[PDF] Corrigé du TD no 9 Exercice 2. 1. Traduire par





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Corrigé du TD no 9

Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite 



formulaire.pdf

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x. 1. (u + v)? = u? + v?.



Les Développements Limités

x?0 ln(x) = ??. (4) Si f admet un DL à l'ordre n en x0 avec n ? 1



Équations différentielles

Une telle fonction f est solution d'une équation différentielle y +y = c. Indication pour l'exercice 3 ?. 1. x est solution particulière. 2. cos est 



Matheleve

Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants : Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : II. Encadrement de ln (1+x) 



TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle

9. exp (1 +. 2 x). ? ex. Exercice 2. Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie par : a) f(x)=3x + 2 ? ln x ;.



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

Exercice 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P(x)=3x4 ? 11x3 + 1 x + 1. < ln(x + 1) ? ln x <. 1 x . (b) En déduire que les fonctions f et g ...



S Métropole juin 2016

Partie A. Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Résoudre dans R l'équation : f (x)=x . 2. Justifier tous les éléments du tableau de 



Corrigé du TD no 11

Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R. De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2. Comme 1 ? ?2 est 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = lnx x f '(x) = 1 x. × x ? lnx ×1 x2. = 1? lnx x2. 2) Variations.



Lecture 2 : The Natural Logarithm - University of Notre Dame

f(x) = (x2 1)4 p x2 + 1: We use Logarithmic di erentiation If y = (p x2 41) x2+1 then lny = 4ln(x2 1) 1 2 ln(x2 + 1): Di erentiating both sides with respect to x we get 1 y dy dx = 4(2x) x2 1 2x 2(x2 + 1): Multiplying both sides by y and converting to a function of x we get dy dx = y h 8x x 221 x (x + 1) i = (x2 1)4 p x2 + 1 h 8x x2 1 x (x



AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board

lnx fx x = for together with a formula for x>0 f?(x) Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2 In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x)



1 De?nition and Properties of the Natural Log Function - UH

• For r = n positive integer f(x) = xn = zn times} {x·x···x To calculate 26 we do in our head or on a paper 2×2×2×2×2×2 but what does the computer actually do when we type 2^6 • For r = 0 f(x) = x0 = 1 • For r = ?n f(x) = 1 x n x 6= 0 ? x?1 = 1 x • For r = p q rational f(x) = y x > 0 where yq = xp f(x) = x

What is LNX FX x?

lnx fx x = for together with a formula for x>0, f?(x). Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2. In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x).

What is the derivative of f(x) = ln(2)?

As others have stated, ln (2) is a constant, and so the graph of f (x) = ln (2) would be a horizontal line (similar to f (x) = 1), and the slope of this line is zero everywhere, and so again, as others have stated, the derivative is zero. George Rosenstein explains well the answer to a question you may have meant to ask.

What is the net area between f(x) and the x-axis?

What is the net area between f (x) = x2ln(x3 ? x+2) in x ? [1,2] and the x-axis? Area ? 0.601 Explanation: The net area of a function f in the interval [a,b] is given by A = ? ab f (x)dx ...

CPP - 2013/2014 Fonctions réelles

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o9Exercice 1

1. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :

lim x→0x2= 0

Corrigé :D"après la définition, l"énoncé "limx→0x2= 0» se traduit de la façon suivante :

On souhaite montrer que cet énoncé est vrai, c"est-à-dire que, étant donné un réelε >0, il existe

de prendreδ=⎷ε, d"où le résultat.

2. Même question pour :

lim x→1? 1 +1x = 2 Corrigé :Comme précédemment, l"énoncé se traduit de la façon suivante : 1 +1x

Pour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout? >0, il existeδ >0satisfaisant

l"implication pour tout réelx?R?. Autrement dit, il faut traduire la condition|1x |x-1|. Pour cela, on procède par équivalences successives. Tout d"abord : ????1x

Pour simplifier, on peut supposer que1-ε >0, c"est-à-dire queε?]0,1[. En effet, si l"on peut

rendre|1x -1|plus petit que toute quantitéε?]0,1[, alors on peut aussi le rendre plus petit que

toute quantitéε≥1. De façon plus générale, on peut se restreindre à des valeurs suffisamment

petites deεquand on manipule la définition de limite d"une fonction en un point. Revenons à nos

moutons : si l"on suppose que1-ε >0, alors

Donc, si l"on poseδ= min(ε1+ε,ε1-ε) =ε1+ε(la plus petite des deux quantités en valeur absolue),

1

Exercice 2

1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l"affirmation

lim x→0ln(1 +x) = 0 Corrigé :Par définition de la limite, l"affirmation se traduit par

2. Déterminer un réelδ >0tel que

surx. Nous avons

Soitδ= min(e10-3-1,1-e-10-3). Alorsδsatisfait bien la propriété voulue. Pour ceux qui sont

curieux de connaître la valeur exacte deδ, on peut faire le raisonnement suivant : l"analyse des

variations de la fonctiont?→et+e-tmontre que celle-ci atteint son minimum en0, donc ce minimum est égal à2. En particuliere10-3+e-10-3≥2. On en déduit queδ= 1-e-10-3.

