S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f (z)=z+. 1 z. On note M le point d'affixe z et M' le
Exercice 5 : f (z) = z + E 1
2 nov. 2021 Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe ... Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1.
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Les nombres
On considère un nombre complexe z non nul et le plan complexe. Soit M le point d'affixe z. On appelle alors « argument de z » noté arg z
CAPLP externe 2012 et CAFEP
plexe z non nul associe le nombre complexe z défini par : z = 1 z et F désigne la transformation géométrique associée qui
Exo7 - Exercices de mathématiques
On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels de M. Soit f : PrgP qui à tout point M d'affixe z associe M d'affixe z = z?i.
TS. Évaluation 5 - Chapitre : Nombres complexes le 18-01-17 1 ( 4
1 ( 4 points ) On considère les nombres complexes zn définis pour tout entier n Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le ...
Annales 2011-2016 : complexes E 1
(a) Calculer l'affixe zC? du point C? image de C par la transformation f Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre ...
NOMBRES COMPLEXES
Soit un nombre complexe z = a + ib avec a ? IR et b ? IR . Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : z = r(cos? + i sin?) ...
Nombres complexes
Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
Exercices : révisions complexes E 1
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f (z) défini par : f (z) = z +. 1 z . On note M le point d'affixe z
S Nouvelle-Calédonie novembre 2016 - Meilleur en Maths
On se place dans le plan complexe rapporté au repère (O;?u;?v) Soit f la transformation qui à tout nombre réel z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : f(z)=z+ 1 z On note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe f(z) 1 On appelle A le point d'affixe a=? ?2 2 +i ?2 2 1 a Déterminer la forme exponentielle
Nombres complexes EXOS CORRIGES - Meabilis
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : zz1= ?z?; z2=z?z; 2 z3=z; ; 3 z4=z?5 z z z Exercice n°2 1) Calculer i2i3et i4 2) En déduire la valeur de i2006et de i2009 puis les entiers naturels ntels que inest imaginaire pur 3) Déterminer les entiers naturels ntels que (1)soit un réel négatif
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC
NOMBRES COMPLEXES TYPE BAC I Nouvelle Calédonie novembre 2016 On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) z 1 z On note M le point d’affixe z et M? le point d’affixe f(z) 1 On appelle A le point d’affixe a 2 2 i
Comment calculer la transformation associée dans le plan complexe ?
? Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + et B d'affixe . Soit ? un point d'affixe ? et k, un réel non-nul. La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe l'homothétie de centre ? et de rapport k. En effet, soit M (z) et M' (z') les images de z et z' dans le plan complexe.
Comment calculer un nombre complexe ?
Mettre les nombres complexes sous la forme a + ib (a et b réels). Soit z=x+iy un nombre complexe (x et y réels). On demande de calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z puis de déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur. Soit . Exercice 4 : théorème de Von Aubel.
Quelle est la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe ?
la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la rotation de centre ? et d'angle ?. En effet, soit M (z) et M' (z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ? et l'affixe du vecteur est z' - ?.
Comment calculer un plan complexe ?
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm). On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i. On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que : 1. a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
Exercice1
la réponse.1.Soit (a,b,c,d)R4. Sia?betc?dalorsad?bc.
2.Soient deux réelsaetbtels queab0. Alors ln(ab)lnalnb.
3.La courbe représentative d"une fonction continue deRversRpeut avoir une
tangente verticale.4.Soientaetbdeux réels tels queab. Sifest une fonction définie, déri-
vable sur l"intervalle [a;b] et s"il existe un réelx0appartenant à ]a;b[ tel quef(x0)0 alors la fonctionfchange de variations au moins une fois sur l"intervalle [a;b].5.Si une suite numérique(un)nNest telle que pour tout entier natureln,un0
et :un1 un?1, alors cette suite est croissante.6.Si une suite numérique(un)nNest telle qu"il existe un nombre réelk]0 ; 1[
et un nombre réelαtels que pour tout entier natureln,un1α?unα alors la suite (un)nNconverge versα.7.On admet que pour toutkN,1
k1?ln(k1)lnk?1k.La suite
(Hn)nNdéfinie par :nN,Hnn k11 k, tend versquandn tend vers.8.Soientaetbdeux réels tels queab. Sifest une fonction définie, continue
par morceaux et positive sur l"intervalle [a;b] et si b a f(t)dt0 alorsfest nulle sur l"intervalle [a;b].9.La durée devie d"un composant électronique est représentéepar une variable
aléatoireX. Onsuppose queXsuit laloi exponentielle deparamètreλ(λ0). Alors pour tout réeltstrictement positif,PX?t(X?t10) ne dépend pas du réelt.10.On désigne parYla variable aléatoire égale au gain algébrique d"un jeu. La loi
de probabilité deYest donnée dans le tableau suivant :Valeur prise parY107031216
Probabilité0,150,250,200,200,150,05
Alors le jeu ainsi proposé est équitable.
CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
Exercice2
On considère les deux équations différentielles suivantes, notées(E1)et(E2):E1):xy(1x)y1définie surI1]; 0[
E2):xy(1x)y1définie surI2]0 ;[.
A. Résolution
1.Pour chaque équation différentielle proposée, donner les solutions de l"équa-
tion homogène associée.2.Onconsidère lafonction?définie surI1par :?(x)C(x)ex
xoùCdésigne une fonction de classe C1sur l"intervalleI1]; 0[.
a.Déterminer la forme des fonctionsCpour que la fonction?soit une so- lution particulière de (E1)sur l"intervalleI1]; 0[. b.Montrer que les solutions de(E1)sont de la forme : y:xy(x)K1ex1 x oùK1R.3.Donner sans justification la forme des solutions de l"équation(E2).
4.SoitKR.
Montrer que la fonctiondéfinie surRpar ::xKex1
xadmet une limite finie en 0 si et seulement siK1.B. Étude d"une fonction
On considère la fonctionfdéfi-
nie surRpar :f(x)ex1 xsix0 f(0)1.La courbe représentative de la
fonctionfest donnée ci-contre51015202530
1 2 3 4 5123xy
Afin d"étudier le comportement de la fonctionf, on utilise un tableur et on obtient les résultats suivants. 2CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
ABCDEFG
1xf(x)
2111,718281830,718281830,71828183
320,11,051709180,051709180,51709181
430,011,005016710,005016710,50167084
540,0011,000500170,000500170,50016671
650,00011,000055,0002E-050,50001667
760,000011,0000055E-060,5000007
870,0000011,00000054,9996E-070,49996218
98109-10,632120560,367879440,36787944
1110-0,10,951625820,048374180,4837418
1211-0,010,995016630,004983370,49833749
1312-0,0010,999500170,000499830,49983338
1413-0,00010,999954,9998E050,49998333
1514-0,000010,9999955E060,49999828
171. Étude localede la fonctionf
a.Quelle conjecture sur la fonctionfles informations contenues dans les colonnes B et C du tableau permettent-elles de faire? Cette conjecture est notée C 1. b.Écrire les formules concernant les cellules E2 et F2 ainsi que E3 et F3. c.Que représentent les nombres qui apparaissent respectivement dans les colonnes E et F? d.Quelle conjecture concernant la fonctionfles informations contenues dans la colonne F permettent-elles de faire? Cette conjecture est notée C 2.2. Démonstrationdes conjecturesC
1et C2
a.Montrer que le développement limité de la fonctionfen 0 à l"ordre2 est donné par : f(x)112x16x2ox2.
b.Démontrer les conjectures C1et C2.3. Conjecturesétabliesà partir de la courbe représentativede la fonctionf
a.À l"aide de la courbe représentative fournie page 2, que peut-on conjec- turer sur la branche infinie de la représentation graphique de la fonction fen? b.Demême, que peut-on conjecturer sur la branche infinie de lareprésen- tation graphique de la fonctionfen? c.Démontrer ces deux conjectures.4. Étude des variationsde la fonctionf
a.Montrer que la fonctionfest dérivable en tout point deR. b.Montrer que :xR,f(x)g(x) x, oùgest une fonction définie surRque l"on déterminera.
c.Endéduireles variationsde lafonctionfet donner son tableau de varia- tions.C. Étude d"une suite numérique
3CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
On considère la fonctionkdéfinie surRpar : eX -1 k(x)ex1 x1 six0 k(0)0.On considère également la suite
(un)nNdéfinie paru01 etnN,un1 k (un).1.Donner le tableau de variation de la fonctionk.
2.Montrer que 0u1u0.
3.En déduire que :nN, 0un1un.
4.Montrer que la suite(un)nNest convergente.
5.On noteLla limite de la suite(un)nN.
a.Montrer que 0L1 etLk(L). b.Montrer que (L0) ouL]0 ; 1[eteLL2L1. En étudiant les va- riations de la fonctionwdéfinie sur [0; 1] parw(x)exx2x1, montrer que :x]0 ; 1[,w(x)0.En déduire la valeur deL.
Exercice3
On noteCl"ensemble des nombres complexes, etPle plan complexe rapporté à un repère orthonormé O,u,v d"unité 4 cm. Touteslesconstructionsdemandéesse ferontdansle planrapportéà ce repère On appelle i le nombre complexe de module 1 et d"argumentπ 2. À chaque question, il est possible d"utiliser les résultatsdes questions précédentes même s"ils n"ont pas été établis.Partie A
Dans cette partie,fdésigne l"application deCdansCqui, à tout nombre com- plexeznon nul, associe le nombre complexezdéfini par : z 1 z etFdésigne la transformation géométrique associée qui, à toutpointMd"affixez, associe le pointMd"affixef(z). On noteM1le symétrique du pointMpar rapport à l"axe (Ox).1.Pour tout pointMdu planPdistinct du point O, montrer que OMOM1
et que le pointMappartient à la demi-droite[OM1).2.Montrer que l"applicationfest involutive, c"est-à-dire que, pour tout nombre
complexeznon nul,ff(z)z.3.Soitzun nombre complexe non nul. On notezxiyetzf(z)xiy,
oùx,y,xetysont des nombres réels. Exprimerxetyen fonction dexet de y4. Image d"une droite parF
a.SoitD1la droite d"équation 2x2y10. Montrer que l"image de la droiteD1parFest l"ensembleC1d"équation x2y22x2y0, privé du point O.
