[PDF] Correction des exercices sur les graphes probabilistes (état stable

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Correction des exercices sur les graphes probabilistes(état stable): feuille no1

I Liban,juin 2003

Un théâtre propose deux types d"abonnements pour une année :un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abon-

nement B donnant droit à trois spectacles.

On considère un groupe de 2 500 personnes qui s"abonnent tousles ans.nétant un entier naturel, on note :

a nla probabilité qu"une personne ait choisi un abonnement A l"annéen; b nla probabilité qu"une personne ait choisi un abonnement B l"annéen; P nla matrice?anbn?traduisant l"état probabiliste à l"annéen.

Tous les ans 85% des personnes qui ont choisi l"abonnement A et 55% des personnes qui ont choisi l"abonnement B conservent

ce type d"abonnement l"année suivante. Les autres personnes changent d"abonnement.

1. On suppose que, l"année zéro, 1500 personnes ont choisi l"abonnement A et 1000 l"abonnement B.

On a :a0=1500

2500=
3

5=0,6etb0=1-a0=25=0,4.

L(état initial est

P0=?0,6 0,4?.

2. (a) Voilà un graphe probabiliste traduisant les données de l"énoncé :

AB0,85

0,15 0,45 0,45 (b) La matrice de transition M de ce graphe est

M=?0,85 0,150,45 0,55?.

(c) On aP1=P0M=?0,6 0,4??0,85 0,150,45 0,55? ?0,69 0,31?.

À l"année un, il y a 2500?0,69=1725 adhérents avec l"abonnent A et donc 775 pour l"abonnement B.

3. SoitP=?x y?l"état stable, oùxetysont deux nombres réels positifs tels quex+y=1.

SiP=?x y?est état stable, on aP=PMdonc :?x=0,85x+0,45y, y=0,15x+0,55y. Ces deux équations étant équivalentes,xetyvérifient bien la relation x=0,85x+0,45y.

D"autre part, on ax+y=1.

xetysont donc solutions du système :?x=0,85x+0,45y x+y=1

Résolvonsce système:

?x=0,85x+0,45y x+y=1??0,15x=0,45y x+y=1?? x=0,45 0,15y x+y=1??x=3y x+y=1 ??x+3y

4y=1??y=0,25

x=3y=0,75

L"état stable estP

=?0,75 0,25? La matrice de transition n"a aucun élément nul. La limite de l"étatPnest donc l"état stableP=?0,75 0,25?. Le nombre d"abonnement de type A tend donc vers 0,75×2500=1875.

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II Amérique du sud, novembre2004

Au cours de la première semaine de l"année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux sorties

pédagogiques une sortie A et une sortie B.

20% des élèves de la classe sont favorables à la sortie A et tous les autres élèves sont favorables à la sortie B.

Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours d"année.

Ainsi 30% des élèves favorables à la sortie A et 20% des élèvesfavorables à la sortie B changent d"avis la semaine suivante.

On note :

a nla probabilité qu"un élève soit favorable à la sortie A la semainen; b nla probabilité qu"un élève soit favorable à la sortie B la semainen; P nla matrice?anbn?traduisant l"état probabiliste la semainen.

1. L"état initialP1estP1=?0,2 0,8?.

2. Représentons la situation par un graphe probabiliste :

AB0,7 0,3 0,8 0,2

3. La matrice de transition est doncM=?0,7 0,30,2 0,8?

Alors, pour toutn,Pn+1=Pn×M.

4.P3=P1×M2.

À la calculatrice, on trouveP3=?0.35 0.65?.

La probabilité qu"un élève soit favorable à la sortie A la troisième semaine est 0,35.

5. Soitxtel que?x1-x?×M=?x1-x?.

On en déduit :

?x1-x?×?0,7 0,30,2 0,8? =?x1-x?, d"où 0,7x+0,,2(1-x)=x. -0,5=250,4. La matrice cherchée correspond à l"état stable et vautP=?0,4 0,6?

La matricePnconverge vers l"état stableP; la suite des probabilités(an)de choisir la sortie A à la semainenest croissante et

tend vers 0,4, donc est toujours inférieure à la probabilitéde choisir la sortie B. La sortie A n"est jamais préférée à la sortie B.

III Antilles-Guyane,juin 2004

On s"intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant le 200 mètres dans les compétitions universitaires. Lors

d"une compétition, lescored"un(e) étudiant(e) est son meilleur temps en secondes obtenu aux 200 m. Une enquête a permis d"éta-

blir le comportement général suivant, qu"on supposera valable pour les filles et les garçons dans toute la suite :

— Lors de la première compétition, le score d"un(e) étudiant(e) est toujours supérieur ou égal à 25 secondes.

— Si,lors delan-ième compétition, l"étudiant(e) aréalisé un scorestrictement inférieur à25 secondes, laprobabilité qu"il (elle)

réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondeslors de la (n+1)-ième compétition est de2

5.

— Si, lors de lan-ième compétition, l"étudiant(e) a réalisé un score supérieur ou égal à 25 secondes, la probabilité qu"il (elle)

réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondesest1 5. On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G à deux états.

On note A tout score strictement inférieur à 25 secondes et B tout score supérieur ou égal à 25 secondes.

Onnoteanlaprobabilitéd"obtenir unscoreAlorsdelacompétitionnetbnlaprobabilitéd"obtenirunscoreBlorsdelacompétition

n.

L"état probabiliste lors de la compétitionnest donc représenté par la matrice ligne?anbn?.

1. Graphe probabiliste :

AB0,4 0,6 0,8 0,2

La matrice de transition estM=?0,4 0,60,2 0,8?

