[PDF] Outils Mathématiques et utilisation de Matlab

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Universit

ePierreetMarieCurie-ParisVI

OutilsMath´ematiquesetutilisationdeMa tlab

Cours2013-201 4

LicenceProfessionne lle(L3)

InstrumentationOptiqueetVisualisation

QuentinGlorieux

quentin.glorieux@lkb.upmc.fr

Tabledesmati`e res

Avant-Propos5

1In troduction`aMatlab1

1.1Laphi losop hiedeMatlab1

1.2L'in terfacedeMatlab1

1.2.1CommandW indow1

1.2.2Workspac e2

1.2.3Command History2

1.2.4Curre ntFolder2

1.2.5Editor3

1.2.6Help4

1.3"Hell oWorld"4

1.3.1Script 4

1.3.2Fonction 4

1.4Out ilsdebase5

1.4.1Typesd evariables5

1.4.2Pr´eci sion5

1.4.3Arithm´ etiqueetop´erationssurlesscalaires6

1.5Vect eurs8

1.5.1D´efin irunvecteur8

1.5.2Manipul erunvecteur9

1.5.3Op´erat ionsvectorielles10

1.6Matri ces11

1.6.1D´efini runematrice11

1.6.2Manipul erunematrice13

1.6.3Op´er ationsmatricielles:additionetsou straction14

1.6.4Op´erat ionsmatricielles:produit14

1.6.5Op´erat ionsmatricielles:inverseetdi vision15

1.6.6R´esoud reunsyst`emelin´eaire16

1.7Repr ´esentationgraphique18

1.7.1Graphiq ued'unefonction18

1.7.2Graphiq uedeplusieursfonctions19

1.7.3Bargraph setBox plots22

1.7.4Histogram mes23

1.7.5Nuagedepoi nts24

1.7.6Graphi quesdesfonctionsde2variables24

1.7.7Images26

1.8Notions deprogrammation27

1.8.1Boucle s27

1.8.2TestSI 27

TravauxPratiques129

2Tr aitementdusignal33

2.1S´e riesdeFourier33

2.2Appli cation`alasynth`esedesignau xsousMat lab34

2.3Trans form´eedeFourier36

2.3.1D´efin ition36

2.3.2Transf orm´eedeFourierdiscr`ete36

4Tabledesmati `eres

2.3.3Unexemp lep as`apasdeFFT36

2.4Corri g´es40

Avant-Propos

Ils'agi tdesnotesdecou rsdestin ´eesaux´etudi antsdeLi cenceProfess ionnelle LIOVISdel'UPMC .Cecour ssupposeunefamiliari t´eave clesnotionsde bases d'alg`ebre,d'analyseetdestatistiq ues.Leformatdececoursest compos´e de4 s´eancesde4hdecoursassoc i´ees` a4 s´eance sde4hdetravaux pratiques.Chaque coupledes´eances (cours- TP)portesurunth`emedi

´erentassoci´e`aun chapitre

deces notes.L'uti lisationdelogiciel decalculestdevenudepuislesann´e es70ab- solumentindispensabledan sledomainescientifique,aussibienpourle technicie n quel'ing´ enieuroulechercheur.Matlaba´e t´ed´evelopp´epar lasoci´et´eMathworks.

Ils'agit d'undeslangagesd eprogrammationsc ientifique lespluspopul aires.D esalternativeslibresexist ent

commeparexempl eScilab ,Rou Octave.Danscecours nousallon sparcourirles basesdeMatl abpouranalyserdes donn´eese"cacement,etsimulernum´eriqueme ntdessyst`e mesphysiques.Il fautbienc omprendreladi ´erenceentrecesdeuxob jectifs.D'unep artunes´er ie dedonn´ eesestproduiteparunee xp´erien ceetnotreobjectifestd'analy serces donn´eespourenfaireress ortirles´ el´eme ntslespluspe rtinents.Lorsquel'onparle dedonn´ ee,ilpeuts'agirparexemp led'u nemesured'un param`etrephy sique, du coursdelabour se,des r´epons es`aunsondageoubiende toutautresv aleurspou- vantˆetre tabul´ees. Lorsquel'onparledes imulations num´eriques, ons'int ´eresse`alamod´elisationd'un syst`emecequipasseleplus souvent parlar´es olutiond'´equat ionsdi

´erentielles.

