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G´eom´etrie affine

R. Taillefer

Universit

´e Jean Monnet

Licence de Math

´ematiques 2006-2007

Semestre 3

Table des mati

`eres

I Espaces affines, sous-espaces affines 2

A Espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

B Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

C Parall

´elisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

D Position relative de deux sous-espaces affines (dimension finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 E G

´eom´etrie analytique affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

E.1 Equations d"hyperplans affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

E.2 Equations cart

´esiennes des droites d"un plan affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

E.3 Equations cart

´esiennes des plans et des droites en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . .10

E.4 Changement de rep

`ere cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

II Barycentre, calcul barycentrique 13

A Barycentre, propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 B Th

´eor`eme d"associativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

C Barycentre et sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

D Calcul barycentrique, coordonn

´ees barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 III Applications affines et exemples d"applications affines 17

A Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 A.1 D

´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

A.2 Ecriture matricielle des applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

A.3 Barycentre et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

B Homoth

´eties, translations et dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

B.1 Les translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

B.2 Les homoth

´eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

C Projections et sym

´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

C.1 Les projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

C.2 Affinit

´es, sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

IV Th´eor`emes classiques de g´eom´etrie affine 25

A Le th

´eor`eme de Thal`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

B Le th

´eor`eme de M´en´ela¨us . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

C Le th

´eor`eme de C´eva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

D Le th

´eor`eme de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

E Le th

´eor`eme de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

V Convexit´e31

A D

´efinitions, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

B Enveloppe convexe - Th

´eor`emes de Carath´eodory et de Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1

I Espaces affines, sous-espaces affines

A Espaces affines

D´efinition A.1.Unespace affine(surR) est un triplet(X,~X,F)o`u :

X est un ensemble non vide

(~X,+,)est unR-espace vectoriel Fest une application de~XX dans X v´erifiant les axiomes : (A1) pour tous x 2X,~z2~X,~h2~X, on aF(~z,F(~h,x)) =F(~z+~h,x); (A2) pour tous x ,y 2X, il existe un et un seul~z2~X tel que y=F(~z,x).

D´efinition A.2.Les ´el´ements de X sont appel´es lespointsde l"espace affine, les ´el´ements de~X sont appel´es lesvecteurs

de l"espace affine, ~X est ditdirectionde(X,~X,F). Remarque A.3.Siy=F(~z,x), l"axiome (A2) dit qu"il n"existe pas d"autre vecteur~htel quey=F(~h,x). Le vecteur ~zest d´etermin´e par(x,y), et on le note!xy. Remarque A.4.Soit~z2~X. L"applicationF(~z,):X!Xcorrespond`a une translation (celle de vecteur~z). On note doncF(~z,) =t~z.

L"axiome (A1) est alors

´equivalent`a :

8 ~z2~X,8~h2~X,t~zt~h=t~z+~h, et l"axiome (A2) est

´equivalent`a

8x,y2X,9!~z2~Xtel quey=t~z(x).

Exemples A.5.

(a) Soit~XunR-espace vectoriel. On prendX=~XetF(~z,x) =x+~zpour tousx,~z2~X. (b)On pose : X=f(x,1);x2Rg; notons queXR2n"est pas un sous-espace vectoriel deR2. ~X=f(a,0);a2Rg, qui est un sous-espace vectoriel deR2. F:~XX!X,((a,0),(x,1))7!(x+a,1)est la restriction de l"addition usuelle deR2.

Notons qu"on peut aussi

´ecrire, par exemple,X=f(3,1) + (a,0)ja2Rg.

(c)On pose :

X=f(x,y)2R2;x+y=1g.

~X=f(a,b)2R2;a+b=0gqui est un sous-espace vectoriel deR2. F:~XX!X,((a,b),(x,y))7!(x+a,y+b)est la restriction de l"addition usuelle deR2.

