[PDF] Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique ( ) ( ) )

View - Download Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique ( ) ( ) )

Previous PDF

Next PDF

Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 1 sur 5

I) Coordonnées d'un vecteur

1) Définition

( )On se donne un repère , , .

Pour tout vecteur du plan, il existe de

ux uniques nombres et tels que . Ces deux nombres et sont les coordonnées du vecteur, appelées respectiveO I J w x y w xOI yOJ x y= +

( )ment abscisse et ordonnées de dans le repère , , .w O I J? Existence et unicité admise. Exemple

Tous les triangles ci-dessous sont équilatéraux.

Dans le repère

(), ,F I H, quelles sont les coordonnées des vecteurs et FG DA IB GA EG???? ???? ??? ???? ???? ?

Propriété:

Dans un repère, le vecteur a pour coor

données .B A

B Ax xABy y-( )( )-( )

2) Vecteurs égaux

Propriété:

Dans un repère, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes co ordonnées.

Démonstration admise

Exemple

Dans l'exemple précédent, montrer que ABGC est un parallélogramme.

3) Somme de vecteurs

Propriété:

Dans un repère, les coordonnées de la so

mme de deux vecteurs sont égales

à la somme des coordonnées des vecteurs.

4) Produit d'un vecteur par un nombre

Propriété:

Dans un repère, les coordonnées du produ

it d'un vecteur par un nombre sont égales au produit des coordonnées du vecteur par ce nombre. Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 2 sur 5

II) Colinéarité

1 2 1 2

Définition :

On dit que deux vecteurs et sont colin

éaires s'il existe un réel non nul

tel que .w w w w

Propriété:

Dans un repère, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonn

ées sont proportionnelles.

Méthode :

et sont colinéaires est un tableau de proportionnalité 0a au va bb bα αβ αβ β( ) ( )?? - =( ) ( )( ) ( )? ?

1) Application : montrer un parallélisme

Méthode :

Pour montrer que deux droites et sont

parallèles, on montre que les vecteurs et sont colinéaires.AB CD

AB CD???? ????

Exemple :

Dans un repère

(), ,O i j? ? on a :

3 2 1 2

1 3 4 2

2 1 3

2 3 2 3 1

2 4 6 3 1 2

1 6 2 3 6 6 0

Les vecteurs et sont donc colinéaires.

Les droites et sont donc

A B A B

A B C D

AB CD x y y x AB CD

AB CD- - -

parallèles.

2) Application : montrer un alignement

Méthode :

Pour montrer que trois points , et sont

alignés, on montre que les vecteurs et sont colinéaires. A B C

AB AC???? ????

Exemple :

Dans un repère

(), ,O i j? ? on a : 0 1 3 1 1 5

1 0 1 3 0 3

1 1 1 1 2 5 1 5 1 6

1 6 2 3 6 6 0

Les vecteurs et sont donc colinéaires.

Les points , et sont donc alignés.

A B A B

A B C AB AC x y y x AB AC

A B C( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 3 sur 5

III) Equations de droites

Définition :

Etant donnés deux points et , on appelle droite l'ensemble des points tels que et s oient colinéaires.

A B AB

M AM AB????? ????

Exemple : ( )1 24Avec , le point ,2 appartient-il à ?1 43A B C AB( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

4 12 1 11On a : et 3 34 1 32 1 1

1Comme 3 1 1 0, les vecteurs et sont colin

éaires.3

Le point appartient donc à la droite .AC AB

AC AB C AB

Equation d'une droite oblique : 1 2

1 4A B( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) et sont colinéaires 1 1 sont colinéaires 1 3 1 1 0 3 3 1 01 3

3 2 Equation de la droite.x

M AB AM ABy

xAM AB x y x yy y x

Equation d'une droite horizontale : 1 2

4 4A B( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) et sont colinéaires 1 1 sont colinéaires 1 0 4 1 0 4 04 0

4 Equation de la droite.x

M AB AM ABy

xAM AB x y yy y

Equation d'une droite verticale :1 1

1 4A B( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) et sont colinéaires 1 0 sont colinéaires 1 3 1 0 0 3 3 01 3

1 Equation de la droite.x

M AB AM ABy

xAM AB x y xy x( ) Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 4 sur 5

Propriété :

Une droite a une équation de la forme :

si elle est oblique. Dans ce cas, le correspond à la pente et le l'ordonnée à l'origine. si elle est horizontale.

