[PDF] EXERCICE 1 f(x) = lnx + x. 1.





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Fonction logarithme népérien.

La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale et la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f . 4. f (x)=ln( x.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? . Posons f (x) = eln x . Alors f '(x) = (ln x)'eln x 



Liban mai 2019

1. On considère la fonction f définie sur ]0;1] par : f (x)=x(1?ln(x))2 .



formulaire.pdf

x?+? ex/xn = +? lim x?+? ln(x)/xn = 0. Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x.



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x?+? ex/xn = +? lim x?+? ln(x)/xn = 0. Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x.



Corrigé du TD no 9

Donc par composition des limites on a : lim x?0 sin(x ln x) x ln x En effet f(x)=0 pour tout x ? [0



Fiche technique sur les limites

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations. 1.1 Limite en +? et ?? f(x) xn. 1 xn. ? x. 1. ? x ln(x) ex lim x?+? f(x).



EXERCICE 1

f(x) = lnx + x. 1.1. Existence des racines de (En). 1. f est dérivable sur ]0+?[ et f/ (x) = 1 x. + 1 > 0. En 0 : f (x)=ln(x) + x ? ??. En +? : f (x) 



Fonctions convexes telles que f(x+1)-f(x)=ln(x) et f(1)=0

Rappel. Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I `a valeurs réelles. Si f est convexe



S Nouvelle Calédonie novembre 2017

5 points. On considère la fonction f définie sur ]0;+?[ par : f (x)=. (ln(x)). 2 x .. On note c la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.



Logarithmic Functions - Dartmouth

f(x) = lnx: Let us graph the natural logarithmic function using the numerical table below (with values given to the nearest hundredth: x lnx 0 25 ¡1:39 0 50 ¡0:70 1 00 0 00 2 00 0 70 4 00 1 39 The graph that we get has several important properties First since the domain of lnx is all positive real numbers the graph lies entirely to the



AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board

f(x) = lnxy Likewise let the right hand side of the equation be g(x) = lnx + lny where again y is a constant and x is a variable Then by the chain rule for derivatives d dx f(x) = d dx (lnxy) = 1 xy d dx xy = y xy = 1 x: We also have d dx g(x) = d dx (lnx+ lny) = 1 x + 0 = 1 x: Since f and g have the same derivatives on the interval (0;1



AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board

ln x fx x = for together with a formula for x >0 f ?(x) Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of f at x =e2 In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f ?(x) In part (c)



Probability Distributions - Duke University

Amodeof a probability density functionfX(x) is a value ofxsuch that the PDF is maximized; fX(x)dx = 0 x=xmode The mostlikelyvalue of a random quantity is the mode if its distribution multi-modal distribution is a distribution with multiple modes Themedianvaluexmed is is the value ofxsuch that



Consider the function fx x x ln defined for 0

x ln x 3/2/2006 page 6 of 8 Suppose that I wish to find x such that fx 1 Describe an iterative procedure based upon the Newton-Raphson method to do this: xxkk 1 G where G Illustrate one step starting at the “guess” x0 1 x ln x 3/2/2006 page 7 of 8 Newton-Raphson: Solving gx x x ln 1 0 : x gx gx' G

What is LNX FX x?

lnx fx x = for together with a formula for x>0, f?(x). Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2. In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x).

What is the formula for ln(x)?

There is no simple and exact formula. However, x / ln (x) is a good approximation, and it gets better for larger x. The logarithmic integral gives an even better approximation. The logarithmic integral is the area under the curve ln (x), from 2 to x. Note: ln (x) is the natural logarithm function.

How to differentiate ln(x) from first principles?

How to differentiate ln (x) from first principles Begin the derivative of the natural log function by using the first principle definition and substituting f (x) = ln (x) A few techniques are used throughout the process namely log laws, substitution and the limit identity for the exponential function. Music by Adrian von Ziegler

How to find the derivative of ln (6x) (f'(x))?

We can find the derivative of ln (6x) (F' (x)) by making use of the chain rule. Now we can just plug f (x) and g (x) into the chain rule. Now we can just plug f (x) and g (x) into the chain rule. But before we do that, just a quick recap on the derivative of the natural logarithm.

EXERCICE 1

Corrigé ECRICOME Eco 1996par Pierre Veuillez

EXERCICE 1

On désigne parnun entier naturel non nul, et l"on se propose d"étudier les racines de l"équation

(En) : lnx+x=n f(x) = lnx+x

1.1. Existence des racines de(En)

1.fest dérivable sur]0;+1[etf0(x) =1x

+ 1>0

En0 :f(x) = ln(x) +x! 1

En+1:f(x)!+1:

fest continue e tstrictmeent croissante surR+donc bijective deR+sur]lim0f;lim+1f[ =R: Pour toutn2Non an2Rdonc l"équationf(x) =na une unique solutionxn2R+:

Et commef(xn) =n < n+ 1 =f(xn+1)alorsxn< xn+1

Conclusion :(xn)n2Nest strictement croissante.2. On af(1) = ln(1) + 1 = 1

Conclusion :x

1= 1Pourx2;on procède par encadrement :

f(1:55)'1:982 =f(x2)< f(1:56)donc (fstrictement croissante surR+et les termes s"y trouvent).

