E. Les graphes probabilistes
Le graphe n°3 n'est pas un graphe probabiliste car la somme des poids des arcs issus du sommet C est égale à 09 et non à 1. 2 État probabiliste et matrice de
GRAPHES (Partie 2)
On considère le graphe probabiliste ci-contre : Vérifions à l'aide de la calculatrice que l'état stable est la matrice ligne P =.
Théorie et Algorithme des Graphes: Graphes Probabilistes
Dans la deuxième section nous étudions les graphes probabilistes. 2.2. GRAPHE PROBABILISTE. Un calcul identique montre que RQ est la matrice nulle.
GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. A l'aide d'une calculatrice après avoir défini dans le menu MATRICE
Introduction à la théorie des graphes
Graphes probabilistes . en convenant qu'une boucle contribue pour 2 dans le calcul du degré d'un som- met. 7. Exercices a. Montrer qu'un graphe simple a ...
Correction des exercices sur les graphes probabilistes (état stable
(a) Voilà un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé : À la calculatrice on trouve P3 = (0.35 0.65). La probabilité qu'un élève soit ...
MATRICES ET GRAPHES
Méthode : Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels Définition : Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré possédant ...
Chapitre 8 Graphes probabilistes
8.2 Cas général : graphes probabilistes à p états . (d) En utilisant la calculatrice pour faire les calculs déterminer E13 et E22.
1 Introduction et rappels
d'exercices de Terminale ES qui portent sur les graphes probabilistes ou les cha?nes de Markov. le calcul de la puissance n-i`eme d'une matrice.
Les graphes
recherche d'un état stable d'un graphe probabiliste on trouve en effet ici quelques applications intéressantes du calcul matriciel développé dans.
Graphe probabiliste [spé] - Maths-coursfr
TESTS STATISTIQUES a) Calculer la moyenne empirique et l’¶ecart-type empirique de cette s¶erie statistique Tracer le boxplot et un histogramme b) Donner une estimation des paramµetresmet¾ c) Donner un intervalle de con?ance au niveau 95 puis 98 de la masse moyennem
Graphes pondérés graphes probabilistes - TuxFamily
Graphe probabiliste à deux états Aet B Graphe probabiliste à trois états A Bet C 2 2 Matrice de transition d’un graphe probabiliste Dé?nition 2 2 1 L’état probabiliste est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles : cette loi est représen-tée par une matrice ligne Jérôme CHALLIER Lycée Charles PONCET
Les graphes - univ-reunionfr
graphe; - conditions d’existence de chaînes et cycles eulériens; - exemples de convergence pour des graphes probabilistes à deux sommets pondérés par des probabilités On pourra dans des cas élémen-taires interpréter les termes de la puissance ne de la matrice associée à un graphe
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Comment calculer la matrice de transition d'un graphe probabiliste ?
A_n An . La matrice de transition associée un graphe probabiliste d'ordre n n est une matrice carrée n imes n n × n dont le terme p_ {i,j} pi,j situé à l'intersection de la i i -ème ligne et de la j j -ème colonne représente la probabilité de passer de l'état A_i Ai à l'état A_j Aj .
Comment calculer la courbe de probabilité ?
Cette courbe est la courbe d’une fonction appel¶ee densit¶e de probabilit¶e ou simplement densit¶e. Une densit¶efd¶ecrit la loi d’une v.a.Xen ce sens : pour tousa;b 2R; P[a • X • b] = Zb a
Quels sont les acteurs de la théorie des graphes?
La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales, l’informatique... Depuis le début du 20esiècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley, Berge et Erdös.
Comment calculer la probabilité d’avoir un individu de la CAT¶egorie ?
Supposons que les individus de la cat¶egorie A sont en nombre NAdans la population qui contient N individus. Alors pour chaque ¶epreuve de Bernoulli, la probabilit¶e d’avoir un individu de la cat¶egorie A (ce que nous appellerons un succµes) est p=NA=N.
MATRICES ET GRAPHES
Le mot " matrice » vient du latin " mater » (mère). Comme on enregistrait les enfants à la naissance dans des registres, le mot désigna ces registres. Cela explique les mots " matricule » ou " immatriculation ». Avec les mathématiciens Augustin Louis Cauchy (ci-contre) et Arthur Cayley, vers 1845, le mot prend naturellement le sens mathématique qu'on lui connaît aujourd'hui.I. Généralités sur les matrices
Définition : Une matrice de taille í µÃ—í µ est un tableau de nombres formé de í µ lignes
et í µ colonnes. Une telle matrice s'écrit sous la forme : í±›Les nombres í µ
sont appelés les coefficients de la matrice.Exemple : í µ=,
3-24 15-13 est une matrice de taille 2 x 3.
