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Cours de G´eom´etrie

Affine et Euclidienne

pour la Licence de Math´ematiques

Emmanuel Pedon

Universit´e de Reims-Champagne ArdenneVersion du 23 mars 2015.

Sommaire

Chapitre I : Espaces affines::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::9

1 Espaces affines::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::9

2 Applications affines (premi`ere ´etude)::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::12

2.1 G´en´eralit´es:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::12

2.2 Premiers exemples : homoth´eties et translations::::::::::::::::::::::::::::::::::14

3 Rep`eres cart´esiens et coordonn´ees cart´esiennes::::::::::::::::::::::::::::::::::::15

3.1 Rep´erage des points:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::15

3.2 Repr´esentation matricielle d"une application affine::::::::::::::::::::::::::::::::16

4 Sous-espaces affines::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::17

4.1 G´en´eralit´es:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::17

4.2 Sous-espace engendr´e par une partie::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::20

4.3 Parall´elisme::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::22

4.4 Incidence:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::23

4.5 Mesures alg´ebriques et rapports de vecteurs::::::::::::::::::::::::::::::::::::::24

4.6 Sous-espaces et applications affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::26

4.7 Projections et th´eor`eme(s) de Thal`es::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::27

4.8 Formes affines et ´equations:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29

5 Familles libres, familles g´en´eratrices, bases (rep`eres affines)::::::::::::::::::::::::31

6 Barycentres::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::33

6.1 D´efinitions, propri´et´es ´el´ementaires et notations::::::::::::::::::::::::::::::::::33

6.2 Caract´erisations barycentriques des sous-espaces et des morphismes affines:::::::::36

6.3 Coordonn´ees barycentriques dans un rep`ere affine::::::::::::::::::::::::::::::::38

4SOMMAIRE

7 Convexit´e dans un espace affine r´eel:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::39

7.1 Segments:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::39

7.2 Parties convexes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::40

7.3 Enveloppes convexes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::41

7.4 Parties convexes et applications affines, demi-espaces et demi-droites:::::::::::::::41

8 Exercices::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::43

8.1 R´evisions et compl´ements d"alg`ebre lin´eaire:::::::::::::::::::::::::::::::::::::43

8.2 Espaces affines, applications affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::45

8.3 Sous-espaces affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::47

8.4 Barycentres et convexit´e:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::51

Chapitre II : Applications affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::55

1 Structure affine canonique deA(E;F):::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::55

2 Groupe affine::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::56

3 Notions affines invariantes par une application affine::::::::::::::::::::::::::::::57

4 Groupe des dilatations (homoth´eties et translations, bis)::::::::::::::::::::::::::::57

5 Affinit´es et sym´etries:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::60

6 Points fixes des endomorphismes affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::62

7 Exercices::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::64

Chapitre III : Espaces affines euclidiens:::::::::::::::::::::::::::::::67

1 Rappels de g´eom´etrie vectorielle euclidienne:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::67

1.1 Produit scalaire et norme:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::67

1.2 Orthogonalit´e:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::68

1.3 Projections, affinit´es et sym´etries orthogonales:::::::::::::::::::::::::::::::::::69

2 G´en´eralit´es sur les espaces affines euclidiens:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::70

2.1 Structure euclidienne sur un espace affine r´eel::::::::::::::::::::::::::::::::::::70

2.2 Rep`eres orthonorm´es::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::71

2.3 Quelques points de topologie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::71

3 Sph`eres::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::73

4 Orthogonalit´e et perpendicularit´e des sous-espaces:::::::::::::::::::::::::::::::::74

4.1 Orthogonalit´e:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::74

4.2 Les trois notions de perpendicularit´e::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::75

4.3 Hyperplan m´ediateur d"un segment::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::76

5 Projections, affinit´es et sym´etries orthogonales:::::::::::::::::::::::::::::::::::::77

5SOMMAIRE

6 Distance d"un point `a un sous-espace::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::78

7 Ellipses::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::80

8 Isom´etries et similitudes (premi`ere ´etude):::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::83

9 Exercices::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::86

Chapitre IV : Orientation::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::91

