[PDF] Nom : GEOMETRIE ANALYTIQUE 2nde

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Nom :GEOMETRIE ANAL YTIQUE2nde

Exercice 1Les pointsAetBsont tels queA(2 ;1)etB(5 ;3).

1)Calculer les coordonn´ees du pointMtel queAsoit le milieu du segment[BM].

2)Calculer les coordonn´ees du pointN, sym´etrique deApar rapport`aB.

3)D´emontrer que[AB]et[MN]ont mˆeme milieu.Illustration

D. Le Fur1/ 50

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Exercice 2Les pointsAetBsont tels queA(5 ; 2)etB(1 ;2).

1)Calculer les coordonn´ees du pointMtel queAsoit le milieu du segment[BM].

2)Calculer les coordonn´ees du pointN, sym´etrique deApar rapport`aB.

3)D´emontrer que[AB]et[MN]ont mˆeme milieu.Illustration

D. Le Fur2/ 50

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Exercice 3(O;!i ;!j)est un rep`ere orthonormal.

1)Placer les pointsE(5 ;1),F(3 ; 2)etG(2 ; 1).

2)Calculer les distancesEF,EGetFG.

3)Quelle est la nature du triangleEFG?Illustration

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Exercice 4(O;!i ;!j)est un rep`ere orthonormal.

1)Placer les pointsE(2 ;1),F(4 ; 1)etG(1 ; 6).

2)Calculer les distancesEF,EGetFG.

3)Quelle est la nature du triangleEFG?Illustration

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Exercice 5Placer les points suivants :

A(5 ; 1)B(4 ;1)C(2 ; 2)D(1 ; 4):

D ´emontrer que le quadrilat`ereABCDest un rectangle.Illustration

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Exercice 6On travaille dans un rep

`ere orthonormal(O;!i ;!j). Le triangleRSTest d´efini par les pointsR(1 ; 2),S(6 ; 0)etT(2 ; 5).

1)Faire une figure.

2)Placer le pointGcentre de gravit´e du triangleRST.

3)Calculer les coordonn´ees du pointG.Illustration

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Exercice 7Placer les points suivants :

A(5 ; 1)B(4 ; 4)C(3 ;2)D(0 ;3):

D ´emontrer que le quadrilat`ereABCDest un trap`eze.Illustration

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Exercice 81)Placer dans un rep`ere orthonormal les pointsA(2 ; 0),B(0 ; 5),C(5 ; 0)etD(0 ; 2).

2)Donner une´equation de la m´ediane()issue deOdans le triangleOAB.

3)Donner une´equation de la droite(CD).

4)A l"aide d"un syst`eme, d´eterminer les coordonn´es du pointHintersection des droites()et(CD).

5)Montrer que la m´ediane issue deOdans le triangleOABest la hauteur issue deOdans le triangleOCD.Illustration

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Exercice 9Dans un rep

`ere(O;!i ;!j), on donne :A(3 ; 2),B(1 ; 3),C(3 ;1)etD(1 ;2).

1)Faire une figure.

2)Montrer queABCDest un parall`elogramme.

3)Donner une´equation r´eduite de la droite(AC).Illustration

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Exercice 10Dans un rep

`ere(O;!i ;!j), on donne :K(3 ;2),L(2 ;1)etM(1 ; 4).

Eest le milieu de[KL]etFest le milieu de[LM].

1)Faire une figure.

2)D´eterminer par un calcul les coordonn´ees des pointsEetF.

3)D´eterminer les´equations cart´esiennes des droites(EM)et(KF).

4)D´eterminer les coordonn´ees du centre de gravit´eGdu triangleKLM.Illustration

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Exercice 111)Placer les pointsA(4 ;2),B(1 ; 3;5)etI(3 ; 2).

2)Construire les pointsCetDtels queABCDsoit un parall´elogramme de centreI.

3)Apr`es avoir observ´e que!AI=!IC, calculer les coordonn´ees deC.