Notons que l"on peut aussi

´ecrire, par exemple,X=f(1/2,1/2) + (a,a)ja2Rg. (d)On pose : X=f(x,y,1)2R3;x,y2Rg(g´eom´etriquement il s"agit d"un plan horizontal). ~X=f(a,b,0);a,b2Rgqui est un sous-espace vectoriel deR3(plan vectoriel horizontal). F:~XX!Xest la restriction de l"addition usuelle deR3.

Notons que l"on peut

´ecrire, par exemple,X=f(1,1,1) + (a,b,0)ja,b2Rg. (e)Les exemples ci-dessus sont tous de la mˆeme forme : on se donne unR-espace vectoriel~F,~u02~F,~Xun sous-espace vectoriel de~F; 2 on consid`ereX=f~u+~u0;~u2~Xg, etFest la restriction`a~XXde l"addition des vecteurs de~F:

F(~v,~u0+~u) =~u0+~u+~v.

Un cas particulier est celui o

`u~u0=~0. Dans ce cas,X=~X, i.e. tout espace vectoriel est muni d"une structure

d"espace affine. AinsiR,R2etRn(pour toutn2N) sont desR-espaces affines (ce r´esultat est celui donn´e

par l"exemple(a)).

Convention :Quand il n"y aura pas d"ambiguit´e, on notera`a pr´esentXun espace affine(X,~X,F). De plus,

au lieu de noterF(~z,x)on noterax+~z. On a donc en particuliery=x+!xypour tousx,y2X.

Attention, il ne faut pas confondre ce symbole+avec la loi additive sur~X. Notons aussi que l"on ne peut

pas ajouter des points deX.

Proposition A.6.

(r `eglesde calcul) Soit(X,~X,F)un espace affine. (i) Pour tous x,y,z2X, on a!xy+!yz=!xz(Relation de Chasles). (ii) Pour tout x2X, on a!xx=~0. Doncx=x+~0. Plus pr´ecis´ement, pour tousx,y2X, on a!xy=~0 si et seulement six=y. (iii)

Pour tous x,y2X,!xy=!yx.

(iv) Pour tous x,y,z,t2X,!xy=!tzsi et seulement si!xt=!yz. (v)

Pour tous x,y,z2X,!xy=!zy!zx.

(vi) Soit x02Xfix´e. On d´efinitQx0:X!~Xpary7!!x0y. Cette application est une bijection deXdans~X et sa bijection r

´eciproque estF(,x0).D´emonstration.(i)On a x+ (!xy+!yz) = (x+!xy) +!yzpar l"axiome (A1). D"o`ux+ (!xy+!yz) =y+!yz=z.

Par l"axiome (A2), on a alors!xy+!yz=!xz.

(ii) D"apr `es la relation de Chasles, on a!xx+!xx=!xx. Donc!xx=~0, etx=x+~0.

Si!xy=~0, on ay=x+!xy=x+~0=x.

Enfin, six=y, on a!xy=!xx=~0.

(iii) !xy+!yx=!xx=~0. Donc!xy=!yx. (iv) On a !xy=!xt+!tz+!zy. D"o`u!xy+!yz=!xt+!tz. D"o`u le r´esultat. (v) !zy!zx=!zy+!xz=!xy. (vi)

On a pour tout y2X,

F(,x0)Qx0(y) =F(,x0)(!x0y) =x0+!x0y=y

Soit ~u2~X. On sait qu"il existey2Xtel quey=x0+~u. Alors Q x0F(,x0)(~u) =Qx0(x0+~u) =Qx0(y) =!x0y=~u.B Sous-espaces affines

D´efinition B.1.Soit(X,~X,F)un espace affine et soit Y une partie non vide de X. On dit que Y est unsous-espace

affinede(X,~X,F)s"il existe un sous-espace vectoriel~Y de~X tel que le triplet(Y,~Y,Fj~YY)soit un espace affine. Le

sous-espace ~Y est alors appel´edirectionde Y.