1 Orientation d"un espace vectoriel r´eel:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::91

2 Orientation d"un espace affine r´eel::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::93

3 Produit mixte et produit vectoriel dans un espace euclidien:::::::::::::::::::::::::94

4 Aires et volumes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::97

5 Exercices:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::101

Chapitre V : Angles dans un espace euclidien:::::::::::::::::::::::::103

1 Angles non orient´es de vecteurs, de demi-droites, de droites:::::::::::::::::::::::103

2 Angles orient´es de vecteurs, de demi-droites, de droites:::::::::::::::::::::::::::105

3 R´eflexions et rotations planes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::110

4 Bissectrices:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::113

5 Quelques r´esultats classiques li´es aux notions d"angles::::::::::::::::::::::::::::117

6 Coordonn´ees polaires:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::119

7 Exercices:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::121

Chapitre VI : Isom´etries et similitudes vectorielles::::::::::::::::::::127

1 Adjoint d"un endomorphisme::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::127

2 Isom´etries vectorielles:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::128

2.1 Groupe orthogonal et groupe sp´ecial orthogonal:::::::::::::::::::::::::::::::::128

2.2 Notions euclidiennes pr´eserv´ees par les isom´etries:::::::::::::::::::::::::::::::131

2.3 Sym´etries orthogonales:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::132

3 Structure des isom´etries vectorielles et classification en dimension3:::::::::::::133

3.1 Cas de la dimension 1::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::133

3.2 Cas de la dimension 2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::133

3.3 Cas g´en´eral : forme r´eduite des isom´etries::::::::::::::::::::::::::::::::::::::135

3.4 Cas de la dimension 3::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::136

4 G´en´eration du groupe orthogonal et du groupe sp´ecial orthogonal:::::::::::::::::138

5 Similitudes vectorielles::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::141

6SOMMAIRE

6 Exercices:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::143

Chapitre VII : Isom´etries et similitudes affines:::::::::::::::::::::::147

1 Isom´etries affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::147

1.1 Les groupes Is(E) et IsC(E):::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::147

1.2 Premiers exemples:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::149

2 D´ecomposition canonique des isom´etries et classification en petite dimension:::::::151

3 G´en´eration du groupe des isom´etries et du groupe des d´eplacements:::::::::::::::153

4 Similitudes affines:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::154

5 Utilisation des nombres complexes en g´eom´etrie plane::::::::::::::::::::::::::::156

6 Exercices:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::161

Pr´eface

Ce cours pr´esente les bases de la g´eom´etrie affine g´en´erale (disons, surRouC) et de

la g´eom´etrie euclidienne. Il est destin´e aux ´etudiants de la Licence de Math´ematiques, ainsi

qu"aux ´etudiants pr´eparant le CAPES ou l"agr´egation de math´ematiques

1. Les pr´erequis sont

relativement ´el´ementaires : alg`ebre lin´eaire (espaces vectoriels de dimension finie, r´eduction des

en premi`ere et deuxi`eme ann´ee de Licence ou en Classes Pr´eparatoires, et un minimum de th´eorie

des groupes.

Il existe d´ej`a de nombreux livres int´eressants sur la g´eom´etrie affine (voir la Bibliographie en

fin d"ouvrage), j"ai ´ecrit celui-ci `a la fois pour le plaisir de le penser `a ma fa¸con, et pour faciliter

la communication avec mes coll`egues enseignants. Certains ´etudiants pr´eparant les concours de

l"enseignement ont eu la gentillesse de me faire part de leur int´erˆet pour ce cours qu"ils avaient re¸cu

en Licence, c"est pourquoi j"ai d´ecid´e de le rendre accessible `a tous.

Autant l"avouer tout de suite, ce cours pr´esente un grave d´efaut, voire un d´efaut r´edhibitoire :

en effet il ne contient aucune figure, ce qui est d"une certaine mani`ere un comble pour un cours

de g´eom´etrie! Mais d"un autre point de vue, cela force le lecteur `a participer activement `a la

compr´ehension du texte:::La raison en est tout simplement que je n"ai pas pris le temps de m"en occuper. Pour une version ult´erieure, peut-ˆetre!