Définition : Une matrice de taille í µÃ—í µ est appelée une matrice carrée.Exemple : í µ=,
-23 í°µ73 est une matrice carrée de taille 2.
Définitions : Une matrice de taille í µÃ—1 est appelée une matrice colonne. Une matrice de taille 1Ã—í µ est appelée une matrice ligne.Exemple : -
131est une matrice ligne de dimension 1 x 3. - Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1. Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.
II. Opérations sur les matrices
1) Somme de matrices
Définition : Soit í µ et í µ deux matrices de même taille.La somme de í µ et í µ est la matrice, notée í µ+í µ, dont les coefficients sont obtenus
en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans í µ et í µ. 2Exemple :
Vidéo https://youtu.be/MMBfOom_mac
234-1
3 et í µ=,
5-3 -3103 alors í µ=í µ+í µ=,
2+53-3
4-3-1+10
3=, 7019 3
Remarque :
Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille. Propriétés : Soit í µ, í µ et í µ trois matrices carrées de même taille. a) Commutativité : í µ+í µ=í µ+í µ b) Associativité :2) Produit d'une matrice par un réel
Définition : Soit í µune matrice et í µun nombre réel.La produit de í µpar le réel í µest la matrice, notée í µí µ, dont les coefficients sont
obtenus en multipliant tous les coefficients de í µ par í µ.Exemple :
Vidéo https://youtu.be/B3NAaW1Ap_I
-25,5 2-43 alors í µ=2í µ=B
2× -22×5,5
2×22×
-4 C=, -411 4-8 3Propriétés : Soit í µet í µdeux matrices carrées de même taille et deux réels í µet í µâ€².
a) (í µ+í µâ€²)í µ=í µí µ+í µâ€²í µ b) í µ =í µí µ+í µí µc) (í µí µâ€²)í µ=í µ(í µâ€²í µ)3) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne
Définition : Soit í µ une matrice carrée de taille í µ et í µ une matrice colonne Ã í µ lignes
telles que : ) et í µ=í±› Le produit de la matrice carrée í µ par la matrice colonne í µ est la matrice colonne Ã í µ lignes, notée í µÃ—í µ et égale à :Exemple :
Vidéo https://youtu.be/nW8XRIhlq0Q
3 25-31
3 et í µ=,
3 43 alors í µÃ—í µ=,
2×3+5×4
-3×3+1×4 3=,2í°µ
-5 34) Produit de deux matrices carrées
Définition : Soit í µ et í µ deux matrices de même taille.La produit de í µ et í µ est la matrice, notée í µÃ—í µ, dont les colonnes correspondent
au produit de la matrice í µ par chaque colonne de la matrice í µ.Exemple :
Vidéo https://youtu.be/ZOtgQxB5NXI
-23 123 et í µ=,
3-3 413 alors :
-23 123×,
3-3 413=B -2×3+3×4-2× -3 +3×1
1×3+2×41×
-3 +2×1 C=, í°µ9 11-1 3 et 3-3 413×,
-23 12 3=B 3× -2 -3×13×3+
-3 ×2 4× -2 +1×14×3+1×2 C=, -93 -714 3Remarque :
La multiplication de matrices n'est pas commutative : í µÃ—í µâ‰ í µÃ—í µPropriétés : Soit í µ, í µ et í µ trois matrices carrées de même taille et un réel í µ.
a) Associativité :(í µÃ—í µ)Ã—í µ=í µÃ—(í µÃ—í µ)=í µÃ—í µÃ—í µ
b) Distributivité : í µÃ—(í µ+í µ)=í µÃ—í µ+í µÃ—í µ et (í µ+í µ)Ã—í µ=í µÃ—í µ+í µÃ—í µ
c) (í µí µ)í µ=í µ(í µí µ)=í µ(í µÃ—í µ)5) Puissance d'une matrice carrée
Définition : Soit í µ une matrice carrée et í µ un entier naturel. Le carré de í µ est la matrice, noté í µ , égale Ã í µÃ—í µ.Le cube de í µ est la matrice, noté í µ
, égale Ã í µÃ—í µÃ—í µ. Plus généralement, la puissance n-ième de í µ est la matrice, notée í µ , égale au produit de í µ facteurs í µ.Exemple :
Vidéo https://youtu.be/r81z2eLd07w
Soit í µ=J
200010 004
K une matrice diagonale.