2. Jamalia, jeune étudiante, se présente à sa première compétition universitaire.

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(a) D"après l"énoncé, une étudiante qui se présente à la première compétition réalise toujours un temps supérieur à 25

secondes. La matrice rempruntant l"état initial est doncP1=?0 1?. (b) L"état probabiliste correspondant à la troisième compétition estP3.

OrP3=P1×M2=?0,24 0,76?.

est 0,24.

3. Déterminons l"état stable du graphe G.

NotonsP=?x1,x?l"état sable.

On doit donc avoirP=PM, c"est-à-dire?x1-x?=?x1-x?×?0,4 0,60,2 0,8?

On en déduitx=0,4x+0,2(1-x)?0,8x=0,2?x=0,2

0.8=14=0,25.

L"état stable estP=?1

434?

4. Julien a déjà de nombreuses compétitions universitairesdans les jambes.

On vient de trouver l"état stable du graphe G, on en déduit quela probabilité an que Julien réalise un score strictement in-

férieur à 25 secondes est : lim n→+∞an=1

4, donc si n est assez grand, la probabilité an que Julien réalise un score strictement

inférieur à 25 secondes est voisine de 1 4.

IV Polynésie,juin 2004

étude de l"évolution météorologique d"un jour à l"autre dans une localité. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.

PartieA

— S"il fait sec aujourd"hui, alors il fera encore sec demain avec la probabilité5

6, donc il fera humide demain avec la probabilité

1 6. — S"il fait humide aujourd"hui, alors il fera encore humide demain avec la probabilité2 3.

NotonsSnl"événement "il fera sec le nejour» et l"événement "il fera humide le nejour est donc

Sn».

Nous sommes dimanche et il fait sec. On s"intéresse à l"évolution météorologique des jours suivants.

1. Construisons un arbre de probabilité représentant la situation de dimanche à mercredi.

S 1 5 6? S 2 5 6? S3 5 6 S31 6 S21 6? S3 1 3 S32 3 S1 1 6? S 2 1 3? S3 5 6 S31 6 S22 3? S3 1 3 S32 3

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2. SoitJ: "il fera sec lundi, mardi et mercredi»;p(J)=?56?

3 K: "il fera sec mardi»;Kst la réunion deS1∩S1et deS2∩

S1donc

p (S2)=?5 6? 2 +16×13=25366+118=2736=34

L: "il fera humide mercredi».

p? S3? =?56? 2 2 =724=3772

PartieB

1. Soitnun entier naturel, on note :

s nla probabilité pour que le journ, il fasse sec; h nla probabilité pour que le journ, il fasse humide; P nla matrice (snhn) traduisant l"état probabiliste du temps le journ. On ahn+1-sn.

2. (a) Si le premier dimanche est le jour correspondant àn=0, la matrice associée à l"état initial du temps estP0=?1 0?

puisque d"après l"énoncé, nous sommes dimanche et il fait sec. (b) Graphe probabiliste : AB5 6 1 6 2 3 1 3

3. La matrice M de ce graphe est(((5

6161

323)))

(a) À la calculatrice, on trouve M

2=(((3

4141

212)))

(b) La situation mardi est donnée par la matriceP2. OrP2=P0×M2=?1 0?×(((3 4141

212)))

=?3 414?

On trouves2=3

4.

4. (a) Cherchons l"état stable associé à l"évolution météorologique. Il est donné par la matriceP=?x1-x?.

On doit avoirP=PMdonc?x1-x?=?x1-x?×(((3

4141

212)))

On doit avoir

?3

4x+12x=x

1

4x+12(1-x)=1-x.

Ces deux équations sont équivalentes.

3 2 3

4=12×43=23.

L"état stable est doncP=?2

313?
(b) On en déduit que lim n→+∞hn=1

3(deuxième terme de l"état stable) donc la probabilité qu"ilpleuve un certain jour est13.

V Francemétropolitaine- 2011

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle

élabore des circuits de différents niveaux : "niveau facile», "niveau moyen» et "niveau difficile».

Au premier janvier 2010, l"association a fait son bilan : •20% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A

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•70% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B •10% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser surle long terme, une enquête est effectuée.

Il s"avère que, d"une année à l"autre :

•parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40% restent à ceniveau et 60% passent au niveau B,

•parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70% restent à ceniveau et 20% reviennent au niveau A et les autres passent

passent au niveau C,

•parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85% restent à ceniveau et les autres reviennent au niveau B.

On note :

•A l"état "l"adhérent a choisi le niveau A», •B l"état "l"adhérent a choisi le niveau B», •C l"état "l"adhérent a choisi le niveau C».

Pournentier naturel positif ounul, onnotePn=?anbncn?la matriceligne donnant l"état probabiliste delarépartition dans les

différents niveaux (indiqués dans l"ordre donné dans l"énoncé), au premier janvier de l"année 2010+n. AinsiP0=(0,2 0,7 0,1).

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l"évolution de la répartition à partir du premier janvier2010 (on

néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

1. On a le graphe probabiliste suivant :

ABC0,40,6 0,10,2 0,150,850,7

2. En respectant l"ordre alphabétique des sommets, on aM=((0,4 0,6 00,2 0,7 0,1

0 0,15 0,85))

3. Il suffit de vérifier que la matriceRcorrespond à l"état stable :

?1

61213?

×((0,4 0,6 00,2 0,7 0,1

0 0,15 0,85))

=?161213? . Le président a raison.

On pourrait également calculer la matriceP=?a b c?, aveca+b+c=1 qui correspond à l"état stable et qui doit vérifier

l"équation :P=P×M.

On est ramené à résoudre un système de trois équations à troisinconnues qui donne biena=1

6,b=12etc=16.

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