisions complexes E 1
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f (z) défini par : f (z) = z +. 1 z . On note M le point d'affixe z
S Nouvelle-Calédonie novembre 2016 - Meilleur en Maths
On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O;?u;?v) Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f(z)=z+ 1 z On note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe f(z) 1 On appelle A le point d'affixe a=? ?2 2 +i ?2 2 1 a Déterminer la forme exponentielle
Nombres complexes EXOS CORRIGES - Meabilis
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : zz1= ?z?; z2=z?z; 2 z3=z; ; 3 z4=z?5 z z z Exercice n°2 1) Calculer i2i3et i4 2) En déduire la valeur de i2006et de i2009 puis les entiers naturels ntels que inest imaginaire pur 3) Déterminer les entiers naturels ntels que (1)soit un réel négatif
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC I Nouvelle Calédonie novembre 2016 On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) z 1 z On note M le point d’affixe z et M? le point d’affixe f(z) 1 On appelle A le point d’affixe a 2 2 i
Comment calculer la transformation associée dans le plan complexe ?
? Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + et B d'affixe . Soit ? un point d'affixe ? et k, un réel non-nul. La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe l'homothétie de centre ? et de rapport k. En effet, soit M (z) et M' (z') les images de z et z' dans le plan complexe.
Comment calculer un nombre complexe ?
Mettre les nombres complexes sous la forme a + ib (a et b réels). Soit z=x+iy un nombre complexe (x et y réels). On demande de calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z puis de déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur. Soit . Exercice 4 : théorème de Von Aubel.
Quelle est la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe ?
la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la rotation de centre ? et d'angle ?. En effet, soit M (z) et M' (z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ? et l'affixe du vecteur est z' - ?.
Comment calculer un plan complexe ?
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm). On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i. On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que : 1. a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S)
Les nombres complexes
PanaMaths [1-13] Février 2011
L'ensemble des nombres complexes
Définitions
On pose i tel que
2 1i. L'ensemble des nombres complexes, noté , est l'ensemble : ^` 2 /,zxiyxy .Le réel x
est appelé " partie réelle du nombre complexe z » et est notée : ez. Le réel y est appelé " partie imaginaire du nombre complexe z» et est notée : mz.
L'écriture zxiy
est appelée " forme algébrique du nombre complexe z ». Si0ez le nombre complexe z est appelé " imaginaire pur ».
Premières propriétés
00zxiy xy ;
2Soit , ' / et ' ' 'zz z x iy z x iy
On a :
' ' et ' ' et 'z z ez ez mz mz x x y y ;00zxiy mz y
Représentation géométrique et plan complexe On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct ,,OOIOJA tout complexe
zxiy on associe le point M (que l'on peut également noter Mz ouMxiy) de coordonnées ,xy : OM xOI yOJ
On dit alors que l'on travai
lle dans " le plan complexe ». Mz est appelé " image du complexe z » et le complexe z est appelé " affixe du point M ».L'axe des abscisses correspond à
l'ensemble des réels.L'axe des ordonnées correspond à
l'ensemble des imaginaires purs.Note : " affixe » est un nom féminin.
I J M OM O x y www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [2-13] Février 2011
Premières opérations sur les nombres complexesMultiplication d'un complexe par un réel
Soit zxiy un nombre complexe et a un réel. On a : az a x iy ax iayEn d'autres termes :
eaz a ez et maz amz. Sur la figure ci-dessous nous avons positionné un point 'M d'affixe az avec 01a. Cas particulier : pour 1a, on obtient l'opposé du nombre complexe z : zxiy. Sur la figure ci-dessous, nous avons positionné le point P d'affixe z. Il s'agit du symétrique deMz par rapport à l'origine.
Somme et différence
2 ,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note respectivement 'zz et 'zz la somme et la différence des nombres complexes z et 'z et on a : '' 'zz xx iyy zz xx iyyEn d'autres termes :
''ez z ez ez et ''mz z mz mz . ''ez z ez ez et ''mz z mz mz . I J M OM O x y OM y x 'M P www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [3-13] Février 2011
Représentation géométrique.
On désigne par M et
'M les points du plan complexe d'affixes respectives z et 'z.Le point S d'affixe 'zz
est défini par : 'OS OM OMLe point D d'affixe
'zz est défini par : ''OD OM OM M MConjugué d'un nombre complexe
Définition
Soit zxiy un nombre complexe.