4)Apr`es avoir not´e queIest le milieu de[BD], calculer les coordonn´ees deD.

5)ABCDest-il un rectangle?Illustration

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Exercice 12Dans un rep

`ere(O;!i ;!j), on donne les points :E(5 ; 1),F(1 ;3)etC(3 ; 5).

1)D´eterminer les coordonn´ees du pointAmilieu du segment[EF]ainsi que les coordonn´ees du pointBmilieu de[EC].

2)V´erifier les r´esultats pr´ec´edents en faisant un dessin que l"on compl´etera.

3)D´eterminer une´equation cart´esienne de la droite(AC).

4)D´eterminer une´equation cart´esienne de la droite(BF).

5)On appelleGle centre de gravit´e du triangleEFC.

D ´eterminer les coordonn´ees deG.Illustration

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Exercice 13ABCest un triangle quelconque :A0,B0etC0sont les milieux respectifs de[BC],[CA]et[AB]. Mest le milieu de[BC0]etLest le sym´etrique deA0par rapport`aB.

1)Faire une figure.

2)D´eterminer les coordonn´ees de tous les points de la figure dans le rep`ere(A;!AB;!AC).

3)Montrer que les pointsB0,MetLsont align´es.Illustration

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Exercice 14Dans un rep

`ere(O;!i ;!j), on donneA(4 ;3),B(1 ;1)etC(1 ; 3).

1)Faire une figure que l"on compl´etera par la suite.

2)D´eterminer les coordonn´ees du pointDtel queABCDsoit un parall´elogramme.

3)Calculer les coordonn´ees du pointIcentre du parall´elogrammeABCD. (On pourra le faire de deux fac¸ons pour

v

´erifier la question pr´ec´edente.)

4)Soit le pointE(2 ; 1). D´eterminer les coordonn´ees du pointKintersection des droites(AB)et(CE). V´erifier sur le

dessin.

5)SoitFle point tel que!AF=23

!AE. a)Calculer les coordonn´ees deF. b)Les pointsD,FetBsont-ils align´es? Justifier.Illustration

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Exercice 151)Dans un rep`ere orthonormal(O;!i ;!j), placer les pointsE(3 ;2)etF(6 ; 4).

2)Donner une´equation r´eduite de la droite(EF)que l"on tracera.

3)Calculer les coordonn´ees du milieuHdu segment[EF].

4)Montrer que le pointK(9 ; 6)est sur la droite(EF).

a)en utilisant l"´equation r´eduite de(EF); b)en utilisant les vecteurs.Illustration

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Exercice 16Dans un rep

`ere orthonormal(O;!i ;!j), on d´efinit la droite(d)par son´equation r´eduitey=43 x+ 2.

1)Donner trois points de coordonn´ees enti`eres de la droite(d).

2)Tracer la droite(d).

3)Mettre en´evidence sur le graphiquele coefficient directeuretl"ordonn´ee`a l"origine.

4)D´eterminer l"´equation r´eduite de la droite(d0)parall`ele`a la droite(d)passant par le pointS(3 ;1).Illustration

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Exercice 17Dans un rep

`ere orthonormal(O;!i ;!j), on donne les pointsA(4 ; 1),B(3 ;2)etC(5 ; 4).

1)Construire le triangleABC.

2)Tracer le pointG, centre de gravit´e du triangleABC.

3)Calculer les coordonn´ees du pointG.Illustration

D. Le Fur17/ 50

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Exercice 18Soit(O;!i ;!j)un rep`ere du plan. On fera une figure que l"on compl´etera au fur et`a mesure de l"exercice.

SoitA(3 ;1),B(1 ;2)etC(0 ;7).

1)D´eterminer les coordonn´ees du pointDtel queABCDsoit un parall´elogramme.

2)D´eterminer une´equation de la droite(AC).

3)D´eterminer les coordonn´ees du pointE, sym´etrique du pointDpar rapport`aC.