Propri´et´e B.2.Soit(X,~X,F)un espace affine. Soientx02Xet~Eun sous-espace vectoriel de~X. AlorsY:=

x

0+~E:=fx0+~uj~u2~Egest un sous-espace affine de(X,~X,F)de direction~Y=~E.

D´emonstration.Montrons que(Y,~E,Fj~EY)est un espace affine :

Y6=?(x02Y).

l"applicationFj~EYest bien`a valeurs dansY. l"axiome (A1) est v´erifi´e carXest un espace affine. 3

V´erifions l"axiome (A2) : soienty02Yety2Y. Par d´efinition, il existe~u2~Eet~v2~Etels quey0=x0+~uet

y=x0+~v. CommeXest un espace affine, il existe un et un seul~w2~Xtel quey=y0+~w. Il faut montrer que!w2!E. Or on a aussiy=y0~u+~v. Donc~w=~v~u2~E. Donc pour tousy02Y,y2Y, il existe un et un seul w2~Etel quey0=y+~w: l"axiome (A2) est v´erifi´e.Proposition B.3.Soit(X,~X,F)un espace affine (i) Soit Yune partie non vide deX. S"il existey02Ytel quef!y0yjy2Ygsoit un sous-espace vectoriel de ~X, alorsYest un sous-espace affine de(X,~X,F)de direction~Y=f!y0y;y2Yg. (ii) Soit Yun sous-espace affine de(X,~X,F). Alors pour touty12Y, on a

Y=f!y1yjy2Yg, etY=y1+~Y.D´emonstration.(i)Montr onsque Y=y0+f!y0yjy2Yg. L"inclusiony0+f!y0yjy2Yg Yest´evidente

puisquey0+!y0y=y2Y. Soity2Y. Alorsy=y0+!y0y, doncYy0+f!y0yjy2Yg. D"apr

`es la propri´et´e pr´ec´edente, puisquef!y0yjy2Ygest un sous-espace vectoriel de~X,Yest un

sous-espace affine deX. Sa direction estf!y0yjy2Yg. (ii)

Soit y12Y. Montrons que!Y=f!y1yjy2Yg:

Montrons que!Y f!y1yjy2Yg: si!v2!Y, posonsy:=y1+!v. Alorsy2YpuisqueYest un sous-espace affine. Donc!v=!y1y2 f!y1yjy2Yg.

Montrons quef!y1yjy2Yg !Y: soit!y1y2 f!y1yjy2Ygavecy2Y. Alors il existe un unique!w2!Ytel quey=y1+!w(puisqueYest un sous-espace affine deX), et donc!y1y=!w2!Y.

Finalement, on peut montrer comme au d

´ebut de la proposition queY=y1+f!y1yjy2Yg=y1+!Y.Remarque B.4.Tout sous-espace affine est de la formeY=x0+~Y, o`u~Yest un sous-espace vectoriel de~Xet

o

`ux0est un point deX. Si~Y=f~0g, on obtient une partie r´eduite`a un point. Donc pour toutx2X, le singleton

fxgest un sous-espace affine deX. Remarque B.5.On peut avoir une partieZdeXpour laquellef!z1z2jz12Z,z22Zgest un sous-espace vectoriel de ~Xsans queZsoit un sous-espace affine deX. On peut consid´erer l"exempleX=~X=Ret

Z= [0,+¥[. On af!z1z2jz12Z,z22Zg=R. SiZ´etait un sous-espace affine deX, sa direction serait~X,

doncR, et on auraitZ=z1+~X=X. ExempleB.6.SoitX=f(x,y,1)jx,y2Rg R3et~X=R2.Ond´efinitF:~XX!Xpar((t,s),(x,y,1))7! (x+t,y+s,1). On v´erifie que(X,~X,F)est bien un espace affine. SoitY=f(x,x,1)jx2Rg X. On lui associe~Y=f(t,t)jt2Rg. AlorsY= (0,0,1) +~Ypar exemple, avec ~Ysous-espace vectoriel de~Xet(0,0,1)2Y, doncYest une sous-espace affine deX. Remarque B.7.SiY1etY2sont deux sous-espaces affines deXtels queY1Y2, alors~Y1~Y2. La r ´eciproque est fausse. On peut avoir~Y1~Y2etY1\Y2=?. Par exemple, c"est le cas siX=~X=R2,