Pourcesdeu xobjectifs ,nousallonsuti liserdesnotionsdemath´ematique squise- rontparfoisn ouvellespourlele cteur.Cecoursn'apaspr´ete ntion`aˆet reuncou rs formeletrigoureuxd upoint devuemath´ematiquesetje pr´es enteraidoncuni - quementlespointsn´eces saires`al acompr´ehensionde sconceptssansentrerdans lesd´etail s.Lorsquecelaseran´ecessai re,j'indiquerai lesr´ef´eren cesbibliograph iques permettantdetraitercesnotionsm ath´emat iquesplusenprofonde ur. Lapar ticularit´edeMatlabestdemanipulerunique mentde svariablesnum ´e- riques(pasdecalculf ormel).Pard ´efautc esvariablessontco d´eessur64bits (doublepr´ecision)et peuventcontenirjusqu'`a16chi ressignific atifs.LesnombresNousverronsquelesprobl` emes d'arrondipeuvents'av´er erim- portantlorsquenous ´etudieron s lastabi lit´edesm´ethodesder´eso- lutiond'´equations di

´erentielles.

lesplusgran dsmanipul´esp arMatlabsont10 306
,aud el` adecettelimitei lsser ont consid´er´escommeinfinietnot´esInf.R´ eciproquement,lesnombreslespluspetits sont10 !306 ,au del `adecettelimite ilsse rontconsid´er´esc ommez´eroetnot´es0. Lorsqu'unevaleurestmanquante ousiler´esultatd 'uncalculn 'existepas( 0 0 par exemple),lavariableprendrala valeurNan. Cecours estdivis´een 2parties. Danslechapitre1,je vaisin troduirel 'interface deMatlab etnous´ecrir onslepr emierprogram meafind'a cherunmessage simple . Nous´et udieronsensuitelastructuredesd onn´eesainsiquelesop´er ationsde base (+,!,",/).Unepar timport antedecech apitreseraconsacr´e`alapr´ esent ation dedonn´ eessousformedegraphiques en2Det3D,ce quinoussimpl ifieral a tachepourdenomb reuxexer cicesp arlasuite.Jeferai´egalem entquelquesrappels destati stiques´el´ementaires.Enfin,cechapi tresetermineparlapr´esentationdu produitmatricieletsonu tilisation. Lechapitre2apou rbutd'int roduirel esnotionsessentiellesautraitementde donn´ees.L'analyseetletraite mentdedonn´eesestu nsujet tr`es vastequin´eces- siteraisuncours`apartent i`ere .Jepr´esente raiicip rincipale mentdeuxsujets:le filtrageenutilisant lespri ncipesdelatransform´eedeF ourierains iquelarecherche decorr´ elationsdansunensemblededonn´ees .