Le cours pr´esent´e ici a ´et´e enseign´e (donc test´e) durant plusieurs ann´ees `a l"universit´e de Reims,

2.`Atitreindicatif,ilrepr´esente

au total 44h de cours magistraux et 78h de travaux dirig´es (constitu´es par les exercices situ´es `a la

fin de chaque chapitre), ce qui repr´esente exactement deux modules semestriels d"enseignement,

la r´epartition des chapitres ´etant g´en´eralement la suivante : I-II-III au premier semestre, puis IV-

V-VI-VII au second semestre. Certaines ann´ees, nous avons pu ´egalement compl´eter le cours par

un chapitre sur les coniques et quadriques euclidiennes (qui sera peut-ˆetre inclus dans une version

future). passage du texte de cet ouvrage,`a condition qu"il ne subisse aucune modification et que la source

originale soit toujours cit´ee(par exemple, par un renvoi sur le site web mentionn´e ci-dessous).

Pour finir, un avertissement : ce cours est en constante mutation, puisqu"il est le fruit de mon

exp´erience d"enseignant. Les mises `a jour sont nombreuses, veuillez donc repasser r´eguli`erement1. Le contenu de ce cours couvre enti`erement le programme du CAPES (`a l"exception de la notion de conique) mais pas

celui de l"agr´egation (par exemple, pas de g´eom´etrie projective ici).

2. Jeremercieaupassagelescoll`eguesr´emoisquiontparticip´e `acetenseignementetenontcontribu´e `acorrigeretam´eliorer

le texte : M. Pevzner, L. Foissy, V. Gayral.

8BIBLIOGRAPHIE

sur le site pour y t´el´echarger la derni`ere version. (La date de derni`ere modification est indiqu´ee sur

la page de garde.)

Bonne lecture!

Reims, le 8 mars 2010

Emmanuel Pedon

emmanuel.pedon@univ-reims.fr http://pedon.perso.math.cnrs.fr

Chapitre I : Espaces affines

Dans ce chapitre,

Kd´esigne l"un des corpsQ;R;C(ou plus g´en´eralement, n"importe quel corps commutatif de caract´eristique z´ero); siVetWsont deuxK-espaces vectoriels,L(V;W) d´esigne leK-espace vectoriel des applications lin´eaires deVdansW. Pour simplifier, on noteL(V) plutˆot queL(V;V).

1 Espaces affines

D´efinition1.1.Soit!EunK-espacevectoriel.Unespaceaffine(surK)associ´e `a!Eestunensemble Enon vide, muni d"une application':EE!!Ev´erifiant les deux axiomes suivants : (A1) pour tousA;B;CdeE,'(A;C)D'(A;B)C'(B;C)(relation de Chasles); (A2) pour toutA2E, l"application'A:M7!'(A;M) est unebijectiondeEsur!E. Autrement dit,8A2E,8Ex2!E,9!B2E:ExD'(A;B). Afin de retrouver des notations habituelles, on adopte la Convention 1.2.Dor´enavant, siA;B2E, on notera!ABle vecteur'(A;B).

Voici un peu de vocabulaire. Les ´el´ements d"un espace affineEsont appel´espointset ceux du

corps de baseKdesscalaires. Par ailleurs, on dit que!Eestla directiondeE, ou encore queEest dirig´epar!E, et on appelledimensionde Ela dimension de l"espace vectoriel!E. En particulier,

les espaces affines de dimension 0 (i.e., associ´es `a!ED fE0g) sont ceux r´eduits `a un point, et par

analogie avec le vocabulaire de l"alg`ebre lin´eaire, les espaces affines de dimension 1 sont appel´es

droites, ceux de dimension 2 sont appel´esplans. N.B.Dans ce cours, on ne consid`erera que des espaces affines dedimension finie. On attribue souvent un nom particulier `a certains ensembles finis de points d"un espace affine.

Par exemple :

1) deux pointsA;Bforment unbipoint, que l"on note (A;B) ou (B;A);

2) trois pointsA;B;Cforment untriangle de sommetsA;B;C, qui se noteABC(l"ordre des

lettres ne compte pas);

3) dans un plan, quatre pointsA;B;C;Dforment unquadrilat`ere de sommetsA;B;C;D,

pour un ensemble de six points, et en g´en´eral, d"unpolygone;

4) dans un espace affine de dimension 3, quatre pointsA;B;C;Dforment unt´etra`edre, not´e

ABCD. Donnons maintenant quelques cons´equences imm´ediates de notre d´efinition.

10CHAPITREI : ESPACES AFFINES

Proposition 1.3.SoitEunK-espace affine.

