[PDF] Traité de géométrie Questions proposées sur la

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TRAITÉ

DE

GÉOMÉTRIE

PARIS. - IMPRIMERIEGAUTHlER-VILLARSETG",

66570-2255,QuaidesGrands-Augustins,55

Va

TRAITE

DE

GÉOMÉTRIE

PAR

EugèneROUCHÉetCh.deCOMBEROUSSE

NOUVELLEEDITION

PREMIEREPARTIE

GÉOMÉTRIEPLANE.

PARIS

55,QuaidesGrands-Augustins,55

1922
u.W tiû^à,

TABLEANALYTIQUEDESMATIERES.

Pa^e»

Avertissementxvi:

Notionshistoriquesxxi

DéfinitiondelaGéométriei

GÉOMÉTRIEPLANE.

LIVREPREMIER.

LALIGNEDROITE.

§I. - Desangles.

Égalitéetsommededeuxangles8

Bissectricesd'unangle9

10 Perpendiculaireàunedroite. - Égalitédesanglesdroits11

Anglesadjacentsetsupplémentaires..1

3

Sommedesanglesautourd'unpointi4

§II. - Destriangles.

Propriétésdutriangleisocèle17

extrémités.Conséquences24

§III. - Desperpendiculairesetdesobliques.

R.etDEG. - Tr.deGéom.{I"Partie)./->

VITABLEDESMATIÈRES.

PagCi

Casd'égalitddestrianglesrectangles29

§IV. - Droitesparallèles.

Postulatum. - Deuxparallèlesontleursperpendiculairescommunes....34 laires4o

§V. - Sommedesanglesd'unpolygone.

Sommedesanglesd'untriangle4*

pendiculaires43

Sommedesanglesd'unpolygone44

§VI. - Duparallélogramme.

4^ gramme47

§VII. - Figuressymétriques.

LIVREIL

LACIRCONFÉRENCEDECERCLE

§I. - Desarcsetdescordes.

Propriétésdesdiamètres58

TABLEDESMATIÈRES.VU

Pages centre6i

§II. - Tangenteaucercle. - Positionsmutuelles

dedeuxcirconférences.

Propriétédelatangenteaucercle63

Normalesetobliques65

distancedescentresetlesrayons70

§III.Mesuredesangles.

Mesuredesanglesaucentre72

Mesuredesanglesinscrits;segmentcapable74

§IV. - Constructiondesanglesetdestriangles.

Usagedelarègleetducompas79

deuxlignesincommensurablesentreelles80 §V. - Tracédesparallèlesetdesperpendiculaires,

CerclepassantpartroispointsdonnésgS

Constructiondesperpendiculaires9/j

§VI. - Problèmessurlestangentes.

Constructiondestangentesaucercle96

VfllTABLEDESMATIÈRIÎS.

râpes passantparcesommet97

Segmentcapabled'unangledonne99

Tangentescommunesàdeuxcercles100

APPENDICEDUDEUXIÈMELIVRE.

Delarésolutiondesproblèmesio3

Méthodedessubstitutionssuccessives. - Analyseetsynthèseio3

Simsonio5

surlesmileuxdescôtésm

Polygoneségauxetdemêmesens115

Déplacementd'unefiguredanssonplan,centreinstantanéderotation. -

Polygoneségauxetdesensopposés119

LIVREIII.

LESFIGURESSEMBLABLES.

§I. - Lignesproportionnelles.

portdonné;divisionharmonique121 parunesériedeparallèles128 portdonné127

§II. - Lignesproportionnellesdanslecercle.

d'unpointparrapportàuncerclei3i

TABLEDESMATIÈRES.

§m. - Similitudedespolygones.

desimilitudedestrianglesi35 deleurspérimètres142 droitesconcourantesi43 portdonnéi^S §IV. - Relationsmétriquesentrelesdifférentesparties d'untriangle.