Déterminer la nature de l"ensembleC1et préciser ses éléments caracté- ristiques.ConstruireD1etC1.
4CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
b. Casgénéral SoitDune droite d"équationaxbyc0, oùaetbsont des réels non tous deux nuls. Donner une équation de l"ensembletel que l"image de la droiteDpri- vée du point O parFest l"ensembleprivé du point O. En déduireque, dans le casoùcest non nul,est uncercle que l"on note C. Préciser le rayon du cercleCet les coordonnées de son centre, noté, en fonction dea,betc. c.Déduire de la question 4. b. que, dans le cas oùc0,est une droite d"équationaxby0, que l"on note. Préciser la transformationSdu plan telle que la droitesoit l"image de la droiteDparS. d.Construire la droiteDet le cercleCpoura1,b0 etc2. e.À l"aide des résultats précédents, donner une équation de l"ensembleD2 dont l"image parFest l"ensemble2d"équationx2y2y0, privé de O.Construire ces deux ensembles.
Partie B
Application: diagramme de Smith
Dans l"étude du déplacement dans un conducteur d"une onde électrique avec pré- sence d"une onde réfléchie, on est amené, en électronique, à étudier un nombre oùxreprésente la résistance réduite etyla réactance réduite. Pour l"étude de cette impédance, ontravaille sur un nombre complexezdéfinipar : z z1 z1zest différent de1). Dans cette partie,fdésigne l"application deC{1} dansC{1} qui, à tout nombre complexezdifférent de1, associe le nombre complexezdéfini parzz1 z1et Fdésigne la transformation géométrique associée àfqui, à tout pointMd"affixez, associe le pointMd"affixezf(z).1.Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de1,z12
z1.2.On notezxiyetzf(z)xiy, oùx,y,xetysont des nombres réels.
Montrer que :xx2y21
(x1)2y2.3.Onappellealadroited"équationxa,oùaestuneconstante réellepositive
ou nulle. a.Cas a0 Montrer que0, image de la droite0parF, est le cercle de centre O et de rayon 1, privé du point A d"affixe 1. b.Cas a1 Montrer que1, image de la droite1parF, est le cercle de centre1 d"affixeω112et de rayonRI112, privé du point A d"affixe 1.
4.Cas généralOn admet quea, image de la droiteaparF, est un cercle de centrea
d"affixeωaa a1et de rayonRa1a1privé du point A d"affixe 1. 5CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
Pour concevoir des réseaux d"adaptation d"une source d"impédance complexe à une charge d"impédance complexe on utilise l"abaque de Smith. Cet abaque représente les images des droitesad"équation xa pour a allant de 0 à 20 (a désignant des résistances réduites)etles images des droitesDbd"équation yb pour b allant de20à20(b désignant des réactances réduites) par la trans- formation géométrique F. Ces images permettent de représenter l"impédance réduite z. Le graphique fourni en annexe représente une simplificationde l"abaque deSmith.
On a représenté sur ce graphique les pointsZ0etZ1représentant les impé- dances réduites respectivement égales à (00,4i) et à (12,5i). a.Placer sur ce graphique le pointZ2représentant l"impédance égale à 3 2,5i. b.Expliquer la construction précédente. Note : les notations habituellement utilisées en électronique sont différentes maisles notations usuelles en mathématiques ont été privilégiées afin de faciliter la lec-
ture. 6CAPLP externe 2011A. P.M. E. P.
ANNEXE à rendreavecla copie
0,20,40,60,81,01,21,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,01,20,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,02,22,4O
Arc de cercle des réactances réduites
constantes égales à 2,5Arc de cercle des réactances réduites constantes égales à 1Arc de cercle des réactances réduites
constantes égales à 0,4 1Z 0 Z 1 AArc de cercle des réactances réduites
constantes égales à 0 7quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] merci de bien vouloir rectifier
[PDF] déterminer f'(x)
[PDF] question a poser lors dun stage en coiffure
[PDF] résoudre graphiquement f(x) ≤ g(x)
[PDF] question a poser pendant un stage bts
[PDF] jeu pour faire connaissance adulte
[PDF] résoudre graphiquement l'inéquation f(x) g(x)
[PDF] idée jeu pour faire connaissance adulte
[PDF] jeu de connaissance ado
[PDF] jeu pour se présenter adultes
[PDF] résoudre graphiquement léquation f(x)=g(x)
[PDF] resoudre graphiquement equation
[PDF] questions ? poser ? un réalisateur
[PDF] soit f la fonction definie sur l'intervalle [25]