Proposition B.8.Soit(Ai)i2Iune famille de sous-espaces affines d"un espace affineX. Alors\i2IAiest soit

vide, soit un sous-espace affine deXde direction\i2I~Ai.D´emonstration.Supposons que\i2IAi6=?. Soita2 \i2IAi. Alors, pour toutx2 \i2IAi, on a!ax2~Aipour

touti2I, i.e.!ax2 \i2I~Ai. D"o`u\i2IAia+\i2I~Ai.

Pour l"inclusion r

´eciproque, supposons quey2a+\i2I~Ai. Alors!ay2 \i2I~Ai, donc!ay2!Aipour tout i2I. Commea2Aipour touti, on a doncy2Aipour touti, et doncy2 \i2IAi.

Donc\i2IAi=a+\i2I~Ai.

Enfin, on sait que\i2I~Aiest un sous-espace vectoriel de~X. On conclut par la propri´et´e B.2.4

Remarque B.9.La r´eunion de deux sous-espaces affines n"est pas en g´en´eral un sous-espace affine.

D´efinition B.10.SoitYune partie non vide d"un espace affine X. On appellesous-espace affine engendr´e parY, et

l"on noteaff(Y), le plus petit sous-espace affine de X contenantY. C"est l"intersection de tous les sous-espaces affines de

X contenantY.

D´efinition B.11.Si la direction~X d"un espace affine(X,~X,F)est de dimension finie, on dit que l"espace affine

(X,~X,F)est dedimension finie, et l"on posedimX:=dim~X. D´efinition B.12.(i)Un pointest un espace affine de dimension0. (ii) Une droite affineest un espace affine de dimension1. (iii)

Un plan affineest un espace affine de dimension2.

(iv)

Soit X un espace affine de dimension finie n .Un hyperplan affineest un sous-espace affine de X de dimension

n1. D´efinition B.13.Soit X un espace affine. On dit que : (i) les points a

1,...,ande X sontalign´ess"ils appartiennent tous `a une mˆeme droite affine de X.

(ii) les points a

1,...,ande X sontcoplanairess"ils appartiennent tous `a un mˆeme plan affine de X.

(iii)

les dr oitesD1,...,Dnde X sontconcourantessi elles ont un unique point commun, i.e.D1\...\Dnest un point.

Dans le cas de deux droites (soit n=2), on dit parfoiss´ecantes.

Proposition B.14.

(1) Par deux points distinctsaetbdeXpasse une droite affine et une seule. C"est le sous-espace affine engendr

´e par les deux points. Notation :(ab).

(2)Par trois points non align´esa,betcd"un espace affine passe un plan et un seul. C"est le sous-espace

affine engendr

´e par les trois points. Notation :(abc).

(3)Par deux droites concourantes passe un plan et un seul.

Par deux droites sans point commun ayant la m

ˆeme direction passe un plan et un seul.

(4)Une droite qui a deux points dans un plan est contenue toute enti`ere dans ce plan.C Parall´elisme

D´efinition C.1.Soient A et B deux sous-espaces affines d"un espace affine X de directions~A et~B. On dit que :

(i)

A est parall`ele`a B si~A=~B. Notation : A//B.

(ii) A est faiblement parall`ele`a B si~A~B. Notation : ARemarque C.2.SiAest un sous-espace affine deX, alorsAest parall`ele`aA, etAest faiblement parall`ele`aX.

Th´eor`eme C.3.SoitXun espace affine.