1)8A2E,!AADE0;

2)8A;B2E,!BAD !AB;

3)8A;B;C2E,!ABD!AC,BDC;

4)8A;B2E,!ABDE0,ADB;

5)8A;B2E,9!Ex2!E:ExD!AB;

6)Pour tousA;B;C;D2E, les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) !ABD!DC; (ii) !ADD!BC; (iii) !ABC!ADD!AC. Si l"une de ces conditions est r´ealis´ee, on dit queA;B;C;Dforment (dans cet ordre) le parall´elogrammeABCD. D´emonstration.1) D"apr`es l"axiome (A1), on a :!AAC!AAD!AA, d"o`u!AADE0 (r`egle de calcul vectoriel).

2) Toujours avec (A1), on a :!ABC!BAD!AA, donc!BAD !ABpar 1).

3) On a :!ABD!AC,'A(B)D'A(C),BDCcar'Aest bijective (A2), donc injective.

4) En utilisant successivement 1) et 3), on a :!ABDE0,!ABD!AA,BDA.

5) est ´evident : c"est la traduction du fait que': (A;B)7!!ABest une application.

6) Exercice.X

Proposition 1.4.SoientE;FdeuxK-espaces affines. Alors le produit cart´esienEFest naturellement muni d"une structure deK-espace affine associ´e `a!E!F, et on adim(EF)D dimECdimF. D´emonstration.Il est facile de constater que l"application ': (EF)(EF)!!E!F?(A;A0);(B;B0)?7!(!AB;!A0B0) v´erifie les deux axiomes d´efinissant un espace affine.X L"exemple le plus naturel d"espace affine est aussi le plus fondamental : Proposition 1.5.Tout espace vectorielV(en particulierVDKn) est un espace affine associ´e `a lui-mˆeme pour l"application': (Ex;Ey)7!Ey Ex. (Symboliquement, on a donc!ExEyD Ey Ex.) Cette structure d"espace affine sur l"espace vectorielVest ditecanonique. D´emonstration.Pour tousEx;Ey;Ez2V, on aEz ExD(Ey Ex)C(Ez Ey), c"est-`a-dire (A1). D"autre part, siEa;Ex2ValorsEbD EaC Exest l"unique ´el´ement deVv´erifiantExDEb Ea, d"o`u (A2).X

L"existence d"espaces vectoriels en toute dimension ayant ´et´e prouv´ee dans le cours d"alg`ebre

lin´eaire, on en d´eduit au passage : Corollaire 1.6.Il existe des espaces affines en toute dimension. Exemple 1.7.L"ensembleCest un espace affine sur lui-mˆeme : c"est une droite affine complexe. Mais on voit facilement que c"est aussi un plan affine sur le corpsKDR.

111 ESPACES AFFINES

Notation1.8.On ´etendauxespacesaffinesg´en´erauxlesnotationscorrespondantaucasdesespaces vectoriels : on pourra ainsi ´ecrireBAau lieu de!AB. Par coh´erence, siA2EetEx2!E, l"unique B2Ev´erifiant!ABD Ex(cf. axiome (A2)) sera ´egalement not´eAC Ex(dans cet ordre). Ainsi, on auraBDAC Ex,ExD!ABet l"´ecritureBAD(AC Ex)AD Exsera autoris´ee.

Exemples 1.9 (d"utilisation de cette notation).

1) (Exercice) La relation de Chasles (A1) se traduit par (AC Ex)C EyDAC(ExC Ey).

On obtient ´egalement les r`egles suivantes, souvent utilis´ees :AC ExDAC Ey,ExD Eyet (BC Ey)(AC Ex)D!ABC Ey Ex.

2) SiEest un espace affine, pour tout pointA2E, on aEDAC!E: cela d´ecoule de la

propri´et´e 5) de la proposition 1.3.

Attention!Le fait de donner un sens `a une diff´erence de deux points n"autorise pas `a ´ecrire

n"importe quelle combinaison de points d"un espace affine (par exemple une somme de deux points

n"existe pas), sauf dans deux situations tr`es particuli`eres : l"une lorsqu"on vectorialise l"espace

affine (voir ci-dessous), et l"autre lorsqu"on ´etudiera les barycentres (voir paragraphe 6). Onamontr´eplushautquetoutespacevectorielestnaturellementunespaceaffine.Pour ´etudierle

A:!E!E

Ex7!AC Ex

est une bijection ensembliste (en fait, An"est autre que la r´eciproque de l"application'Ade

l"axiome (A2)). Cette bijection permet alors de " transporter » surEla structure d"espace vectoriel

de!E. En effet, il est facile de constater que les loisCAetAd´efinies par

MCAND A(!AMC!AN) etAMD A(!AM)

munissentEd"une structure deK-espace vectoriel. D´efinition 1.10.L"espace vectoriel (E;CA;A) ainsi obtenu s"appelle levectorialis´e deEenAet se noteEA. On dit aussi qu"on a fix´e une origineAdansE.