Carrédel'hypoténuse.i48

conque. - Hauteursenfonctiondescôtési5o Sommedescarrésdedeuxcôtésd'untriangle. - Sommedescarrésdes côtésd'unquadrilatère. - Lieudespo",ntsdontlasommedescarrés desdistancesàdeuxpointsfixesestconstante. - Médianesd'un triangleenfonctiondescôtési53 Différencedescarrésdescôtésd'untriangle. - Lieudespointsdontla angleoudelahauteurcorrespondantautroisièmecôté. - Bissectrices Propriétésduquadrilatèreinscriptible. - Construirelequadrilatère connaissantlesquatrecôtés. - Diagonalesenfonctiondescôtés. -

Calculdelacordedelasommededeuxarcsi58

§V. - Problèmesrelatifsauxlignesproportionnelles. dedeuxlongueurs1G4 bicarrée,17*

XTABLEDESMATIÈRES.

Passes

cercles1-6

§VI. - Polygonesréguliers.

leursapothèmes186 §VII. - Problèmessurlespolygonesréguliers.

Inscriptionducarré188

lygoneréguliercirconscritsemblable194

§VIII. - Mesuredelacirconférence.

cordeapourlimitel'unité200 Calculdeic. - Méthodesdesisopérimètres;perfectionnementetdegréde l'approximation. - Laméthodedespérimètresconduitauxmêmescalculs.209

APPENDICEDUTROISIÈMELIVRE.

Principedessignes. - Dessegmentsrectilignesetdesangles;formules pourlechangementd'origineai6

Trigonométrierectiligne219

Transversalesdansletriangle. - ThéorèmesdeMénélaiisetdeJeande Céva. - Applications;relationstrigonométriques22a

TABLEDESMATIÈRES.

Pages sonexpressiontrigonométrique228 dequatretangentesd'uncercle281 pointhomologuecommun233

Triangleshomologiques234

HexagonesdePascaletdeBrianchon235

circonscrits245 .Hémothét'ie. - Propriétésdesfigureshomothétiques. - Centresetaxes culier,detroiscercles262 Définitiongénéraledela.similitude. - Pôledoublededeuxfigures semblables•267 Puissanced'unpointparrapportàuncercle. - Axeradicaldedeux cercles,autrespropriétésduquadrilatèrecomplet. - Pointsantiho- cerclestouchésparuntroisième266 quelespointsdoublesexistentoun'existentpas. - Conditionpourque involutivesduquadrilatère270

nouvelleexpressiondelapuissanced'unpointpar.rapportàuncercle. - Cerclesorthogonaux;cerclescoupésdiamétralement2-;

7 Inversion. - Propriétésdesfiguresinverses;conservationdesangles;

R.etDEC. - Tr.deGéom.(I"Partie).C

XIITABLEDESMATIÈRES.

rages Méthodedetransformationparrayonsvecteursréciproques. - Relation quatreautres290

Cercleisogonaux298

Problèmed'Apollonius:cerclestangentsàtroiscerclesdonnés. - Solu- tionsapplicableauxdiverscasparticuliers. - Discusçiongénérale. - culiers,solutiongénérale3o4

InverseursdePeaucellieretdeHart809

ProblèmedeCastillon310

ProblèmedeMalfatti31

1 Transformationparsemi-droitesréciproques. - Propriétésdessemi- droitesetdescycles. - Applicationsdecetteméthodeemployéeseule proques3i4

LIVREIV.

LESAIRES.

§I, - Mesuredesairesdespolygones.

Airedurectangle..,327

Aireduparallélogramme328

Airedutriangle. - Calculdecetteaireetdesrayonsdescerclescir- Airedutrapèze. - Mesuredel'aired'unpolygonequelconque333

§II. - Comparaisondesaires.

taire337 Propriétésdescarrésconstruitssurlescôtésd'untrianglerectangle. -

ThéorèmedePythagore338

§III. - Airesdupolygonerégulieretducercle.

Aired'unpolygonerégulier. - Rapportdesairesdedeuxpolygonesré- guliersd'unmômenombredecôtés. - Aired'unsecteurpolygonal régulier3 'ji

TABLEDESMATIÈRES.XIII

Pages

Aireducercle. - Rapportdesairesdedeuxcercles344

Airedusecteurcirculaire. - Rapportdesairesdessecteurssemblables.346 Airedusegmentcirculaire. - Rapportdesairesdedeuxsegmentssem- blables348

§IV. - Problèmessurlesaires.

lygonedonné352 égaleàleursommeouàleurdiiïérence. - Lunuled'IIippocrate353

APPENDICEDUQUATRIÈMELIVRE.