(i)

Deux sous-espaces af finesparall

`eles sont disjoints ou´egaux. (ii)

Si A (iii) On a Aparbet parall`ele`aA.D´emonstration.(i)Soient AetBdeuxsous-espaceaffinesparall`eles.Alors~A=~B.SupposonsqueA\B6=?,

et soitp2A\B. AlorsB=p+~B=p+~A=A. 5 (ii)Soient AetBdeux sous-espace affines avecAfaiblement parall`ele`aB. Alors~A~B. Supposons que

A\B6=?, et soitp2A\B. AlorsA=p+~Ap+~B=B.

et il est parall `ele`aA. R´eciproquement, supposons queAsoit parall`ele`a un sous-espace affine deB. Alors il existeb2Btel queb+~Asoit un sous-espace affine deB. La direction de ce sous-espace est donc contenue dans celle deB,i.e.~A~B, et doncApassant parbet parall`ele`aA, on a bien l"existence.Remarque C.4.On a retrouv´e l"axiome des parall`eles : par un point donn´e passe une droite et une seule

parall `ele`a une droite donn´ee. Remarque C.5.Les r´eciproques de (i) et (ii) sont fausses.

Exemple C.6.X=~X=R4etFest l"addition usuelle.

On pose :

D1=f(x,0,1,0)jx2Rg, droite de direction~D1=f(x,0,0,0)jx2Rg.

D2=f(x,4,2,5)jx2Rg, droite de direction~D2=~D1.

D3=f(0,y,2,1)jy2Rg, droite de direction~D3=f(0,y,0,0)jy2Rg. Les droitesD1etD2sont parall`eles et disjointes. On aD1\D3=?etD1etD3ne sont pas parall`eles.

On pose :

P1=f(x,y,1,0)jx,y2Rgplan de direction~P1=f(x,y,0,0)jx,y2Rg.

P2=f(x,y,2,5)jx,y2Rgplan de direction~P2=~P1.

P3=f(x,1,z,3)jx,z2Rgplan de direction~P3=f(x,0,z,0)jx,z2Rg. On a ~D1~P1, doncD1est faiblement parall`ele`aP1. On a aussi~D3~P1, doncD3est faiblement parall`ele`aP1. Enfin,D3\P3=?etD3n"est pas faiblement parall`ele`aP3. D Position relative de deux sous-espaces affines (dimension finie)

Lemme D.1.

(Rappel) Soit~XunR-espace vectoriel, et soient~Aet~Bdeux sous-espaces vectoriels de~Xde dimension finie. On a alors l"

´egalit´e

dim(~A\~B) +dim(~A+~B) =dim(~A) +dim(~B).D´emonstration.C"est du cours d"alg`ebre lin´eaire.Lemme D.2.SoientAetBdeux sous-espaces affines deX, de directions respectives~Aet~B. Soienta2A,

b2B. AlorsA\B6=?si et seulement si!ab2~A+~B.D´emonstration.Supposons queA\B6=?. Soitc2A\B. On a!ac2~Aet!bc2~B. Donc!ac+!cb=!ab2~A+~B.

R ´eciproquement, supposons que!ab2~A+~B. Il existe donc~u12~Aet~u22~Btels que!ab=~u1+~u2. Or ~u12~Aeta2A, donc il existec2Atel que~u1=!ac. D"o`u~u2=!ab!ac=!cb. Orb2B, donc

c=b+!bc2b+~B=B. Doncc2A\B.Th´eor`eme D.3.SoientAetBdeux sous-espaces affines deX, de directions respectives~Aet~B.

(i) Si ~A+~B=~X, alorsA\B6=?. (ii) Si ~A~B=~X, alorsA\Best un point.6 D´emonstration.(i)est un cor ollaireimm ´ediat du lemme pr´ec´edent. (ii) On sait que A\B6=?. De plus,A\Best un espace affine de direction~A\~B=~0 (proposition B.8). Donc

A\Best un point.Remarque D.4.Le th´eor`eme donne des conditions suffisantes pour dire queA\B6=?, mais ce ne sont

pas des conditions n ´ecessaires. En effet, siAest un sous-espace affine strict deX, on a~A+~A=~A6=~Xet

A\A6=?. De mˆeme, on peut avoirA\Br´eduit`a un point sans avoir~A~B=~X. Il suffit de consid´erer par

Exemples D.5.