Remarques 1.11.

1) Le pointAest le vecteur nul du vectorialis´eEA: pour toutM2EA,MCAAD

A(!AMC!AA)D A(!AM)DM. C"est pour cela qu"on qualifieAd"" origine ».

2) La vectorialisation n"est somme toute qu"une d´efinition rigoureuse d"un ph´enom`ene intuitif :

la feuille de papier (infinie:::) est un espace affine, mais se comporte comme un espace vectoriel si on fixe un point-origine. Inversement, on peut consid´erer un espace affine comme un espace vectoriel dans lequel on ne veut plus privil´egier l"origine (le vecteur nul).

3) Par construction deEA, la bijection A:!E!Einduit unisomorphisme d"espaces

vectorielsde!EsurEA.

4)Attention, le proc´ed´e de vectorialisation d"un espace affine n"est pas canonique :les

lois ne sont pas les mˆemes dansEAetEBsiA6DB! C"est pour cela qu"on ne peut pas dire

qu"un espace affineestun espace vectoriel, alors que la r´eciproque est toujours vraie en vertu de

la proposition 1.5. Autrement dit : la cat´egorie des espaces affines contient strictement la cat´egorie

des espaces vectoriels.

12CHAPITREI : ESPACES AFFINES

2 Applications affines (premi`ere ´etude)

2.1 G´en´eralit´es

Comme `a chaque fois que l"on d´efinit une nouvelle structure math´ematique, on s"int´eresse aux

applications qui vont pr´eserver cette structure. La suite de ce cours justifiera la pertinence de la

d´efinition suivante. affine(ou unmorphisme affine) s"il existe une application lin´eaire:!E!!Fv´erifiant

8A2E;8Ex2!E;f(AC Ex)Df(A)C(Ex);

ou encore, ce qui revient au mˆeme,

8A;B2E;!f(A)f(B)D(!AB):

V´erifions en effet l"´equivalence de ces deux formules : soientA;B2E; si la premi`ere formule est vraie, on af(B)Df(AC!AB)Df(A)C(!AB), donc!f(A)f(B)Df(B)f(A)D(!AB). La r´eciproque se d´emontre de la mˆeme fa¸con.

Si l"on vectorialise les espaces consid´er´es, on peut interpr´eter cette d´efinition d"une mani`ere

remarquable : Proposition 2.2.Une applicationf:E!Fest affine si et seulement si, pour toutA2E,fest lin´eaire deEAdansFf(A).

D´emonstration.Exercice.X

Proposition 2.3.Pour une application affinef:E!Fdonn´ee, il n"existe qu"une seule application lin´eaire:!E!!Fv´erifiant la condition de la d´efinition. On l"appellepartie lin´eaire def, et on la noteEf.

D´emonstration.Supposons qu"on ait `a la fois

8A2E;8Ex2!E;f(AC Ex)D?f(A)C1(Ex)

f(A)C2(Ex) Fixons alorsA2E. On a :8Ex2!E,1(Ex)Df(AC Ex)f(A)D2(Ex), d"o`u1D2.X

Exemples 2.4.

1) L"identit´e id

E:M7!Mest affine, de partie lin´eaire!idEDidEE.

2) Une application constantef:E!F,M7!Aest affine, de partie lin´eaireEfE0.

R´eciproquement, sifest affine, alorsfest constante si et seulement siEfE0.

Les applications affines poss`edent les mˆemes propri´et´es ensemblistes que leurs parties lin´eaires :

Proposition 2.5.Soitfune application affine. Alorsfest injective (resp. surjective, bijective) si et seulement siEfl"est.

D´emonstration.Exercice.X

De cette proposition et de l"analogue vectoriel on d´eduit imm´ediatement :

132 APPLICATIONS AFFINES(PREMI`ERE´ETUDE)

Corollaire 2.6.Soitfune application affine entre espacesde mˆeme dimension. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i)fest injective; (ii)fest surjective; (iii)fest bijective. Un peu de vocabulaire et de notation, calqu´es sur le cas vectoriel.

