S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f (z)=z+. 1 z. On note M le point d'affixe z et M' le
Exercice 5 : f (z) = z + E 1
2 nov. 2021 Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe ... Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1.
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Les nombres
On considère un nombre complexe z non nul et le plan complexe. Soit M le point d'affixe z. On appelle alors « argument de z » noté arg z
CAPLP externe 2012 et CAFEP
plexe z non nul associe le nombre complexe z défini par : z = 1 z et F désigne la transformation géométrique associée qui
Exo7 - Exercices de mathématiques
On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels de M. Soit f : PrgP qui à tout point M d'affixe z associe M d'affixe z = z?i.
TS. Évaluation 5 - Chapitre : Nombres complexes le 18-01-17 1 ( 4
1 ( 4 points ) On considère les nombres complexes zn définis pour tout entier n Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le ...
Annales 2011-2016 : complexes E 1
(a) Calculer l'affixe zC? du point C? image de C par la transformation f Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre ...
NOMBRES COMPLEXES
Soit un nombre complexe z = a + ib avec a ? IR et b ? IR . Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : z = r(cos? + i sin?) ...
Nombres complexes
Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
Exercices : révisions complexes E 1
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f (z) défini par : f (z) = z +. 1 z . On note M le point d'affixe z
S Nouvelle-Calédonie novembre 2016 - Meilleur en Maths
On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O;?u;?v) Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f(z)=z+ 1 z On note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe f(z) 1 On appelle A le point d'affixe a=? ?2 2 +i ?2 2 1 a Déterminer la forme exponentielle
Nombres complexes EXOS CORRIGES - Meabilis
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : zz1= ?z?; z2=z?z; 2 z3=z; ; 3 z4=z?5 z z z Exercice n°2 1) Calculer i2i3et i4 2) En déduire la valeur de i2006et de i2009 puis les entiers naturels ntels que inest imaginaire pur 3) Déterminer les entiers naturels ntels que (1)soit un réel négatif
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC I Nouvelle Calédonie novembre 2016 On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) z 1 z On note M le point d’affixe z et M? le point d’affixe f(z) 1 On appelle A le point d’affixe a 2 2 i
Comment calculer la transformation associée dans le plan complexe ?
? Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + et B d'affixe . Soit ? un point d'affixe ? et k, un réel non-nul. La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe l'homothétie de centre ? et de rapport k. En effet, soit M (z) et M' (z') les images de z et z' dans le plan complexe.
Comment calculer un nombre complexe ?
Mettre les nombres complexes sous la forme a + ib (a et b réels). Soit z=x+iy un nombre complexe (x et y réels). On demande de calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z puis de déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur. Soit . Exercice 4 : théorème de Von Aubel.
Quelle est la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe ?
la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la rotation de centre ? et d'angle ?. En effet, soit M (z) et M' (z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ? et l'affixe du vecteur est z' - ?.
Comment calculer un plan complexe ?
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm). On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i. On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que : 1. a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
Exo7 Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :3+6i34i;1+i2i
2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.
2.Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.
Calculer le module et l"argument deu=p6ip2
2 etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.Calculer les racines carrées de
1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).
1Résoudre dansCles équations suivantes :
z2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;
z2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;
z4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:
Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.
1.Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines
de 1+z+z2=0. 2.Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2+
+zn1=0. Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z6+(7i)z388i=0:
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)4 Géométrie
Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : 1. z3z5 =1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique.Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé
(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O1i1.Donner lesaffixesw0;:::;w4despointsA0;:::;A4. Montrerquewk=w1kpourk2f0;1;2;3;4g. Montrer
que 1+w1+w21+w31+w41=0. 2.En déduire que cos (2p5
)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 =cos2p5 4.On cons idèrele point Id"affixei2
, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection de Cavec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.5.Application:Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
5 Trigonométrie
Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n)en fonction deretq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.
1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avec
ab=1. 3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]
il existeqetrdansZ[i]vérifiant : a=bq+ravecjrjcalculer cosqet sinq.Indication pourl"exer cice3 NPassez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :
eiaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que
jwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de 1+ip2 =eip4de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour
l"exer cice13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour
l"exer cice15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour
l"exer cice16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.5
Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur
par son conjugué nous obtenons un nombre réel. =35 +65i:
Calculons
1+i2i=(1+i)(2+i)5
=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:
Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32
+72iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip3 2 ) =1+ip3.