ÉvaluationapprochéedeTaired'unefigureàcontourcurviligne. - For- muledeSimpson. - FormuledePoncelet357 celledesacorde36i Maximumsetminimumsdesfiguresplanes. - Maximumdel'aired'un

Entretouteslesfiguresplanesisopérimètres,lecercleestunmaximum. - Maximumd'unefigurecomposéed'unedroiteetd'unelignedeforme

arbitraire. - Maximumd'unpolygonedecôtésdonnés,oud'unpolygone»dontondonnelepérimètreetlenombredescôtés. - Applicationaux

polygonesréguliers365 Du

Exercicesconcernantlesdiversparagraphes:

DupremierLivre(1à67)369

DudeuxièmeLivre(68à155)376

DutroisièmeLivre(156à372)385

DuquatrièmeLivre(373à481)4o8

XVTABLEDESMATIÈRES.

NOTES

NOTEI.

Mesuredesgrandeurs.

Paget

Calculdesnombresincommensurables42c)

Rapportdesdeuxgrandeurs482

NOTEII.

Historiqueduproblème437

NOTEIII.

malesetcoordonnéesbarycentriques443 triangleorthique,droited'Euler44^ d'untriangle44?

Pointsettransversalesréciproques45o

podairo45 1 Trianglesorthologiques. - Propriétésdesquadranglesmétapolaires4^4

Pointsjumeaux4-6

TADLEDESMATIÈRES.,XV

Page mômepoint. - Centresmétaharmoniquesdedeuxtriangles;trouver associés4^1 cerclesd'Apollonius47 1

donné;angledeBrocarddumêmetriangle;axesetanglesdeSteiner. - Propriétésetformulescorrespondantes. - PointsdeBrocard,leurs

coordonnéesbarycentriquesetleurscoordonnéesnormales. - Autres deNagel/,82 Surquelquescerclesremarquables. - Construireuntrianglequisoitho- circonférence;conséquences. - Lesprojectionsrespectivesdespieds

NOTEIV.

SurlaGéométrographie.

Notations5i5

Problèmes5i8

îclusion545

AVERTISSEMENT,

I

XVIIIAVERTISSEMENT.

lesplusimportantes: mierLivre.

AVERTISSEMENT.XIX

plan.

XXAVERTISSEMENT.

moine. mentfortappréciéedenoslecteurs.

NOTIONSHISTORIQUES.

Nousvoyonsparexpériencfl

qu'entreespritségauxettouteschoses pareilles,celuiquiadelaGéométrie l'emporte,etacquiertuneTigueur toutenouvelle.Pascal. enEgypte: cepaysàlaGrèce(*).» tométrie. )HÉRODOTE,LivreII,gCIX.

XXnNOTIONSHISTORIQUES.

enEgypte. av.J.-C).

NOTIONSHISTORIQUES.~^~XXIII

moyenâge. entrePythagoreetPlaton. n'estgéomètre.»

XXIVNOTIONSHISTORIQUES.

Grecs.

ÉlémentsdCEuclide,

NOTIONSHISTORIQUES.XXV

lemmedePappus. desdonnées.

XXVINOTIONSHISTORIQUES.

particulierpourlesrois.»

çablesdeleurssublimesconceptions.

Géométriedelamesure.

germe.

NOTIONSHISTORIQUES.XXVII

surde,pourl'établirentouterigueur. ^lalumière.

R.etDEG. - Tr.deGéom.(I"Partie.)d

XXVIIINOTIONSHISTORIQUES.

enseignentsurcesujet. vragedel'émuled'Archimède. lesindicationslaisséesparPappus. desplanètes.

NOTIONSHISTORIQUES.XXIX

venteurdelacissoïde. tenteronsdementionnerlesprincipaux. projectionstéréographique.

Iercle

estransversales.

XXXNOTIONSHISTORIQUES.

quelconquedansl'espace. cartesgéographiques. dontDescariesfaisaitgrandcas.