D´efinitions 2.7.

1) Une application affine deEdansEs"appelle unendomorphisme affinedeE.

2) Une application affine bijective s"appelle unisomorphisme affine(ou encore, unetransfor-

mation affine).

3) Deux espaces affinesE;Fsont ditsisomorphess"il existe un isomorphisme affine deEsur

F(ils sont alors de mˆeme dimension).

4) Un endomorphisme affine bijectif s"appelle unautomorphisme affine.

Notations 2.8.On d´efinit :

1)A(E;F) l"ensemble des morphismes affines deEdansF;

2)A(E)DA(E;E) l"ensemble des endomorphismes affines deE;

3)GA(E) l"ensemble des automorphismes affines deE;

4) pourf2A(E),

Inv(f)D fM2E:f(M)DMg Densemble despoints fixesdef:

Enon¸cons maintenant un r´esultat simple, indispensable pour la compr´ehension et la pratique.

Proposition 2.9.SoientEetFdeux espaces affines,:!E!!Fune application lin´eaire et (A;B)2EF. Alorsf:M7!BC(!AM)estl"uniqueapplication affine deEdansFtelle quef(A)DBetEfD.

Autrement dit, une application affine est enti`erement d´etermin´ee par la donn´ee de sa partie lin´eaire

et de l"image d"un point (quelconque).

D´emonstration.Il est clair que l"applicationfainsi d´efinie v´erifief(A)DB. D"autre part, pour

tousM;N2E, on a ce qui d´emontre quefest affine de partie lin´eaire.

Pour toutM2E,

g(M)Dg(AC!AM)Dg(A)C Eg(!AM)DBC(!AM)Df(M); si bien quegDf.X

Corollaire 2.10.Pour prouver l"´egalit´e de deux applications affines, il suffit d"´etablir l"´egalit´e de

leurs parties lin´eaires et leur co¨ıncidence en (au moins) un point.

D"autres propri´et´es g´en´erales des applications affines seront ´etablies dans la suite de ce cours (et

notamment dans le chapitre suivant). Passons maintenant `a deux exemples concrets, parmi les plus connus.

14CHAPITREI : ESPACES AFFINES

2.2 Premiers exemples : homoth´eties et translations

SoitEun espace affine surK.

D´efinition 2.11.SiA2Eet2K, l"applicationhA;:E!E,M7!AC!AMs"appelle l"homoth´etiedecentreAet derapport. Exemples 2.12.Une homoth´etiehA;1de rapport 1 est l"identit´e (pour toutA), une homoth´etie h A;1de rapport1 s"appelle unesym´etrie centrale(de centreA) et se notesA. Proposition 2.13.SoithDhA;une homoth´etie deE(rappel :2K).

1)hest un automorphisme affine, de partie lin´eaire l"homoth´etie vectorielleEhDidEE(quel que

soitA).

2)Si6D1,Inv(h)D fAg; sinonhDiddoncInv(h)DE.

D´emonstration.1) Pour tousM;N2E,

h(M)h(N)Dh(N)h(M)D(AC!AN)(AC!AM)D!MN; de sorte quehest affine, avecEhDid. CommeEhest bijective,hl"est aussi.

2) Supposons6D1. Pour toutM2E,

h(M)DM,AC!AMDM ,!AMDMAD!AM ,(1)!AMDE0 !AMDE0 ,MDA:

Donc Inv(h)D fAg.X

Passons `a un second exemple.

D´efinition 2.14.SiEx2!E, l"applicationtEx:E!E,M7!MC Exs"appellela translation de vecteurEx. Remarquons qu"on pourra parlerduvecteur d"une translation donn´ee, puisqu"il est clair que t

ExDtEy,ExD Ey.

Proposition 2.15.SoittDtExune translation deE.

1)test un automorphisme affine, de partie lin´eaireEtDidEE(quel que soitEx).

2)SiEx6DE0,Inv(t)D?; sinontDiddoncInv(t)DE.

D´emonstration.1) Pour tousM;N2E,!t(M)t(N)D(NC Ex)(MC Ex)DNMD!MN, d"o`u le r´esultat.

