Traité de géométrie
Questions proposées sur la Géométrie du triangle (1 à 56) Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études.
Géométrie du triangle
nombres complexes : les calculs sont élégants si l'on prend soin d'inscrire le triangle dans le cercle unité.1. L'excellent livre d'Yvonne et René Sortais
La géométrie du triangle III – IV - V
Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. [AA3] étant un diamètre le
Géométrie plane
Les bissectrices du triangle coupent les médiatrices des côtés opposés sur le cercle circonscrit. D . If suffit de voir que la bissectrice de l'angle en A et la
Petits problèmes : Exercice 5 : Sur la couverture dun livre de
Sur la couverture d'un livre de géométrie sont dessinées des figures. Celles-ci sont des triangles ou des rectangles qui n'ont aucun sommet commun.
Géométrie
Nov 16 2019 dans un traité de 13 livres (Les éléments d'Euclide) écrit vers l'an ... Un triangle est une figure géométrique former de trois sommets et ...
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La géométrie du triangle. EXERCICES RESOLUS 5- intersection du cercle circonscrit et des bissectrices d'un triangle.
Thème : La géométrie du triangle
Il appartient donc à la bissectrice intérieure de l'angle ?. d. Médianes. Considérons un triangle ABC et les milieux respectifs M N et P des côtés [BC]
Droites remarquables dun triangle
au milieu du côté opposé. Alors : Théorème 12.3 Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Extrait du livre "Géométrie du collège pour les matheux"
GEOMETRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Les quatre premiers livres traitent de la géométrie plane. Mais un certain nombre de Par exemple le triangle équilatéral est celui dont les côtés.
ǰ ȂȬȬ (AB)(CD) ǰ
AB=DCǯ
ę ŗǯŘǯ (A;B)(B;C)
(A;C)ǻ Ǽǯ k !v (A;B)ǰk!v (A;C)C (AB) AC=kABǯ
!AB (A;B)ǯę ŗǯřǯ(Ai) ǻi1nǼ (ki)
ǯ Aiě Ĝki Mǰ
n∑ i=1k i!MAi=!0:O ę ǰ M
OM=1 n i=1kin i=1k i!OAiǰ ABě Ĝab M
!OM=1 a+b(a!OA+b!OB)ǯ (M;b+c)M (B;b)(C;c)ǯŗǯśǯ Ĝf
ǰ ę !f(!AB) =!f(A)f(B)ǯ
ę f(!u+!v) =f(!u) +f(!v)ǯ
Ȃ Ȃ A !u Ȃ B
(A;B) !uǯřę ŗǯŝǯȂ O k ę
!OM′=k!OMM′ Ȃ Mǯę ŗǯŞǯ E ǻ Ǽ
ęŗǯşǯĜEǻEǼ
Eǰ ę (M+!u) +!v=M+ (!u+!v)ǰ
(M;N) !u M+!u=Nǯ !u !MNǯȂ ǻǰ Ȃ EǼǯ
Řǯŗǻ ǼǯABC Bǯ AB2+
BC2=AC2ǯ
ę ŘǯŘǻ Ǽǯ!u!v ǰ !u!v
!u !v!uǯ !u(!v+!w) =!u!v+!u!wǯ !AB!AC=ABAC[BAC:AB2=!AB!ABǯ
Řǯřǻ Ȃ ǼǯAǰBǰC ǰ AC2=AB2+BC22ABBC[ABC
(x;y) Ĝz=x+iyǯ ę ŘǯŜǯ AǰBǰCǰDȂĜaǰbǰcǰdǰ [A;B;C;D] =ca cdbd baę[0;1;t;1] =tǯ
Řǯŝǯaǰbǰc Ĝ AǰBǰCǯ ȂĜzABC [a;b;c;z] ǻȂę Ǽǯ
ŘǯŞǯz7!az+b
cz+dǯǰ z7!az+bǰ
jaj a ǯ k2 M M′ (OM) OM OM ′=k2ǰ O Ȃę ǯ Ȭ z7!k2/zǯ p Ȃ P ȂȬ p/PǯŘǯşǯ O Pǰ Ȃ