6Avant-Propos

Chapitre1

Introduction`aMatlab

1.1Laphilos ophiedeMa tlab

L'objectifdecepremierchapi treest d'intr oduirelesoutilsn´eces saires`al'uti- lisationdeMatlab.En programmat iononparled'objetpourd´ecri redemani`ere g´en´eralelesconceptsquel'onm anipulent, delamˆememani`erequel 'onparlede variablesenmath´ematiques .L'obje tlepluscommundansMatlabestlamatrice. C'estdoncuntableau d'´el´eme ntsd' untypedonn´e,pare xempleuntableaud'en- tiers,der´eels,det exte,d evariablelogiques...Nousre viend ronsendetailsur lesformatsd edonn´eesplusloi n danscecour s.Ene etc'es tun pointtr`esim portantcarlapr´e- cisiond'unordinat eurn'estpas infinieetdonctoutlesn ombres utilis´esserontdesarondis. Lefor matdelamatrice estlib re,il sed´efinitparlenombre delignese tle nombredecolonnes.Un ematricecolonne(nligne sX1colonne)estappe l´ ee vecteur.Dan scechapitr enousall onsdoncapprendre`ad´efin ir,`aa"cheret`a r´ealiserdesop´erationssurc esmatrices . Lede uxi`emepointquenousallonsaborder estuner´evis iondestati stiquesde baseetleu rutili sationdansMatlab. Unvecteurd´efinitpr´ec´edemm entpeutc onte- nirdesvari ablesquid´ ecriventuneexp´erien ce(parexe mplelesnotesd'uneclasse lorsd'unc oursdeMath´em atiques),eti lestdon cint´eressantdeconnaitrelespro- pri´et´esstatistiquesdecelu i-ci. Nousaborde ronspourfinirlarepr´ese ntationgraphi quesousMatlab. Ene et, pourpr´es enterdesdonn´ees,onesttr`essouve ntamener`a r´ealiserdesgraphes.Nous verronsquelquesuned espossibilit´esdeMatlabdans cedomaine, cequinouss era tr`esutileparlas uite.

1.2L'inte rfacedeMatlab

Avantdecomme ncerle coursproprementdit,nousallon snousf amiliariserave c l'interfacedeMatlab.Selonlaversion utili s´ee,l'interface peutchangerl´ eg`ere ment maislespoin tscentrau xresterontidenti ques.

1.2.1CommandWindow

C'estleterminald anslequ elondoittaperlescommandes etsurleq uelon verral'a chagedesr´e sultats.Un elignecommencetoujourspar>>.Essayezla commandesuivante: >>1+1 ans= 2 etcomp arez`alacommande: >>1+1;

21.2.L'i nterfacedeMatlab

Deuxpointsson t`anoterici.Lepre mierestq ueMatlab d´efinitunev ariableans, lorsquel'one ectueuncalcul.C ettevar iable(quiveutdireanswer/r´eponse), s'a chesurle terminallor squel' onometlesigne;enfinde ligne.I ciansestune matricedetaille1x1(un eligne parunecolonne).Unec ommande utilelorsquel 'on aun doutes urletypedevar iablequel 'onvien tdecr´eerest whos:Lacom mandewhos()peut´ega- lementˆetreutilis ´eeseule(sans argument).Elleretournealorsl a listedesvariables . >>whos('ans')

NameSizeBytes ClassAttributes

ans1x1 8double Cettecommanderetou rnelenomdelavariable (ans),sataille(1x1),leno mbre d'octetsutilis´es(8),etl etypededonn´ees(icir´eelend oublepr´e cision) . Unesecon decommandeutileestclc.Ce ttecommandepermet deviderl'´ecran deComman dWindowpourrepar tirsurunefenˆetre propre. Deplus ,Matlabsupportel'au to-compl´etion ,c'est`adirequesivous connaissez led´eb utd'unecommande,vousp ouvezn'entrerqu elespremi`ereslettre setutilis er latouc heTabpourcherch erparmilescommandescommen¸c antainsi.

1.2.2Workspace

Danscettef enˆetre,onobtien tlalistedesvariablesconnuespar Matlab.Il estpossibl ededouble-cliquersuru nevariab lepourl'a cher.Unclic-droi tsu rles variableso redenom breuse soptionstellesque:Copiez,Colle z,Supprimezetc .

1.2.3CommandHist ory

Lorsquel'one

ectueuneanalysed edonn´eess urlesr´esultats d'unee xp´erience ilest essentieldeconse rverunetracedetouteslesop´ erationsqui ont´et´er´eal is´ees . C'estlabasedela tra¸cabi liteetdel arepr oducti bilit´edesr´esultatsscientifiqu es. Ilest possiblede cliquersurunecommanded anscett efenˆetrepourl'ex´ecu ter anou veau.Onpeut´egalement remont erdanslaliste decommandesensepla- ¸cantdanslaComm andWindow etenpr essantlesfl`eches dedirection.Matlab est´egalem entcapablederemonterdanslali stedecommandesen nepren anten comptequelescomman desquicom mencentpar certainscaract`eres.Sil 'onre- chercheunecommandequel 'onaentr´ eespr´ec´edemment, onpeuttape rled´ebut decett ecommandepuislafl` echeduhautetMatlabch ercherauniq uement parmi lescommand esayantlemˆemed´ebut. Paraill eurs,ilestparfoisimportantd 'enregi strerdansu nfichierind´epe ndant lalis tedescommandesuti lis´ees. Pourcefaireonutilise: >>diaryfilename Cettecommandevacr ´eerunfichierfilenamequienregis treratouteslescom- mandesentr´eesj usqu'`acequel'onutilisediaryoff .