2) SupposonsEx6DE0. Alorst(M)DM,MC ExDM,ExDE0, donc Inv(t)D?.X

Les translations vont nous fournir un autre exemple naturel et fondamental d"application affine :

153 REP`ERES CART´ESIENS ET COORDONN´EES CART´ESIENNES

Proposition 2.16.SoientEetFdeux espaces vectoriels munis de leur structure affine canonique. Les applications affines deEdansFsont exactement les compos´ees de la formetEu, o`uEu2F et2L(E;F). Plus pr´ecis´ement, si l"on noteODE0EetO0DE0F(vus comme points), et sif2A(E;F), alors fDtEuavecEuD!O0f(O)etDEf(doncEuetsont uniques). En particulier, les applications lin´eaires deEdansFsont exactement les applications affinesf v´erifiantf(O)DO0, i.e. qui " conservent l"origine ».

D´emonstration.Exercice.X

Autrement dit : une application affine entre espaces vectoriels est la somme d"une application Corollaire 2.17.Les endomorphismes affines deK(vu comme droite affine sur lui-mˆeme) sont exactement les applications de la formex7!axCb, aveca;b2K. Parmi celles-ci, les automorphismes deKsont caract´eris´es par la conditiona2K. z7!azCb. Maisattention :si l"on voitCcomme plan affine surKDR, ses endomorphismes affines sont de la formez7!azCbNzCc! (Exercice.)

3 Rep`eres cart´esiens et coordonn´ees cart´esiennes

Il existe plusieurs syst`emes de rep´erage dans un espace affine. Nous allons ´etudier dans ce paragraphe le plus ´el´ementaire d"entre eux.

3.1 Rep´erage des points

SoitEunK-espace affine.

D´efinitions 3.1.On appellerep`ere cart´esiende l"espace affineEtout coupleRD(OIB), o`uO est un point deE, etBest une base de!E. On dit alors queOestl"originedu rep`ereRet queB est labase associ´eeau rep`ereR.

On appellecoordonn´ees cart´esiennesd"un pointMdans le rep`ereRles composantes du vecteur!OMdans la baseB.

cart´esienne s"appellel"abscisse. SinD2, la seconde coordonn´ee s"appellel"ordonn´ee. SinD3,

la troisi`eme coordonn´ee s"appelle g´en´eralementla hauteur. Proposition 3.2.SoitEun espace affine de dimensionn, et soitRun rep`ere cart´esien deE. L"application'R:E!Knqui `aMassocie len-uplet form´e par ses coordonn´ees cart´esiennes dansRest un isomorphisme affine (Knest ici muni de sa structure affine canonique). D´emonstration.On voit tr`es facilement que la partie lin´eaireE'R:!E!Knde'Rn"est autre

que l"isomorphisme lin´eaire qui envoie tout vecteur de!Esur len-uplet form´e par ses composantes

dans la baseBassoci´ee `aR.X

Ce r´esultat ´el´ementaire nous dit `a la fois qu"on peut effectivement utiliser des coordonn´ees

cart´esiennes pour rep´erer les points (c"est l"aspect bijectif) et que l"espace affineKnest en quelque

sorte un mod`ele " canonique » d"espace affine de dimensionn(c"est l"aspect isomorphisme), tout comme il est un mod`ele universel d"espace vectoriel de dimensionn.

16CHAPITREI : ESPACES AFFINES

D´efinitions 3.3.L"application'Rd´efinie ci-dessus est appel´eecarte affinedeEassoci´ee `aR, et

son inverse'1 Rest appel´eerepr´esentation param´etrique(ouparam´etrage) deEassoci´ee `aR.

Concr`etement, siRD(OI(Eei)niD1), alors'1

R: (1;:::;n)7!OC?iEei.

Remarque 3.4.L"application'1

Rest aussi affine. On peut le prouver directement, mais on verra plus loin que l"inverse d"un isomorphisme affine est automatiquement affine. Voici une formule de changement de coordonn´ees cart´esiennes. Proposition 3.5.SoientRD(OIB)etR0D(O0IB0)deux rep`eres cart´esiens deE, et soitPla matrice de passage deB`aB0, i.e.PDMatB(B0). SiM2E, notonsXM(resp.X0M) la matrice colonne des coordonn´ees deMdansR(resp.R0).

Alors, pour toutM2E,XMDPX0MCXO0.