Ȃ O p Ȃ Ȃ O
p/PǯȂ Ȃ Pǯ M N
(OM)ǰ OMON=Pǰ Ȃ MNǯ
ŘǯŗŖǯO Ȃ ǰ MN ǰ
ȂM′N′ǯ MǰNǰM′ǰN′ OMNOM′N′ǯ M′N′=MN
OMONǯ
OM OM ON ON ′=Pǰ OM ON =ON′ OM M ′N′ MN =OM′ ON OMON:śDAB
CXY ZŘǯŗŗǻ ǼǯAǰBǰCD ǯ
ACBD6ABCD+ADBC
AǰBǰCǰDǻǯǯ[A;B;C;D]>
1Ǽǯ
Ȃęǰ AǰBǰC XǰYǰZǯ XZ6XY+Y ZXǰYǰZ Ȃę ǰ AǰBǰCǰ
D ǯ
XZ=ACADCDXY=AB
ADBDY Z=BC
BDCDȂXZ6XY+Y ZADBDCDǰ ǯ
ę ŘǯŗŘǯ E Ȃ
(;)7!ǰ ę ǻ Ǽ Ȭ ∥∥2=ǯŜ A
B C MNP GĴ A Ȃ
M MABMAC ǯ
řǯŘǯG Ȃ MǰNǰP
[BC]ǰ[CA]ǰ[AB]ǰ GMBǰGMCǰGNCǰGNAǰGPAǰGPB ǯȂ [AB][AC]
Aǯ A B C HAH B H C HABC HAHBHCǰ H
ǯ ǰ O
ǰ O ǯ
O OAǯA
B C OO ǻ Ȭ
řǯśǯ H
[BACǰ[CBA[ACBǰ \BAH=/2 \HBA=/2ǰ Ȃ\AHB=\BAH\HBA=ǯ SCH (AB)ę\ASAB=[ACBǰ AǰBǰCǰSC
ȂBCǯ
A B C O MN PHAH B H C S AS B S C H A ?B CȂǰ ǯA
B C H P PAP B P C P?AP ?B P ?C (CA)ǰ(AB)ǯ \PPAC\PPBC ǰ PǰCǰPAPB \PPBPA=\PCBǯ ǰ\PPBPC=\PCBǻ180ǼǯPǰAǰBǰC ǰ Ȃ ǯ
ǰ PǰAǰBǰC ǯ
ǰ SAH (BC) Ȭ
ǯ P ǰ HǰBǰCǰP′A ǰ P′AP (BC)ǯ \BP′AH=\BCH=/2ǯ
\BP′CH=/2ǰ B PP′AP′Cǰ \P′APP′C= 2\P′APP′C= 2 PǰBǰPAǰPC ǯȂǯdi=djdk
kǰ di+dj= 0ǯIAIBICǻ Ǽ
ABC ǰ I ǯ
řǯşǯABC ǰA′ ȂBC ǰI
IA ȂAǯ A′
şA BC II A A M K A L ABǰCǰIǰIAǰ
(BC) M(BC)ǯCǯICIACǰĜA′
[IC]ȂȂǯ IA ′C A′ǯ Ȃ[CA′Iǰ Ȃ[ICA′ ȂCBȂCAǯ /2ǰ ǯ
ęǰ [BC]ǰM KALAA′
IIAǯ
řǯŗŖǯABC ǯ ǰ Ȃǰ
ǰ [AH]ǰ[BH]ǰ[CH]ǯ
[OH]ǰ !OH= 3!OG=!OA+!OB+!OC:OǰGH Ȃǯ
ǰ R/2ǯ ABC
MNP ǰ
ABCO Ȃ MNPH Oǯ !OH= 3!OG Ȃ [OH]ǯȂ H 1/2
R/2[OH]ǰȂȬȬȂȬ
ǯ H ǻ Ǽ
[AH]ǰ[BH]ǰ[CH]ǯM ǯ ęǰ
ŗŖ A
B C O GH MN P HAH B H C S AS B S C A?B C A B CI K A H H AO A ?MΩȂ ∆ MΩǰ Ω [OH]ǰ
Ȃǯ M
bAǰM Ȃ ǰǰ (BC) ǻĴ
Ȃ G 1/2 HAOOMΩǰ
OMΩ =\HAO=2(/2) =
D Aǯ ě\ADC\ADB
(MΩ) ∆ǰ (OM) (BC)Ĝ (HA) =D Ȃ
∆ǰ D ∆∆ MΩǯMK2A=MDMHAǰ HA KA
ǯ A′I2=A′DA′Aǰ
(BC)ǯ Ȃ A ′D/A′B=A′B/A′AA′I=A′Bǯ A′BDA′BA ǰȂ Ȃ A′ \A′BD=\A′AB=/2ǯ
ŗŗA
B CMNPHAH
B H C S AS B S C A?B C I I AI B I C KAK B K C L AL BL C O G ΩHKAǰKBǰKC ǰ LAǰLBǰLC
řǯŗŘǯABC ǯ
Ȃ M Ȃ Mǯ
O Ȃ2/32/3ǯ d(M;AB) +d(M;BC) +d(M;CA) =d(M;AB) + d(P;AB) +d(N;AB) = 3d(O;AB)ǯřǯŗřǯABCǰMǯMA+MB>
MC M ȂAB ǯA
B C M NMA+MB=MN+NC>MC Ȃ ǻ ANM
Ǽǯ Ȃ N [CM]ǰ ȂȬȬ
\ANC=\AMB= 2/3ǰ ȂȬȬ M ȂABǯǰMA+MB+MCǯ
\AMB=\BMC=\CMAǰ2/3ǯǰ
ABTCǰBCTAǰCATBǯ MA+MB+MC>MA+MTA>
ATAǯĴMM
2/3 ǯ
F Ȃ ABTC
BCTAǯ [AFB=\BFC= 2/3ǯ [CFA 2/3ǰ
F ǯ ǰ ǰ \AFTB=\TBFC=
CTC Fǯ
FA+FB+FC=ATA=BTB=CTCǯ
ŗřA
B C T AT B T C FřǯŗśǯABC ǰ M ǯ
(AM)ǰ(BM)ǰ(CM)ǰ AǰBǰCǻ Ȭ (AM)ǰ(BM)ǰ(CM)Ǽ Nǰ MǯȂ (O;H)ǻȂ
(x;y;z)7!(yz;zx;xy)ǯřǯŗŜǯMN ABCǰ
[MN]ǯ NANB Nǯ CMAMMBCNANNB Ȭ
ǯ CMACNA=CMBCNBǰ \CMAMB\CNBNA ǰ
\NAMAMB\NANBMB ǰ MAǰMBǰNAǰNB B C M N MAM B M CNAN BNCřǯŗŝǯP ǰ
(AP)ǰ(BP)(CP) P A B C PP AP B P CQ CȂPȂ(CP)ǯPPAPBC
\PAPC=\QPBCǰ (CQ) (CP)ǰ\QCPB=\PACPǯPPACPQPB ǰ (CQ) (PAPB)ǯ
ę P2(R)ǰ
ǯ [x:
y:z] [a2yz:b2zx:c2xy]ǻaǰbǰcȂ Ȃ Ȃęx+y+z= 0ǰ
a2xy+b2yz+c2zx= 0:
ę Ȃ Ȃ M (BC)ǯ Ȃ
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