1.2.4CurrentFol der

Jevien sdeled´ecrirela command ediarypermetdecr´eerun fichier .Onpeutse poserlaquest ionl´egi timed'o`uMatlabvastock ercesdonn´ees.Ilesttr`es important debien maitrisercep ointsil'onsouhaitenepasseper dredans l'ensembled es fichiersauxquelsnousallons faireappelviaMatlab.Matlab d´efinitc equis'appelle lePATH(chemin).C'estlesdossiersdan slesquelsMatlabva chercher lorsquel'on appelleuncommande.LePATHestdivis´ eendeuxsous-parties:d' unepart le

MATLABPATHetd'aut reparleUSERPATH.

Lep remier(MATLABPATH)cor respondauxdi!´erentsdossiersauxquels Matlabva fairer´ef´er encepourutiliserdesfonctionspr´ed´e finiesparM atlab.Ils'agitsil'on veutdeschem inspard´ef autdanslesquelsMatlabche rchele sfonctionsetilpeut contenirungrandnombreded ossiers .L'exempl edecodesuivantpe rmetd 'a cher leMATLABPATH:

Introduction`aMatlab3

>>path Lese cond(USERPATH)es tununiqu edossie rquiestpropre`al'u tilisateurlorsd'une

session.Ilestfortementc onseil l´eded´efi nirleUSERPATH,im m´ediatementlorsqueLeUSERPATHestunsous en-

sembleduMATLABPATHquidoit

ˆetrepersonalis´e `achaquesession.

C'estlapremi`er eligne lorsque

l'onentre lacommandepath. l'oncommen ceunesessionMatlab.Lefich ierdiaryparexem pleestsauv´edans leUSERPATH.De uxm´ethodesp euventˆetreutilis´eepourmod ifierleUSERPATH.En lignedecommande : >>newpath= 'C:\Research_Project'; userpath(newpath) oubi enens´electi onnantFile>SetPath danslesmen usd´eroulan ts.

Lafe nˆetreCurrentFoldera

chedonclec ontenuduUSERPATH.On peutna- viguerentrelesdos siersenutilisan tlamˆemen omenclaturequesousUnix.O npeut testernotammentlescom mandessuivantes:cd,ls ,cd..,mkdir('newfolder') . Respectivementcescommandespermettentdechanger dedossier ,delisterlesfi- chiersdudossier,der emonte rd'unniveaudansl'arboresc ence, etdecr´eerun dossiernewfolder.On peutte sterlecodes uivantpourcr´eerunn ouveaudos sier puisl'ajouter aupath: >>mkdir('c:/\texttt{Matlab }/myfiles') addpath('c:/\texttt{Matlab}/myfiles') Uneautre applicationtr`e simportantedelafenˆetreCu rrentFolderestd 'a cherlalistes desfich iersdedonn´eesquip euventˆet recharg´esparl'utilisat eur.En e et,tr`es souventlesdonn´ee s`aanalyserserontg´e n´er´eesp arunautrelogicielpuis import´eesdansMatlabvialacommand eimportdata(filename).L'i mportationdedonn´ees´etant unpoin tfondamentalnous le traiteronsend´etailparlasui te.

