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May 2 2018 181 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie
E E
E n E n
E E
u tu t ⃗0=E @u,vPE,tu+v=tu˝tv @A,BPE,D!uPE,tu(A) =BE E
ĕ RE 2 (⃗i,⃗j)EE ??
A B u O j i uE R E E ɍ + ā
@aPE,a+⃗0 =a @aPE,@u,vPE,a+ (u+v) = (a+u) +v0 1 2 3 4
0123AB A B
A= (2,1)
B= (3,3)
ÝÝÑAB= (1,2)
E E n
EĕR= (O,B)E B= (e1,e2,...,en)
O ĕ e1,e2,...,en
ĕ ME ÝÝÑOM B
M ĕR x1,x2,...,xnMR
OM=x1e1+x2e2+¨¨¨+xnen
B BB@x 1 x n1 C CCAĕRA0
B BB@a 1 a n1 C CCAB0 B BB@b 1 b n1 CCCA BÝÝÑAB0
B BB@b1´a1
b n´an1 C CCA (x1,x2,...xn)PK, f(x1,x2,...xn) = 0R= (O,B)R1= (O1,B1) ĕ E P BB1
B O1R M E X
MR X1 MR1
X=B+PX1
X1 ÝÝÝÑO1MR1 PX1
ÝÝÝÑO1MR ÝÝÑOM=ÝÝÑOO1+ÝÝÝÑO1MÝÝÑOMR X=B+PX1
E E
(A1,A2,...An) n E (λ1,λ2,...λn) nG ř
(Ai,λi),iPJ1,nK O E ME iÝÝÝÑMAi=ÿ iÝÝÑOAi´ÿ iÝÝÑOM OG=1 iÝÝÑOAi OEɍ λi 1
(Ai,λi),iPJ1,nK n E řH(Ai,λi),iPJ1,mK
G(Ai,λi),iPJ1,nK (H,ř
J m+ 1,nK0 =ÿ
iÝÝÑGAi= ÿ i!ÝÝÑGH+ÿ
iÝÝÑHAi looooooomooooooon ⃗0+ iÝÝÑGAi= ÿ i!ÝÝÑGH+ÿ
iÝÝÑGAiE E
F E F EF
F 2E F
AB A B MÝÝÑAM=3
2ÝÝÑAB M (A,´1
2 )(B,3 2 )(A,´1)(B,3) 2ÝÝÑAM= 3( ÝÝÑAM+ÝÝÑMB) ´ÝÝÑAM+ 3ÝÝÑBM=⃗0 F EÝÝÑMNMNF E
F (F)
F (F) 3
E @(A,⃗u)PFˆ(F),A+⃗uPF
F=!ÝÝÑMN,M,NPF)
F ⃗0 =ÝÑAA ɍA F
u,vPF λPR A,B,C,DPF u=ÝÝÑABv=ÝÝÑCDMPE ÝÝÑAM=u+λv ÝÝÑAM=ÝÝÑAB+λÝÝÑCD=ÝÝÑAB´λÝÑAC+λÝÝÑAD
M (B,1)(C,´λ)(D,λ) MPF u+λvPF
O F=F FF E A E
F=A+F F E A
FFA⃗0PF
F E M Mi,iPJ1,nKF
ÝÝÑAM ÝÝÑAMi F ÝÝÑAMPF MPFFF MN F ÝÝÑMNP(F) ÝÝÑMN=
ÝÝÑAN´ÝÝÑAMPF (F)ĂF uPFB=A+u FF1 EA F
F1ĂF MPF1 ÝÝÑAMPF MPF
FĂF1 MPF ÝÝÑAMPF ÝÝÑAM=ÝÝÑBC ɍB,CPF1 ÝÝÑAM=ÝÑAC´ÝÝÑAB M (A,1)(B,´1)(C,1) MPF1F EA F (F) =!ÝÝÑAM,MPF)
ĕ F=(F) F=!
MPE,ÝÝÑAMPF)
uPF M=A+uPFu=ÝÝÑAMPF u=ÝÝÑAMMPF p p1 2
FG E FG
FĂG FĂG
FĂGFXG FĂG
FG E F=(F)G=(G)
FĂG F=!ÝÝÑMN,M,NPF)
Ă!ÝÝÑMN,M,NPG)
=GFĂGFXG APFXG
F=!MPE,ÝÝÑAMPF)
MPE,ÝÝÑAMPG)
=G pFĂG FĂG (F) =(G) =p F=G
GĂF FXG‰ HF FĂG GĂF
FG E FG FXG
E FXGFXG‰ H
APFXG F=!