NOTIONSHISTORIQUES.XXXI

romain.

XXXIINOTIONSHISTORIQUES.

(oudubillard)circulaire. réveildelaScience. desMathématiques.

NOTIONSHISTORIQUES.XXXIII

XXXIVl^OTIONSHISTORIQUES.

mentappliquéeparArchimède. litédeslignesspiraleetparabolique.

Problèmedestangentesauxlignescourbes.

toutesonétendueettoutesapuissance.

NOTIONSHISTORIQUES.XXW

mentgrandhonneuràRoberval. dépasséedepuis.

XXXVINOTIOASHISTORIQUES.

Pascalpubliadèsi64o.

Perspective.

r^NOTIONSHISTORIQUES.XXXVII

DelaHire(1640-1718),àParis.

l'ondoitlathéoriedesondes. riéesdeceltethéorie.

XXXVIIINOTIONSHISTORIQUES.

»plane(*).»

»émule(').»

NOTIONSHISTORIQUES.XXXIX

desphénomènesnaturels.

XL^OTI0NSHISTORIQUES.

iFi

NOTIONSHISTORIQUES.

coefficientsdecetteéquation.

XLIINOTIONSHISTORIQUES.

regagnésurl'Analyseleterrainperdu.

TRAITÉ

GÉOMÉTRIE.

INTRODUCTION.

deslignes. surfaces,delignesoudepoints. ILa l'étendue.

R.etDEC. - Tr.deGéom.(I"Partie).i

2INTRODUCTION.

tenduoffrel'image. qu'unpointcommun. l'onditlepointA,ladroiteAB{fig.i).

Fiff.I.

tombeenBetDenA. troisième.

INTRODUCTION.

ladroitequijointcesdeuxpoints. despointsAetB. Fi<

îées.

4INTRODUCTION.

resteaucunvideentrelatableetlarègle. figureF. lessurfacesbrisées. pace. marquesimportantes.

àB,Cn'estpaségalàD».

INTRODUCTION.

GÉOMÉTRIEPLANE.

LIVREPREMIER.

LALIGNEDROITE.

§1.DESANGLES.

DEFINITIONS.

Fig.3.Fig.4.

appartenantaucôtéextrême.

8GÉOMÉTRIEPLANE.

parlalettredesonsommet. litéetVadditiondes-angles.

Fig.5.

10.Ilimportederemarquer:.

LIVREI. - LALIGNEDROITE.9

ACetA'CsurAB(5).

Fiîr.6.

côtésOAetOBdesanglesinégaux.

Fig,7.

4 Fig.

10GÉOMÉTRIEPLANE.

Fig-9.

THÉORÈME.

Fie deAO.

Corollaires.

sommet.

LIVREI. - LALIGNEDROITE.Ir

eux. l'unesurl'autre(12). diculairesurl'autre{fig*7).

THÉORÈME.

menerqu'une, droiteAA'seraperpendiculaireàXY. surXY. pointA,estobliquesurXY.

12GÉOMÉTRIEPLANE.

DCB(13).

Fig.12.

élevéeenAàladroiteXY.

Corollaire.

IG.Touslesanglesdroitssontégaux.

LIVRE - LALIGNEDROITE.

à-dire(9)serontégaux.

SCOLIE.

peutrapporterlesautresangles. l'angleGAYestaiguetl'angleCAXestobtus.

THÉORÈME.

Fig.14.

El

A'Clî

l4GÉOMÉTRIEPLANE. touslesdeux. doncACDH-BCD=ACE+ECD-4-BCD.

àl'angledroitBCE.Doncenfin

ACD+-BCD=2anglesdroits.

delàdusommet. lignedroite. doncpas,deBC.

Corollaires.

Fig.i6.

I L

LIVREI. - LALIGNEDROITE.

droit. dérésAODetBOC.

Vautre,

II. - DESTRIANGLES.

DÉFINITIONS.

i6GÉOMÉTRIEPLANE. sommetsnonconsécutifs.

Fis.i8.

s'appliquentàcecas. dessusetenpartieau-dessousdelui. [VRELALIGNEDROITE.17

Fig.19.Fig.

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