(a)Intersection de deux droites d"un plan. SoitXun plan affine, et soientD1etD2deux droites deX. On a donc dim(D1) =dim(D2) =1. Or on a : dim(~D1\~D2) +dim(~D1+~D2) =dim(~D1) +dim(~D2) =2. Comme dim(~D1\~D2)6dim(~D1), on n"a que deux possibilit´es : dim(~D1\~D2) =0, et donc dim(~D1+~D2) =2. Alors~X=~D1~D2. D"apr`es le th´eor`eme,D1\D2est r

´eduit`a un point.

dim(~D1\~D2) =1, i.e.~D1\~D2=~D1=~D2. Les deux droitesD1etD2sont parall`eles. Donc deux droites d"un plan affine sont soit parall `eles (´egales ou disjointes) soit concourantes. (b)Intersection de deux plans d"un espace de dimension 3.

On montre de la m

ˆeme mani`ere (exercice) que deux plans d"un espace affine : soit se coupent en une droite. soit sont parall`eles. (c)Intersection d"un plan et d"une droite en dimension 3: SoientEun espace affine de dimension 3,Pun plan deEetDune droite deE. On a dim(~D\~P)+dim(~D+ ~P) =3. On a deux cas possibles puisque(~D\~P)~D: dim(~D\~P) =0. Alors dim(~D+~P) =3, et~E=~D~P. DoncD\Pest r´eduit`a un point d"apr`es le th

´eor`eme.

dim(~D\~P) =1. Alors~D\~P=~D, donc~D~P:Dest faiblement parall`ele`aP. On a alors deux sous-cas : soitD\P=?, soitD\P6=?et alorsDP. Th´eor`eme D.6.SoientAetBdeux sous-espaces affines deXde dimensions finies et aff(A[B)le sous- espace affine qu"ils engendrent. On a alors deux possibilit

´es :

(i)

Si A\B=?, alors dim(aff(A[B)) =dim(~A+~B) +1.

(ii)

Si A\B6=?, alors dim(aff(A[B)) =dim(~A+~B).D´emonstration.On poseC=aff(A[B). Montrons d"abord que~A+~B~C: en effet,ACdonc~A~C, de

m

ˆeme~B~Cet donc~A+~B~C.

(i) On suppose que A\B=?. Soienta2A,b2B. D"apr`es le lemme, on a!ab/2~A+~B. De plus,a,b2C, donc!ab2~C, donc~A+~B6=~C. On a donc~A+~B$~C. D"autre part,a+ (R!ab+~A+~B)contientAetB, donc doit contenirC=aff(A[B)(puisque c"est le plus petit espace affine contenantA[B). Donc dim(~A+~B)et dim(aff(A[B)) =dim(~A+~B).Remarque D.7.On a montr´e que dans le cas (i), aff(A[B) =a+R!ab+~A+~Bo`ua2Aetb2Bet dans le

cas (ii), aff(A[B) =d+~A+~Bo`ud2A\B. 7

E G´eom´etrie analytique affine

D´efinition E.1.Soit X un espace affine de dimension n. Unrep`ere cart´esiende X est la donn´ee d"un pointw2X,

l"origine du rep`ere, et d"une base de ~X :(wj~e1,...,~en).

Pour un point x de X, il existe un unique n-uplet(x1,...,xn)tel que x=w+åni=1xi~ei. Ces nombres sont appel´es

coordonn ´ees cart´esiennesde x dans le rep`ere(wj~e1,...,~en).