Alors í µ
=J 200010 004
K×J
200010 004 K=J
2×200
01×10
004×4
K=J 2 00 01 0 004 K En effet, on constate après calcul que tous les coefficients qui ne se trouvent pas sur la diagonale s'annulent et que sur la diagonale, les coefficients de í µ sont égaux aux carrées des coefficients de í µ. 4 On peut généraliser cette règle à une puissance quelconque.Ainsi par exemple, í µ
=J 2 00 01 0 004 K=J 3200010
001024
KCuriosité mathématique :
Vérifier que : ,
34í°µ8 3 3344
í°µí°µ88
3 ou encore que ,
23í°µ9 3 2233
í°µí°µ99 3 ! Méthode : Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels
Vidéo TI https://youtu.be/8c4WDe1PSZk
Vidéo Casio https://youtu.be/zq5OHgdTw34
Vidéo HP https://youtu.be/9a_rRHabIF8
On veut calculer le carré de la matrice í µ=J 23-3245
-15-5 K.
Avec une TI :
Entrer dans le mode "Matrice" (MATRIX) puis "EDIT". Saisir la taille de la matrice puis ses coefficients. Quittez (QUIT) puis entrer à nouveau dans le mode "Matrice" et sélectionner la matrice A et compléter la formule pour élever A au carré.Avec une CASIO:
Entrer dans le menu "RUN.MAT" puis choisir "MAT" (Touche F1). Choisir une matrice et saisir sa taille dans la fenêtre qui s'ouvre.Saisir ensuite les coefficients de la matrice.
5 Quitter le mode d'édition (QUIT) et taper sur la touche "Mat" puis saisir le calcul.On obtient le résultat :
III. Matrice inverse
1) Matrice unité
Définition : On appelle matrice unité de taille í µ la matrice carrée formée de í µ lignes
et í µ colonnes, tel que : 100010 0 0 000 ⋯1 N Remarque : La matrice unité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Propriété : Pour toute matrice carrée í µ de taille í µ, on a : í µÃ—í µ
Exemple :
3-2 143 alors :
3-2 143×,
10 01 3=,3×1+(-2)×03×0+(-2)×1
1×1+4×01×0+4×1
3=, 3-2 143=í µ
2) Matrice inverse d'une matrice carrée
Définition : Une matrice carrée í µ de taille í µ est une matrice inversible s'il existe une
matrice í µ telle que í µÃ—í µ=í µÃ—í µ=í µLa matrice í µ, notée í µ
est appelée la matrice inverse de í µ.Exemple :
Vidéo https://youtu.be/FAvptVYvfb0
6 3-1 213 et í µ=,
0,20,2
-0,40,í°µ 3 3-1 213×,
0,20,2
-0,40,í°µ 3=B C 10 01 3 Les matrices í µ et í µ sont donc inverses l'une de l'autre.Remarque :
Toutes les matrices ne sont pas inversibles.
Vidéo https://youtu.be/pHIepnbQaCQ
Propriété : La matrice í µ=,
3 est inversible si, et seulement si, í µí µ-í µí µâ‰ 0.
Démonstration :
Soit í µ=,
3.Alors í µÃ—í µ=,
3×,
3=, í µí µ-í µí µ00í µí µ-í µí µ
3=Si í µí µ-í µí µâ‰ 0, on a
soit í µÃ—, 1 í µ3=í µ donc A est inversible. Si í µí µ-í µí µ=0, alors í µÃ—í µ=, 00 003 donc í µ n'est pas inversible. Car si í µ était
inversible d'inverse la matrice í µ, on aurait í µÃ—í µÃ—í µ=í µÃ—í µ=í µ et í µÃ—í µÃ—í µ=
00 00 3=, 00 00 3Et donc í µ=,
00 003. Ce qui est impossible.
Méthode : Calculer l'inverse d'une matrice carrée de taille 2Vidéo https://youtu.be/4QMzwWY6T7g
Calculer l'inverse de la matrice í µ=,
02 12 3.On a : í µÃ—í µ
soit , 02 123×,
3=,quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] una marcha por los derechos de los indigenas comprension escrita
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