On appelle " conjugué de z », noté z, le complexe : xiy.Géométriquement, le point '
M d'affixe z
est le symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point M d'affixe z.Premières propriétés
zz. On dit que " les complexes z et z sont conjugués ».2zz ez est un réel et 2zz imz est un imaginaire pur.
z est un réel 0mz z z . z est un imaginaire pur 0ez z z .Soit zxiy. On a :
22zz x y I J M OM O 'xx 'yy 'M S D I J Mz OM O x y y 'Mz www.panamaths.net
Les nombres complexes
PanaMaths [4-13] Février 2011
Autres opérations sur les nombres complexes
Produit
2 ,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note 'zz le produit des nombres complexes z et 'z et on a : '''''''zz x iy x iy xx yy i xy x yRapport
,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note 'z z le rapport des nombres complexes z et 'z et on a :22 22 22
''' '' '' ''xiyxiy zzz xxyy xyxyizzz xy xy xyAutres propriétés de la conjugaison
Conjugué d'une somme :
2 ,' , ' 'zz z z z z.Conjugué d'un produit :
2 ,' , ' 'zz zz zz .Conjugué d'un rapport :
,' ,''zzzzzzModule d'un nombre complexe
Définition
Soit zxiy un nombre complexe.
On appelle " module de z », noté z, le réel positif : 22xy.
Interprétation géométrique
SiM est le point d'affixe z, z est la
distance du pointO au point M et c'est
donc aussi la norme du vecteur OM ,zdOM OM I J M OM O x y www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [5-13] Février 2011
Propriétés
00zz ;
2 ,zzzz ; zzzz ; 2 ,' , ' 'zz zz zz ; ,' ,''z zzzzzInégalité triangulaire
2 ,' , ' 'zz z z z z On a l'égalité si, et seulement si, il existe un réel a tel que 'zaz ou 'zaz (c'est à dire si et seulement si les points O,Mz et ''Mz sont alignés).
Formes trigonométriques d'un nombre complexe
Arguments d'un nombre complexe non nul
On considère un nombre complexe z non nul
et le plan complexe. Soit M le point d'affixe z. On appelle alors " argument de z », noté argz, toute mesure de l'angle ,OI OM .L'argument d'un nombre complexe
est donc défini modulo2 : si est
une mesure donnée de l'angle ,OI OM alors les autres mesures de cette angle sont de la forme 2k k.Le nombre complexe nul n'a pas
d'argument.Premières propriétés de l'argument
arg ,zzkk ; ,arg argzzz ; ,arg argzzz . I J M OM O x y argz www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [6-13] Février 2011
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique zxiy.On peut alors mettre z sous la forme :
cos sinzr i où rz et argz Une telle écriture est appelée " forme trigonométrique » de z.Remarques :
un nombre complexe admettant une infinité d'arguments, il admet une infinité d'écritures trigonométriques.On a : cos
xx rz et sin yy rz Si cos sinri est une forme trigonométrique du nombre complexe non nul z alors on peut écrire : cos sin ' cos ' sin 'zr i r i . Dans ce cas on a '0r et l'écriture 'cos ' sin 'ri n'est pas une forme trigonométrique du nombre complexe z.Autres propriétés de l'argument
2* ,' ,arg ' arg arg'zz zz z z ;1,arg argzzz ;
2* , ' ,arg arg arg ''zzz z zz ; ,arg arg n nznz ; Soit ,arg argzzz .Formule de Moivre
, cos sin cos sin n ni nin www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [7-13] Février 2011
Forme exponentielle d'un nombre complexe
Exponentielle complexe (Euler)
Pour tout réel , on appelle " exponentielle complexe », notée i e , le nombre complexe : cos sini Remarque : dans cette écriture introduite par Euler, et comme le nom l'indique, e désigne la base du logarithme népérien.Euler a également fournit la très belle formule suivante, cas particulier de la précédente
1 i eFormules d'Euler
A partir de cos sin
i eiTT et cos sin
i ei TT on tire les formules d'Euler :11cos et sin22
ii ii ee eeiForme exponentielle d'un nombre complexe non nul
Soit z un nombre complexe non nul dont une forme trigonométrique est : cos sin cos arg sin argzr i z z i zAlors on a :
argiiz zre ze Cette écriture est appelée " forme exponentielle » du nombre complexe z. Remarque : un nombre complexe admettant une infinité d'arguments, il admet une infinité de formes complexes.Propriétés de la forme exponentielle
Soit z un nombre complexe non nul et
i re une forme exponentielle de z. Alors i re est une forme exponentielle de z. Soient z et 'z deux complexes non nuls de formes exponentielles i re et i re respectivement. On a alors : i zz rr e et i zrezr www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [8-13] Février 2011
Nombres complexes et géométrie
Affixe et norme d'un vecteur
Soient A et B deux points du plan complexe d'affixes respectives A z et B z.Alors le vecteur AB
admet : comme affixe : BA zz. (c'est celle du point C tel que OC AB comme norme :quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] merci de bien vouloir rectifier
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