4)D´eterminer les coordonn´ees du pointFde la droite(AC)d"abscisse1.

5)Donner les coordonn´ees deI, le milieu du segment[AE].

6)Montrer que les pointsD,FetIsont align´es.

Que repr

´esente le pointFpour le triangleADE?

7)Donner l"´equation de la droite(DF).

8)La droite(DF)est-elle s´ecante`a l"axe des abscisses?

Si oui, donner alors les coordonn

´ees deGle point d"intersection.Illustration

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Exercice 19Dans le plan rapport

´e`a un rep`ere orthonorm´e(E;!i ;!j), on place le pointAde coordonn´ees(5;6), le pointBde coordonn

´ees(3 ; 2); le pointCde coordonn´ees(10 ;4), puis on trace le triangleABC. (Faire un dessin qui sera

compl

´et´e au cours du probl`eme).

1)Calculer les coordonn´ees du pointDtel que!BD=!CA.

2)Prouver que le pointM, milieu du segment[AB]appartient`a la droite(CD).

3)Trouver une´equation de la droite(BC)et en d´eduire les coordonn´ees du pointP, intersection de la droite(BC)avec

l"axe des abscisses.

4)D´emontrer que le triangleABCest un triangle rectangle.

5)Calculer les coordonn´ees du centreRdu cercle passant par les trois pointsA,B,C(ou cercle circonscrit au triangle

ABC). Le pointA0de coordonn´ees(2 ;8)est-il´el´ement de ce cercle? Pourquoi?

6)Encadrer par deux naturels cons´ecutifs la mesure en degr´es de l"angle\ABCdu triangleABCen utilisant le sinus, ou

le cosinus, ou la tangente de cet angle.Illustration

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Exercice 2054321012345432101234

i~ jO ABC

1)Placer le pointEtel que!BE=!AC.

2)Placer le pointFtel que!BF=!AC.

3)Placer le pointGtel que!BG=!AC+!BA.Illustration

D. Le Fur20/ 50

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Exercice 21On consid

`ere les pointsA(2 ; 7),B(1 ; 1)etC(0 ; 3).

Les pointsA,BetCsont-ils align´es?Illustration

D. Le Fur21/ 50

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Exercice 22On consid

`ere les pointsA(2 ;3),B(5 ; 4),C(0 ;1)etD32 ;52

1)Montrer que les droites(AB)et(CD)sont parall`eles.

2)Les droites(AC)et(BD)sont-elles parall`eles?Illustration

D. Le Fur22/ 50

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Exercice 23On consid

`ere un triangleABCet les pointsIetJtels que :!AI=13 !ABet!AJ= 3!AC.

1)Montrer,`a l"aide de la relation de Chasles que!BJ= 3!IC.

Que peut-on en d

´eduire pour les droites(BJ)et(IC)?

2)On se place dans le rep`ere(A;!AB ;!AC).

a)D´eterminer les coordonn´ees de l"ensemble des points. b)Calculer les coordonn´ees des vecteurs!BJet!IC. c)Retrouver les r´esultats de la question1).Illustration

D. Le Fur23/ 50

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Exercice 24On consid

`ere le rectangleABCDform´e des pointsA(2 ; 1),B(5 ; 1),C(5 ; 3)etD(2 ; 3).

On place les pointsMetM0tels que!DM=23

!DCet!BM0=32 !BC.

1)D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs!AB,!BC,!DMet!BM0.

2)En d´eduire les coordonn´ees de!AD,!AMet!AM0.

3)Les pointsA,MetM0sont-ils align´es?Illustration

D. Le Fur24/ 50

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Exercice 25SoitA(1 ; 0),B(2 ; 1)etD(0 ; 4).

1)D´eterminer une´equation de la droite(AD).

2)D´eterminer les coordonn´ees deImilieu de[AB].

3)Donner une´equation de la droite(d)passant parBet parall`ele`a la droite(DI).