Dansy ax b

a b y b• = +• = ce cas, la pente est nulle et le correspond toujoursl'ordonnée à l'origine. si elle est verticale.b xα• =

Propriété:

Deux droites obliques sont parallèles si

et seulement si leurs pentes sont égales.

Démonstration :

0, et 1, sont deux points de la droite.

' 0, et ' 1, sont deux points de la droite.

Les droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs et ' ' sont colinéay ax b A b B a by x A B

AB A B

???? ??????ires.

1 1 et ' ' sont colinéaires 1 1 0AB A B a aaα αα( ) ( )? × - × = ? =( ) ( )( ) ( )???? ??????

IV) Système linéaires

Exemple 1

: Résoudre 2 3

4 2 10

x y x y- =

Méthode graphique :

2 3 2 3

4 2 10 2 5

Les solutions et sont les coordonnées d'un éventuel point d'intersction des dr oites d'équations

2 3 et 2 5.

Comme les droites ne sont pas parallèles x y y xx y y x x y y x y x pentes di- = = - ( ), il existe un unique solution. En traçant les droites dans un repère, on obtient 2 et 1 comme solution.fférentes x y= =

Méthode algébrique :

2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2

4 2 10 2 5 2 2 1 1 1

x y x y x y x y x x x y x y y y y y- = - = - = - = = =? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

Exemple 2

: Résoudre 2 3 4 2 5 x y x y- =?

Méthode graphique :

Les solutions et sont les coordonnées d'un éventuel point d'intersction des droites 5

2 3d'équations 2 3 et 2 . Comme les droites so

nt parallèles 2 3254 2 522x y y xy x y xpentes égalesx yx yy x= - ( )et distinctes ' elles ne se coupent pas. Il n' y a donc aucune solution.ordonnéesàl originedifférentes Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 5 sur 5

Méthode algébrique :

2 3 4 2 6 4 2 6 0 1

4 2 5 4 2 5 4 2 5 4 2 5

C'est impossible.x y x y x yx y x y x y x y

Exemple 3 : Résoudre 2 3

4 2 6 x y x y- =?

Méthode graphique :

Les solutions et sont les coordonnées d'un éventuel point d'intersction des droites d'équations 2 3 et 2 3.2 3 2 3

Comme les droites sont confondues ,

4 2 5 2 3x y

y x y x x y y x

équations égales

x y y x= - = - elles ont une infinité de points d'intersection, tous les points de la droite. Il n' y a donc une infinité de solutions.

Méthode algébrique :

2 3 2 32 3 2 34 2 6 2 3

Il y a une infinité de solutions, tous l

es couples ,2 3 avec . x y x yx y y xx y x y x x x- = - =? ?? ? - = ? = -? ?- = - =? ?quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] géométrie analytique seconde exercices corrigés

[PDF] géométrie dans l'espace 3ème exercice corrigé

[PDF] géométrie dans l'espace 4ème

[PDF] géométrie dans lespace exercices corrigés

[PDF] géométrie dans l'espace seconde exercices corrigés pdf

[PDF] geometrie dans l'espace terminale s

[PDF] géométrie dans l'espace terminale s exercices corrigés

[PDF] géométrie dans lespace terminale s methode

[PDF] géométrie du triangle livre

[PDF] géométrie élémentaire définition

[PDF] géométrie plane cours

[PDF] géométrie plane exercices corrigés seconde

[PDF] géométrie plane pdf

[PDF] géométrie plane première s exercices corrigés

[PDF] géométrie translation exercices