1.2.5Editor

Lapl upartdevotretravails ousMatlab vaconsister` acr´eeroumodifierdes fichiers.mquiestles u"xestan dardpourlesproc´edur esMatlab.Lor squel'on r´ealiseunetachesousMatlab ,ilesttr `essouventposs ibledele faireenutilisant uniquementlaCommandWindow.Cepen dantlors quecettetachede vientplus complexe(plusieursdiz ainesdelignedecode)ouquel'onsouhait epouvoirla transmettre`aquelqu'und'autresi mpleme nt,onutiliselafenˆetreEditor .Oncr´ee unfich ier.mquipeutˆetreau choixu nscriptouun efonction(functionenan- glais).Unscriptest une suitedecommandequel 'onauraittou taussibien pu taperdanslaComm andWindow .Unefonc tionpermetd'´ete ndrelespossibilit´es aude l`adesfonctionspr ´eprogramm´ eesparlesd´eveloppeursd eMatlab. Parexem ple,onpourrar´ealiserunefon cti onracineplus2(input)qui`aun param`etred'entr´eeinputvar´e pondre input+2:Pourcr´e eru nfi chi er.monpeut Lasyntaxedelafonction n'est paslesu jetici .Nousreviendrons end´e tailssurcelaplustardain si quesurla commandesqrt() soitutilis erlesmenuscontextuels,soi tentrerla commande:editFileName.m.

Onentr eensuitelecode suivant:

function[output ]= racineplus2(input) output=sqrt(input+2); end Lorsquel'onsauvecet tefonction souslaformed'u nfichier.m,iles timportant denomme rlefichierracineplus2.metdesau vercefi chierdansleUSERPATH.On peutensuite appelercettefonctionsim plementdanslaCommandW indowpar: >>racineplus2(7) ans= 3 Ilest ´evidentq uecettefonctionnefaitpaspart iedesfonct ionsdebasedeMatlab : pourquoichoisir+2etp as+3.Cependantsil'ons ouhaitel 'utili sersou ventil est utileded´e finiru nefonctionutilisateurquiserar apide`autilis er.Unefoisque l'onacr´e´ eun fichier.m,ilestposs ibled' acc´eder`al'´edite urendouble -cliqu antsur lenomdu fichier danslaf enˆetreCurrentFold er.

41.3." HelloWorld"

1.2.6Help

Leme nud'aidedeMatl abestunedesbases desonsu cc`es.Ene et,l'aidee st essentiellelorsquel'onprogrammeavecun langagedehaut-niveaucomm eMatlab, o`ulenombr edefonc tionsesttr`esim portante tlasyntaxeestparfoiscomp lexe. Pouracc´ede r`al'aideonpeutauchoixs´ electi onnerunefonctione tpr esserF1, taperhelpFunctioNnameouut iliserlesmenusd´eroulants .L'aidedoitˆ etrevu commecompl´em entairedececours.Icij'expliquelesoutilsmat h´emat iquesq ue nousutili serons,dansl'aidedeMatlabvoustrouverezl asyntaxede sdi

´erentes

fonctions.Maisj'insiste:il estessent ielquevousvousfamiliarisiezave cle soutils del'ai dedeMatlabpourr´eu ssirdan scecours.

1.3"Hell oWorld"

Toutcoursde programmationqui seresp ectecommenceparl'exemple" Hello World".Ils'agitd'unbr efprogr ammepourmettre enplacelesdi ´erents´el´ementsLatr aditiond'utiliser"Hello

World"commemessaged etest

a´e t´einiti´eeparBr ianKerni- ghanetDe nnisRi tchiedansle livreTheCPr ogr ammingLan- guagepubli´een1978. n´ecessaires.Nousallonsr´ealiserdeuxexemp lesdec eprogrammepourm ettreen

´evidenceladi

´erenceentreunscripte tunefonction.

1.3.1Script

Les criptestlefichier.m leplussi mple.I ls'agitsimplementd' unelis tede commandesmisesbout`about etsauvegard´eedans unfichier. Pourcomm encer onfix eleUSERPATH.On cr´ee ensuiteunfichier .mdanscedossieretonnomme ce fichierhello.m.On ´edite ensuitelefichier.m delafa¸consuivante: str='Helloworld'; str Sauvezensuiteces cript.Puisdanslafenˆe treComm andWindow,ontapelacom- mande:hello. Voilanousavons faitleprogram meleplussim plepossibl edeMatl ab,voyons commentnouspouvonsl'am ´eliorer.