4)D´eterminer les coordonn´ees du point d"intersectionCdes droites(d)et(AD).

5)Montrer queDest le milieu de[AC].Illustration

D. Le Fur25/ 50

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Exercice 26Le plan est muni d"un rep

`ere(O;!i ;!j)orthonormal.

Soient les pointsA(1 ; 1),B(3 ; 2)etC(0 ; 5).

1)Placer les pointsA,BetCdans le rep`ere donn´e.

2)Lire les coordonn´ees des vecteurs!AB,!ACet!BC.

3)Calculer les longueursAB,ACetBC.

D

´eterminer la nature du triangleABC.

4)Placer les pointsDetEtels que :!BD=!AB+12

!ACet!AE=12 !AB+!AC.

5)Montrer par le calcul que!BD

4,5

3et!AE

3 4,5.

6)Calculer les coordonn´ees deDetE.

7)Placer le pointF(14 ; 1)

8)Montrer que les vecteurs!BFet!EDsont colin´eaires.O

!i! jIllustration

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Exercice 27Le plan est muni d"un rep

`ere(O;!i ;!j)orthonormal.

1)D´eterminer l"´equation r´eduite de la droite()passant parG(3 ; 1)et de vecteur directeur!u

3 4.

2)Le pointH(5 ; 4)appartient-il`a la droite()? Justifier.Illustration

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Exercice 28Soient les pointsA(2 ; 3),B(3 ; 2)etC(4 ;2).

Le but de l"exercice consiste

`a placer le pointMtel que :!MA+!MB=!CA.

1)PlacerA,BetC.

2)Calculer les coordonn´ees du milieuIde[CB].

3)D´eterminer les coordonn´ees du vecteur!CA.

4)On noteM(x;y), les coordonn´ees deM.

a)Exprimer en fonction dexetyles coordonn´ees de!MApuis celles de!MB. b)En d´eduire que les coordonn´ees de!MA+!MBsont 12x 52y.
c)En d´eduire les coordonn´ees deM.

5)PlacerM. R´epond-il`a la condition pos´ee?

6)V´erifier que le pointMest le milieu de[CB].Illustration

D. Le Fur28/ 50

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Exercice 29SoitA(1 ;2),B(2 ; 3)etC(7 ; 2).

1)Calculer les coordonn´ees du milieuIde[BC].

2)SoitGle centre de gravit´e du triangleABC.

On sait que :

!AG=23 !AI. a)Calculer les coordonn´ees du pointG. b)Calculer les coordonn´ees du vecteur!GA+!GB+!GC.

NB : ce r

´esultat est vrai, pour tout triangleABC.Illustration

D. Le Fur29/ 50

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Exercice 30Dans un rep

`ere(O;!i ;!j), on donneA(4 ;3),B(6 ; 4),C(2 ;1).

1)Faire une figure que l"on compl´etera par la suite.

2)Calculer les coordonn´ees du milieuIdu segment[AC].

3)Calculer les coordonn´ees du vecteur!BC.

4)En d´eduire les coordonn´ees du pointDtel queABCDsoit un parall´elogramme.

5)Quel est le milieu du segment[BD]? Justifier.D. Le Fur30/ 50

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Exercice 31

D. Le Fur31/ 50

Nom :GEOMETRIE ANAL YTIQUE2nde

Exercice 32

D. Le Fur32/ 50

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Exercice 33

D. Le Fur33/ 50

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Exercice 34

D. Le Fur34/ 50

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Exercice 35

D. Le Fur35/ 50

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Exercice 36

D. Le Fur36/ 50

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Exercice 37

D. Le Fur37/ 50

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Exercice 38

D. Le Fur38/ 50

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Exercice 39

D. Le Fur39/ 50

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Exercice 40

D. Le Fur40/ 50

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Exercice 41

D. Le Fur41/ 50

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Exercice 42

D. Le Fur42/ 50

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Exercice 43

D. Le Fur43/ 50

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Exercice 44

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