MPE,ÝÝÑAMPF)
G=!MPE,ÝÝÑAMPG)
FXG=!MPE,ÝÝÑAMPGÝÝÑAMPF)
MPE,ÝÝÑAMPFXG)
ŗ E A FXG
EFG E FG
FXG=t0u FXG
FĂG FXG FĂG
0F+G=E APF,BPG ÝÝÑAB=⃗uloomoon
PF+⃗vloomoon
PGC=A+⃗u CPF
C=A+⃗u=A+ (ÝÝÑAB+ (´⃗v)) = (A+ÝÝÑAB) + (´⃗v) =B+ (´⃗v)
CPG APF BPG C ⃗u ⃗vFG E
FXG 2 3 2ĕ R= (O,⃗i,⃗j)
D E APE F
MPDðñÝÝÑAMPF
F=(⃗u) ɍ⃗uPEzt0u
MPDðñ DtPR,ÝÝÑAM=t⃗u
D=tA+t⃗u,tPRu
A0 a b1 A ⃗u0 β1 A M0 x y1 APDðñ DtPR,$
%x=a+tα y=b+tβD AA1
⃗u=ÝÝÑAA1 M 0 x y1 APDðñ DtPR,M=(A,t),(A1,1´t)
ðñ DtPR,$
%x=ta+ (1´t)a1 y=tb+ (1´t)b1 A0 a b1 A A10 a1 b 11 A D A FF 2 (⃗i,⃗j)
αx+βy= 0
MPDðñÝÝÑAMPF
ðñα(x´a) +β(y´b) = 0 ɍM0
x y1 A A0 a b1 Aðñαx+βy=h ɍh=αa+βb
E αx+βy=h ɍ(α,β)‰(0,0)
D:αx+βy= 0 AɍA0
a b1 Aαa+βb=h
D A0 x0 y 01 A ⃗u0 a b1 A M 0 x y1 APDðñ(ÝÝÑAM,⃗u)
x´x0a y´y0b = 0 3 D A0 B B@x 0 y 0 z 01 CCA ⃗u0
BB@α
γ1 C CA M 0 B B@x y z1 CCAPDðñÝÝÑAM ⃗u
ðñ DtPR,ÝÝÑAM=t⃗u
ðñ DtPR,$
'%x=x0+tα y=y0+tβ z=z0+tγ P A0 B B@x 0 y 0 z 01 CCA P:ax+by+cz= 0
M 0 B B@x y z1 CCAPPðñÝÝÑAMPP
ðña(x´x0) +b(y´y0) +c(z´z0) = 0
ðñax+by+cz=h
P:ax+by+cz=h(a,b,c)‰(0,0,0) P
P:ax+by+cz= 0 AɍA0
B B@x 0 y 0 z 01 CCA ax0+by0+cz0=h
B B@x 0 y 0 z 01 C CA ⃗u 0 BB@α
γ1 CCA⃗v0
BB@α
1 1 11 CCA P
M 0 B B@x y z1 Cðñ Dt,sPR,ÝÝÑAM=t⃗u+s⃗v
ðñ Dt,sPR,$
'%x=x0+tα+sα1 y=y0+tβ+sβ1 z=z0+tγ+sγ1 M 0 B B@x y z1 CðñB(⃗u,⃗v,ÝÝÑAM) = 0
x´x0α α1 y´y0β β1 z´z0γ γ1 = 0EE1 EE1
f EE1 φEE1 @M,NPE,f(N) =f(M) +φ(ÝÝÑMN) f fE ā
Ŀ ŀ f
ÝÝÑMN MN
MNPQ E ÝÝÑMN=ÝÝÑPQ
ÝÝÑPQ=ÝÝÑPN´ÝÝÑPM Q (P,1),(N,1),(M,´1)Q1 (P1,1),(N1,1),(M1,´1) f
φ(u) =ÝÝÝÑM1N1 ɍMN E u=ÝÝÑMN uv E λ OMNP E ÝÝÑOM=uÝÝÑON=vÝÝÑOP=u+λv ÝÝÑOP=ÝÝÑOM+λÝÝÑON P (O,´λ),(M,1),(N,λ) P1 (O1,´λ),(M1,1),(N1,λ)φ(u+λv) =φ(ÝÝÑOP) =ÝÝÝÑO1P1=ÝÝÝÑO1M1+λÝÝÝÑO1N1=φ(ÝÝÑOM) +λφ(ÝÝÑON)
φ(u+λv) =φ(u) +λφ(v)
A EA1 E1φ EE1
fEE1 φ f(A) =A1 f φ f(A) =A1 @MPE,f(M) =A1+φ(ÝÝÑAM) fφ(⃗0) =⃗0φ f(A) =A1
f M (Mi,λi) řλi= 1Ŀ ŀ Ef
A1M1=φ(ÝÝÑAM) =φ(ÿλ
iÝÝÑAMi) =ÿλ iφ(ÝÝÑAMi) =ÿλ iÝÝÝÑA1M1iM1 (M1i,λi)
fφ u E M E ÝÝÑAM=uM1 fA E fEE1
RÝÑR
R ā
EM (Mi,λi)i
I M1i Miř
iPIλiÝÝÝÝÑM1M1i=ř iPIλi(ÝÝÝÑM1Mloomoon ⃗u) =ř iPIλiÝÝÝÑMMi=⃗0quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] géométrie analytique 1ère s
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