Remarque E.2.Soitx2X. Alors les coordonn´ees dexdans le rep`ere(wj~e1,...,~en)sont les coordonn´ees du

vecteur!wxdans la basef~e1,...,~engde~X. Remarque E.3.Soientxetydes points deX, avecx=w+åni=1xi~eiety=w+åni=1yi~ei. On sait que!xyest l"unique vecteur tel quey=x+!xy. Notons!xy=åni=1ai~ei. On a donc w+nå i=1y i~ei=w+nå i=1x i~ei+nå i=1a i~ei=w+nå i=1(xi+ai)~ei.

L"unicit

´e des coordonn´ees cart´esennes deyimpose quey=xi+ai, et donc xy=nå i=1(yixi)~ei.

E.1 Equations d"hyperplans affines

Proposition E.4.Soit(wj~e1,...,~en)un rep`ere cart´esien de l"espace affineX. (i)

Etant donn

´es(n+1)scalairesa0,a1,...,an2Rtels quea1,...,ansoient non tous nuls, l"ensemble

des points deXdont les coordonn´ees cart´esiennes v´erifient la relationåni=1aixi=a0est un hyperplan

affine. (ii)

Etant donn

´e un hyperplanHdeX, il existe(n+1)scalairesa0,a1,...,an2R, avec(a1,...,an)6=02 R

n, tels queHsoit l"ensemble des points deXdont les coordonn´ees cart´esiennes(x1,...,xn)v´erifient

la relation

åni=1aixi=a0. De plus, cette´equation est unique`a une multiplication par un scalaire pr`es.D´emonstration.(i)Soit A=fx2Xjx=w+åni=1xi~eietåni=1aixi=a0g.

A6=?: comme lesa1,...,anne sont pas tous nuls, il existeak6=0, et ainsiw+a0a k~ek2A, et donc A6=?.

Soita2A. Montrons quen!ax2~Xjx2Ao

est un hyperplan vectoriel de~X: soitjl"application lin

´eaire de~XdansRd´efinie parj(~ei) =ai. Alorsjet une forme lin´eaire non nulle, donc il suffit de

montrer quen!ax2~Xjx2Ao =Kerj: Six2A, alorsx=w+åni=1xi~ei; notonsa=w+åni=1ai~ei. On a : j(!ax) =j(nå i=1(xiai)~ei) =nå i=1(xiai)ai=0 puisquea,x2A. D"o`u!ax2Ker(j), et donc Ker(j) f!ax2~Xjx2Ag. Inversement, si~u2Ker(j), soitx=a+~u. On´ecrit~u=åni=1ui~ei, d"o`u x=w+!wa+~u =w+nå i=1(ui+ai)~ei.

Montrons quex2A:

nå i=1a i(ui+ai) =nå i=1a iui+nå i=1a iai =j(~u) +a0 =a0 8 (cara2Aet~u2Ker(j)). Doncx2Aet donc~u2 f!axjx2Ag.

On en d

´eduit donc queAest un sous-espace affine de direction Ker(j). Comme Kerjest un hyper- plan vectoriel,Aest un hyperplan affine. (ii)

Soit Hun hyperplan affine deX.

~Hest un hyperplan vectoriel de~Xdonc il existe une forme lin´eaire non nulle sur~Xtelle que~H=Kerj.

Fixonsa=w+åni=1ai~ei2H. Posonsa0=åni=1aiaiet montrons que H=( x2Xjx=w+nå i=1x i~eietnå i=1a ixi=a0)

Six2H, alorsx=w+åni=1xi~ei, et on a :

x=a+!ax=a+nå i=1(xiai)~ei. Comme !ax2~H, on aåni=1(xiai)ai=0, c"est-`a-direåni=1xiai=a0. R´eciproquement, soitx2Xtel queåni=1xiai=a0. On a!ax=åni=1(xiai)~eietj(!ax) =åni=1xiai ni=1aiai=0. Donc!ax2~Hetx2H, d"o`u le r´esultat :quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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