D´emonstration.Observons queXMXO0repr´esente la matrice colonne des composantes du vecteur!OM!OO0D!O0Mdans la baseB. CommeX0Mn"est autre que la matrice colonne des composantes de!O0Mdans la baseB0, la formule r´esulte donc du cours d"alg`ebre lin´eaire.X d"une base. Il y a un analogue dans le cadre affine. Proposition 3.6.SoientE;FdeuxK-espaces affines,E´etant suppos´e de dimensionn. Soit (OI(Eei)niD1)un rep`ere cart´esien deE, soientP2Fet(Efi)niD1une famille quelconque de vecteurs de !F. Il existe une uniquef2A(E;F)telle quef(O)DPetEf(Eei)DEfipour touti. En outre,

1)fest injective si et seulement si(Efi)est libre dans!F;

2)fest surjective si et seulement si(Efi)est g´en´eratrice dans!F;

3)fest bijective si et seulement si(PI(Efi))est un rep`ere cart´esien deF.

unique2L(!E;!F) v´erifiant(Eei)DEfipour touti. En utilisant la proposition 2.9, on trouve alors qu"il existe une uniquef2A(E;F) telle queEfDetf(O)DP. Pour le reste, rappelons encore un r´esultat d"alg`ebre lin´eaire :

1)est injective si et seulement si (Efi) est libre dans!F;

2)est surjective si et seulement si (Efi) est g´en´eratrice dans!F;

3)est bijective si et seulement si (Efi) est une base de!F.

On conclut donc grˆace `a la proposition 2.5.X

3.2 Repr´esentation matricielle d"une application affine

Rappelons que si l"on dispose de deux espaces vectoriels munis de bases, la donn´ee d"une

applicationlin´eaireentrecesespacesest ´equivalente `aladonn´eed"unematrice.Donnonsl"analogue

de ce ph´enom`ene dans le cadre affine. Th´eor`eme 3.7.SoientEetFdeux espaces affines de dimensions respectivesmetn. Soient RD(OIB)etSD(PIC)deux rep`eres cart´esiens, respectivement deEetF. SiM2E, on noteXM2M(m;1IK)la matrice colonne des coordonn´ees deMdansR. SiN2F, on noteYN2M(n;1IK)la matrice colonne des coordonn´ees deNdansS.

Soitf:E!Fune application.

1)Supposonsfaffine, et notonsADMatB;C(Ef)2M(n;mIK). Alors

8M2E;Yf(M)DAXMCYf(O):

174 SOUS-ESPACES AFFINES

Cette ´ecriture s"appelle larepr´esentation matricielle(on dit aussiexpression analytique) def dans les rep`eresR,S. Concr`etement, elle se traduit par une expression du type : ??y

1Da11x1C Ca1mxmCb1

y

2Da21x1C Ca2mxmCb2:::

y nDan1x1C CanmxmCbn

2)R´eciproquement, supposons qu"il existe des matricesA2M(n;mIK)etB2M(n;1IK)

telles queYf(M)DAXMCBpour toutM2E, alorsfest affine, et l"´ecriture pr´ec´edente n"est autre que sa repr´esentation matricielle dans les rep`eresR,S(en particulier,AetBsont uniques). D´emonstration.1) est clair, puisqueXMest form´e des composantes de!OMdansB,Yf(M)Yf(O)

2) Comme nous l"avons rappel´e, la donn´ee deA;B;Cd´etermine une unique2L(!E;!F) telle

queADMatB;C(). On a par ailleurs, pour tousM;N2E: Y f(N)Yf(M)???? composantes de!f(M)f(N) dansCDAXNCB(AXMCB)DA(XNXM)???? composantes de!MNdansB; d"o`u !f(M)f(N)D(!MN) pour tousM;N2E. Par suite,fest affine de partie lin´eaire, et commeYf(O)DAXOCBDB, l"´ecritureYf(M)DAXMCBest bien la repr´esentation matricielle def.X

4 Sous-espaces affines

Dans tout ce paragraphe,Ed´esigne unK-espace affine de direction!E.

4.1 G´en´eralit´es

D´efinition 4.1.Unsous-espace affine(en abr´eg´e, unsea) deEest une partie de la forme

FDACV:D fAC Ex;Ex2Vg;

o`uAest un point deEetVest un sous-espace vectoriel de!E. Voyons les premi`eres propri´et´es des sous-espaces affines. Proposition 4.2.SoitFDACVun sous-espace affine deE. Alors :

1)FEetF6D?;

2)Pour toutB2E, les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i)B2F;quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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