1.3.2Fonction

Unefonc tionvapermettredere ntrer desargumentsenentr´eeetd'obte nir di ´erentesvariablesensortie.O nvaessayericidemodifi erlesc ripthello.m pourenfaire unefonc tionquiprend votrepr´en omenentr´eeetretour neHello Votrepr´enomensorti e.Oncommencedefa¸con similai re`apourunscript:oncr´ ee unfichi er.mquel'onnommehello2.m. function[str ]=hello2 (prenom) str=['Hello ',prenom]; end Onsauv egardelefichier.mpuisonl 'appell edepuislafenˆetreC ommandW in- dow.Cettefois lafonctionabesoin d'unparam`e treene ntr´ee,ontapedonc: hello2('Quentin').On obtien tl'a"chagevoulu. Lasyntaxed'unefonc tion est relativementsimpleetdoitˆetreconnue .Ond´efinitcequeva retourn erlafonc- tion:function[output1,output2... outputN].Pu isonnommelafon cti on, ici:=hello2().O nd´efin italorslesparam`etresd'e ntr´eehello2(input1,im- put2,...inputM) .On peutpas seralorsaucorps mˆemedelafonction ,quidoit conteniruned´efinitionde toutesles variablesdesortieoutput1,output2... outputN.Fi nalement,unefonctionseconcluttoujou rsparend.

Introduction`aMatlab5

1.4Outilsde base

Onl'ad ´ej`adit, leprincipedebasede Matlabestdecons id´er erlaplupart desobjets commedesmatrices. Ainsilesop´er ationsusuel les+,!,",/doiventse comprendrecommedesop´erationsmat ricielles.O nconsacrera lasectionsuivante `acesop ´erations. Nousallonsdansunpremiertempsregar derceq u'ilssepasse nt pourlesmatr ices1x1(c 'est`adireunseul´el´ ement) ,puispourlesmatrice s1xnou nx1(c'es t`adiredesvecteurs ligneou colonne).

1.4.1Typesdevari ables

Ilexis tecinqgrandstypesde variablessousMat lab:lesentie rs,lesr´eels,le s complexes,leschaˆınesdecaract `eresetle typelogique.D´efinissonsune variable de chaquetype: >>a= 1.3;b =3+i;c ='bonjour'; >>d1= true(1==1);d2= logical(1); >>e= int8(2); are pr´esenteunr´eel,buncomplexe,cune chained ecaract`eres,d1etd2 sont deux mani`eresded´efinirunevari ablelogiq ue(VRAIdanslecaspr´esent )eteestu n entiercod´esur8bi ts.Onpeutalorsv´e rifierlet ype decesdi ´erentesvariableenOnpeutd ´efinirlapartieimagi- naired'uncomp lexeenutilis ant auch oixiouj. utilisantlafonctionwhos: >>whos

NameSize BytesClassAttributes

a1x18doub le b1x116dou blecomplex c1x714cha r d11x1 1logical d21x11 logical e1x11int8 Iln'es tdoncpasn´ecessai re(impossi bleenf ait)ded´eclarerletypedevariable lorsquel'oncr´eeunev ariabledans Matlab.Ilpeutalorss 'av´erer utiledev´erifier quelestlety ped'unevar iable.O nutiliseles fonctionsischar,islogical,isreal.

1.4.2Pr´ecision

Avantdepours uivre, jevaismentionnerquelquesunedesl imite squ'ilest im- portantdeconnaitrel orsquel 'onfaitducalculnum´eriq ue.Ils'agitdur´eell eplus grandetlepl uspeti tquip euventˆetrem anipul´eparMatlab, ainsiquede lapr´eci- sionsurce sderniers .Lesconstant esrealmaxetrealminrenvoientrespectivement leplus grand(petit)nom bre`avir guleflottantemanipulable.Lac onstanteeps renvoielapr´ecisionn um´er iquerelative. >>min=realmin max=realmax precision=eps min=2.2251e-308 max=1.7977e+308 precision= 2.2204e-16 10 308
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