2.z2=3eip8
=3cosp83isinp8
=3p2+p2 23ip2p2
2 Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p8 et sinp8 : posonsq=p8 , alors 2q=p4 et donc cos(2q)=p2 2 =sin(2q). Mais cos(2q)=2cos2q1. Donc cos2q=cos(2q)+12 =14 (2+p2). Et ensuite sin2q=1cos2q=14
(2p2). Comme 06q=p8 6p2 , cosqet sinqsont des nombres positifs. Donc cos p8 =12 q2+p2;sinp8 =12 q2p2:Correction del"exer cice3 NNous avons u=p6p2i2 =p2 p3 2 i2 =p2 cosp6 isinp6 =p2eip6 puis v=1i=p2eip4Il ne reste plus qu"à calculer le quotient :
uv =p2eip6p2eip4 =eip6 +ip4 =eip12 :Correction del"exer cice4 ND"après la formule de Moivre poureianous avons : e eia=ecosa+isina=ecosaeisina: Orecosa>0 donc l"écriture précédente est bien de la forme "module-argument". 6De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
. En effet e iu+eiv=eiu+v2 eiuv2 +eiuv2 =eiu+v22cosuv2
=2cosuv2 eiu+v2 Ce qui est proche de l"écriture en coordonées polaires.Pour le cas qui nous concerne :
z=eiq+e2iq=e3iq2 h eiq2 +eiq2 i =2cosq2 e3iq2 Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si cos q2 >0 alors 2cosq2 est le module dezet 3q=2 est son argument ; par contre si cosq2 <0 le module est 2jcosq2 jet l"argument3q=2+p(le+pcompense le changement de signe careip=1).Correction del"exer cice5 NRacines carrées.Soitz=a+ibun nombre complexe aveca;b2R; nous cherchons les complexesw2Ctels
quew2=z. Écrivonsw=a+ib. Nous raisonnons par équivalence : w2=z,(a+ib)2=a+ib
,a2b2+2iab=a+ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires : a2b2=a 2ab=b Sans changer l"équivalence nous rajoutons la conditionjwj2=jzj. 8 :a2+b2=pa
2+b2 a 2b2=a 2ab=b Par somme et différence des deux premières lignes : 8 :a2=a+pa
2+b22 b2=a+pa
2+b22 2ab=b ,8 >:a=qa+pa 2+b22 b=qa+pa 2+b22 abest du même signe queb Cela donne deux couples(a;b)de solutions et donc deux racines carrées (opposées)w=a+ibdez. 7 En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pourz=86i, w2=z,(a+ib)2=86i
,a2b2+2iab=86i a2b2=8 2ab=6 ,8 :a2+b2=p8
2+(6)2=10 le module dez
a 2b2=8 2ab=6 ,8 :2a2=18 b 2=1 2ab=6 ,8 :a=p9=3 b=1 aetbde signes opposés ,8 :a=3 etb=1 ou a=3 etb= +1Les racines dez=86isont doncw1=3ietw2=w1=3+i.
Pour les autres :
Les racines carrées de 1 sont : +1 et1.
Les racines carrées de isont :p2
2 (1+i)etp2 2 (1+i).Les racines carrées de 3 +4isont : 2+iet2i.
Les racines carrées de 7 +24isont : 4+3iet43i.Correction del"exer cice6 NPar la méthode usuelle nous calculons les racines carréesw;wdez=1+ip2
, nous obtenons w=sp2+12 p2 +isp212 p2 qui peut aussi s"écrire : w=12 q2+p2+i12 q2p2:Mais nous remarquons quezs"écrit également
z=eip4 eteip8 vérifie eip82=e2ip8
=eip4Cela signifie queeip8
est une racine carrée dez, donceip8 =cosp8 +isinp8 est égal àwouw. Comme cosp8 >0 alorseip8 =wet donc par identification des parties réelles et imaginaires : cos p8 =12 q2+p2 et sin p8 =12 q2p2: 8Correction del"exer cice7 NÉquations du second degré.La méthode génerale pour résoudre les équations du second degréaz2+bz+c=0
(aveca;b;c2Ceta6=0) est la suivante : soitD=b24acle discriminant complexe etdune racine carrée deD(d2=D) alors les solutions sont :
z1=b+d2aetz2=bd2a:
Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas
complexe est de calculer une racineddeD. Exemple : pourz2p3zi=0,D=3+4i, dont une racine carrée estd=2+i, les solutions sont donc : z1=p3+2+i2