Conclusion :155

100
x2156100valeur approchée1:56

3. Pour la courbe représentative, on détermine les branches in...nie et les tangentes :

On a f(x)x = 1 +ln(x)x !1etf(x)x= ln(x)!+1

Donc une branche parabolique de directiony=x:

tangente en1de pentef0(1) = 2 enx2'1:5la pente est def0(x2)'1:6 et asymptote verticale en0

1.2. Etude de la convergence de(xn)n2N

g(x) = ln(x)xest dérivable sur]0;+1[et g

0(x) =1x

1 =1xx

qui est du signe de1xx0 1

1x+ 0a¢ neg

0(x)+ 0g(x)% 1& doncg(x)<0et

Conclusion :8x2R+;lnx < x:Corrigé swp0000 Page 1/ 8

2. On compare les images :

f n2 = lnn2 +n2 Conclusion :8n2N;n2

6xn6n3. En...n,

n2 !+1donc par minoration

Conclusion :x

ntend vers+1quandntend vers+1?1.3. Comportement asymptotique de(xn)n2N

1. L"encadrement précédent ne donne

ln n2 n

6ln(xn)n

6ln(n)n

avec lnn2 n =ln(n)n ln(2)n !0 carln(n) =o(n)et par encadrement ,

Conclusion :ln(xn)n

tend vers0quandntend vers+1:On réutilisae alors la relation de dé...nition dexn: ln(xn) +xn=n

Doncxn=nln(xn) =n

1ln(xn)n

avec()!1et on a donc

Conclusion :x

nn!+1n:(on pouvait aussi en déduire la lmite dexn=n)

2.Piège :l"équivalent d"une somme n"est pas la somme des équivalents!

x n+1xn=n+ 1ln(xn+1)n+ ln(xn) = 1 + lnxnx n+1 et x nx n+1nn+ 1!1

Conclusion :x

n+1xntend vers1quandntend vers+1:3. On pose :

8n2N; un=nxnlnn:Corrigé swp0000 Page 2/ 8

a) Pour toutn >0(pour leln(n)) u n1 =nxnlnn1 nxnln(n)lnnavecxn=nln(xn) nn+ ln(xn)ln(n)lnn lnxnn lnn

Conclusion :8n2N; un1 =lnxnn

lnnb) Commexnnalorsxnn !1etlnxnn lnn!0donc

Conclusion :u

ntend vers1quandntend vers+1c) Il faut ici patouiller longtemps avant de trouver une bonne idée :

On a doncun=nxnlnn!1doncnxnln(n)et

Conclusion :ln(xn)ln(n)ce qui n"était pas demandé.

Puis :

1un=lnxnn

lnn et commexnn !1et queln(x)x1quandx!1alors ln xnn xnn

1 =xnnn

=ln(xn)n donc

1un ln(xn)nln(n)

1n

Conclusion :1unn!+11n

4. Il existe donc"tendant vers0telle que1un=1n

1 +"1n

donc u n= 11n 1n "1n et nxnlnn= 11n 1n "1n et nxn= ln(n)ln(n)n ln(n)n "1n et x n=nln(n) +lnnn +lnnn "1n

Corrigé swp0000 Page 3/ 8

EXERCICE 2

Dans cet exercice, on se propose d"étudier la nature et la somme de la série de terme général :

8n2N; un==2Z

0 xsin(nx)cosnxdx:

8n2N; Sn=nX

k=11k eton admettradans la suite que, pour tout réelx: n X p=1C pnsin(2px) = 2nsin(nx)cosnx

2.1. Calcul deunen fonction deSn

1. On dé...nit la fonctionfnpar :

8t2]0;1]fn(t) =1(1t)nt

f n(0) =n a) Montrer quefnest une fonction polynômiale sur[0;1]: b) On pose : I n=1 Z 0 f n(t)dt:

Prouver que :

I n=nX p=1C pn(1)p1p puis, après avoir calculé 1R

0(1t)k1dtmontrer que

I n=Sn

2. Montrer que, pour tout entier naturelpnon nul :

=2Z 0 xsin(2px)dx=(1)p+14p et, à l"aide de la formule admise, en déduire que : u n=2 n+2SnCorrigé swp0000 Page 4/ 8

2.2. Convergence et somme de la série

Soitfla fonction dé...nie sur[0;1[par :

f(x) =ln(1x):

1. Etudier les variations de la fonction'dé...nie par :

8t2[0;x]; '(t) =xt1t

et montrer que :

8t2[0;x];06'(t)6x:

2. Véri...er que :

8t2[0;x];'(t)1t=x1(1t)2+11t:

3. Montrer, par récurrence que :

8n2N;8x2[0;1[; f(x) =nX

k=1x kk +Rn(x) où l"on a posé : R n(x) =x Z

0('(t))n1tdt:

4. En déduire de2:2:1que :

8x2[0;1[;06Rn(x)6xnln(1x)