etz2=p32i2Les solutions des autres équations sont :
L "équationz2+z+1=0 a pour solutions :12
(1+ip3),12 (1ip3). L "équationz2(1+2i)z+i1=0 a pour solutions : 1+i,i.L "équationz2p3zi=0 a pour solutions :12
(2p3+i),12 (2p3i) L "équationz2(514i)z2(5i+12) =0 a pour solutions : 512i,2i. L "équationz2(3+4i)z1+5i=0 a pour solutions : 2+3i, 1+i.L "équation4 z22z+1=0 a pour solutions :14
(1+ip3),14 (1ip3). L "équationz4+10z2+169=0 a pour solutions : 2+3i,23i, 23i,2+3i.L "équationz4+2z2+4=0 a pour solutions :p2
2 (1+ip3),p2 2 (1ip3),p2 2 (1+ip3),p2 2 (1ip3).Correction del"exer cice8 NS n=1+z+z2++zn=nå k=0zk:Nous devons retrouver le résultat sur la sommeSn=1zn+11zd"une suite géométrique dans le cas oùz6=1 est un
réel. Soit maintenantz6=1 un nombre complexe. CalculonsSn(1z). S n(1z) = (1+z+z2++zn)(1z)développons =1+z+z2++znzz2zn+1les termes intermédiaires s"annulent =1zn+1: Donc Sn=1zn+11z;pourz6=1:Correction del"exer cice9 NCalcul de racinen-ième.Soitz2Ctel quezn=1, déjàjzjn=1 et doncjzj=1. Écrivonsz=eiq. L"équation
devient e inq=e0=1,nq=0+2kp;k2Z,q=2kpn ;k2Z: 9Les solution sont donc
S=n e2ikpn ;k2ZoComme le polynômezn1 est de degrénil a au plusnracines. Nous choisissons pour représentants :
S=n e2ikpn ;k=0;:::;n1oDe plus sie=e2ipn
alorsS=ek;k=0;:::;n1:Ces racines sont les sommets d"un polygone régulier àn côtés inscrit dans le cercle unité. SoitP(z) =ån1k=0zk=1zn1zpourz6=1. Donc quelque soitz2Snf1gP(z) =0, nous avons ainsi trouvern1 racines pourPde degrén1, donc l"ensemble des racines dePest exactementSnf1g.Pour conclure soitQp(z) =ån1k=0ekp.
Sip=0+`n,`2Zalorsekp=ek`n= (en)k`=1k`=1. DoncQp(z) =ån1k=01=n. SinonQp(z)est la somme d"une suite géométrique de raisonep: Qp(z) =1(ep)n1ep=1(en)p1ep=111ep=0:Correction del"exer cice10 N1.Les trois racines cubiques ont même module
p2, et leurs arguments sontp=12, 7p=12 et 5p=4. Des valeurs approchées sont 1;366030;36603i,0;36603+1;36603iet1i.2.12i,(12i)jet(12i)j2oùj=1+ip3
2(racine cubique de 1).Correction del"exer cice11 NSoientz1;z2;z3trois nombres complexesdistinctsayant le même cube.
1.z16=0 car sinon on auraitz1=z2=z3=0. Ainsi(z2z
1)3= (z3z
1)3=1. Comme les trois nombres 1;(z2z
1)et z3z1)sont distincts on en déduit que ce sont les trois racines cubiques de 1. Ces racines sont 1;j=e2ip3
et j2=e2ip3
. A une permutation près des indices 2 et 3 on a donc : z2=jz1etz3=j2z1:
2.Soit z2C. On a les équivalences suivantes :
z6+(7i)z388i=0,z3est solution deZ2+(7i)Z88i=0
Etudions l"équationZ2+(7i)Z88i=0.D= (7i)2+4(8+8i) =80+18i= (9+i)2. Les solutions sont donc8 et 1+i. Nous pouvons reprendre notre suite d"équivalences : z6+(7i)z388i=0,z32 f8;1+ig
,z3= (2)3ouz3= (6p2eip12 )3 ,z2 f2;2e2ip3 ;2e2ip3 gouz2 f6p2eip12 ;6p2ei9p12 ;6p2ei17p12 g ,z2 f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g:L"ensemble des solutions est donc :
f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g: 10 Correction del"exer cice12 NNous identifionsCau plan affine etz=x+iyà(x;y)2RR. Remarquons que pour les deux ensemblesz=5 n"est pas solution, donc z3z5 =1, jz3j=jz5j:Ce qui signifie préci
´sement que les points d"affixezsont situés à égale distance des pointsA;Bd"affixesquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] merci de bien vouloir rectifier
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