5. Exprimer la quantité(1x)nP

k=1S kxken fonction def(x); Rn(x); Snetx: Prouver que la série de terme généralSkxkest convergente. Montrer que sa somme estf(x)1x:

6. En déduire la valeur de

+1P p=1u p:

PROBLEME

3.1. Première partie

On désigne parEl"espace vectorielR3;parB= (e1;e2;e3)une base deE;et parfl"endomorphisme

deEqui, à tout vecteurude coordonnées(x;y;z)dans la baseB;associe le vecteuru0de coordonnées

(x0;y0;z0)dans la baseBtel que :8< :4x0=y

4y0= 4x+ 2y+ 4z

4z0=y

1. Ecrire la matriceMde l"endomorphismefdans la baseB:

2. Calculer les valeurs propres def

fest-il diagonalisable?

Mest-elle inversible?

3. Déterminer les sous-espaces propres def:Corrigé swp0000 Page 5/ 8

3.2. Deuxième partie

On dispose de deux urnes A et B : initialement l"urne A contientNboules noires tandis que l"urne réalisée de la façon suivante : On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l"urne A est mise dans

B, celle tirée de B est mise dans A.

On appelleYkla variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l"urne A à l"issue

de lakiemeépreuve et l"on poseZk=Yk1Yk;pourkentier naturel non nul, avec la convention Y 0=N:

Pourketjentiers naturels, on pose :

P(k;j) =P(Yk=j)

oùPdésigne la probabilité. Ainsi :

P(Yk=j) = 0sij > N

P(Y0=N) = 1

P(Y0=k) = 0sik6=N

P(Yk=1) = 0

3.2.1 Etude du cas particulierN= 2

On noteUk=0

@p(k;0) p(k;1) p(k;2)1 A ; V=16 0 @1 4 11 A etW=16 0 @1 2 11 A

1. DéterminerU1:

Calculer les probabilitsé conditionnelles :

P (Yk=j)(Yk+1=i) pouri2 f0;1;2getj2 f0;1;2gpuis montrer que, pour tout entier naturelk: U k+1=M:Uk

2. Prouver que, pour tout entier naturelknon nul :

U k= 12 k1 W+V

3. En déduire l"expression dep(k;0); p(k;1)etp(k;2)en fonction dekpourkentier naturel non

nul.

4. Montrer que l"espéranceE(Yk)de la variableYkest constante.

5. Calculer la varianceV(Yk)de la variableYken fonction deket sa limite quandktend vers

+1:

3.2.2. Retour au cas général

Dans cette deuxième partie, on revient au cas général avecN>3et on se propose d"étudier la

convergence des suites(E(Yk))k2Net(V(Yk))k2N.

1. Calcul de l"espéranceE(Yk)de la variableYk:Corrigé swp0000 Page 6/ 8

a) Quelles sont les valeurs prises par la variableZk? Calculer :

P(Zk= 1=Yk1=j)etP(Zk=1=Yk1=j)

pourj2N; j6Netk2N: b) En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturelk non nul :

E(Zk) =2N

E(Yk1)1:

c) Montrer que la suite(E(Zk))k2Nest géométrique. d) En déduire l"expression deE(Zk)etE(Yk)en fonction deket deN: e) Montrer que les suites(E(Zk))k2Net(E(Yk))k2Nsont convergentes et donner leur limite quandktend vers+1:

2. Calcul de la varianceV(Yk)de la variableYk:

a) Montrer que :

E(Z2k) =E(Y2k1)2E(YkYk1) +E(Y2k)

puis que

E(ZkYk1) =E(Y2k1)E(YkYk1):

b) En utilisant la méthode du3:2:2:1:(b)montrer que :

E(ZkYk1) =2N

E(Y2k1)E(Yk1)

puis que :

E(Z2k) =2N

2E(Y2k1)2N

E(Yk1) + 1

c) Déduire des résultats précédents que :

E(Y2k) = 2N1N

E(Yk1) +N24N+ 2N

2E(Y2k1) + 1

puis que :

V(Yk) =N24N+ 2N

2V(Yk1)2N

2

E(Yk1)N2

2 +12 (On utilisera la relationE(Yk) =N2N

E(Yk1) + 1):

d) En remarquant que :

E(Yk)N2

=N2N

E(Yk1)N2

en déduire queV(Yk+1)est égal à :

2(N1)(N3)N

2V(Yk)(N2)2(N24N+ 2)N

4V(Yk1) +2(N1)N

2 e) On pose : u k=V(Yk)N24(2N1)

Montrer que :

u k+1=2(N1)(N3)N

2uk(N2)2(N24N+ 2)N

4uk1Corrigé swp0000 Page 7/ 8

f) En déduire qu"il existe deux réelset;que l"on ne calculera pas, tels que :

V(Yk) =N24(2N1)+N2N

2k +N24N+ 2N 2 k g) Montrer en...n queV(Yk)tend versN24(2N1)lorsquektend vers+1Corrigé swp0000 Page 8/ 8quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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