Exercice 3

a) Nous avons, pour toutx?R, la majoration suivante ????xcos(ex)x 2+ 1? 2+ 1?

D"autre part

xx

2+ 1=1x+1x

donc cette quantité tend vers0quandxtend vers+∞. On en déduit que : lim x→+∞xcos(ex)x

2+ 1= 0.

b) Commesinxest borné,x-sinxtend vers+∞quandxtend vers+∞. On en déduit que lim x→+∞ex-sinx= +∞ c) Pourx >1, la partie entière de1x est nulle. Par conséquent pour toutx >1,x?1x = 0.

Donc la limite cherchée vaut0.

d) Nous avons : sin(xlnx)x =sin(xlnx)xlnxlnx Six→0, alorsxlnx→0. Donc par composition des limites on a : lim x→0sin(xlnx)xlnx= limy→0sinyy = 1

On en déduit que :

lim x→0sin(xlnx)x 2

Exercice 4

Soitf:R→Rla fonction définie par

f(x) =? ?xsix <1 x

8⎷xsix >4

1. L"allure du graphe defa été vue en TD!

2. On note d"abord quefest continue sur l"intervalle]-∞,1[, car elle est égale sur cet intervalle à la

fonctionx?→x. De même, la fonctionfest continue sur les intervalles]1,4[et]4,+∞[car elle est

égale à des fonctions continues sur chacun de ces intervalles. Il reste à étudier la continuité defen

1et en4. En1nous avons :

limx→1x<1f(x) = limx→1x<1x= 1 et limx→1x>1f(x) = limx→1x>1x 2= 1

donc les limites à droite et à gauche defen1sont égales àf(1), ce qui montre quefest continue

en1. On montre de même quefest continue en4. On en conclut quefest continue surR.

Exercice 5

1. La fonctionf:x?→x?x?n"est pas continue. En effet,f(x) = 0pour toutx?[0,1[, d"où :

lim x→1x<1f(x) = 0 et d"autre partf(1) = 1, donc la limite à gauche defen1n"est pas égale àf(1), ce qui montre quefn"est pas continue en1.

2. Nous allons montrer que la fonctiong:x?→ ?x?sin(πx)est continue surR. On note d"abord queg

est continue sur chacun des intervalles de la forme]n,n+ 1[avecn?Z. Il reste à montrer queg est continue en chaque entier relatif. Soitn?Z, alors lim x→nxng(x) =n·0 = 0

etg(n) =nsin(nπ) = 0. Doncga des limites à droite et à gauche ennqui sont égales àg(n), ce

qui montre quegest continue enn.

Exercice 6

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsinx.

1. Pour toutn?N, on posexn=π2

+ 2nπ. Alors la suite(xn)tend vers+∞, etsin(xn) = 1pour toutn, donc f(xn) =xnsin(xn) =xn doncf(xn)tend vers+∞.

2. Pour toutn?N, on poseyn= 2nπ. Alors la suite(yn)tend vers+∞, etsin(yn) = 0pour toutn,

donc f(yn) =ynsin(yn) = 0 doncf(yn)tend vers0.

3. Si la fonctionfavait une limite en+∞, alors (d"après le critère séquentiel) les suitesf(xn)etf(yn)

tendraient toutes les deux vers cette limite. Orf(xn)etf(yn)n"ont pas la même limite, doncfn"a pas de limite en+∞. 3

Exercice 7

On définit deux suites(un)n≥1et(vn)n≥1en posant : u n=12nπetvn=1π 2 + 2nπ. Ces deux suites tendent vers0quandntend vers+∞. De plus cos ?1u n? = cos(2nπ) = 1etcos?1v n? = cos?π2 + 2nπ? = 0

Par un raisonnement semblable à celui de l"exercice précédent, on en déduit que la fonctionx?→cos?1x

n"admet pas de limite en0.

Exercice 8

a) D"après le cours, la fonctionf1est prolongeable par continuité en0si et seulement si elle a une

limite finie en0. Or nous avons la majoration : Commesinxtend vers0quandxtend vers0, il en résulte quef1tend vers0en0. Donc on peut prolongerf1par continuité en0en posant :f1(0) = 0. b) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) = lnex+e-x2 Alorsgest dérivable surR, etg(0) = 0. La fonctionf2s"écrit f

2(x) =g(x)x

=g(x)-g(0)x On reconnaît le taux d"accroissement degentre0etx. Par conséquent,f2admet une limite finie en0, égale àg?(0). Calculons doncg?surR g ?(x) =? lnex+e-x2 =e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x Doncg?(0) = 0. Ainsi, en posantf2(0) = 0nous obtenons une fonctionf2continue surR. c) La fonctionf3est définie et continue surR\ {-1,1}. De plus, on calcule que : f

3(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)=-1(1 +x).

On en déduit quef3a pour limite-12

quandxtend vers1. Et donc en posantf3(1) =-12 nous obtenons une fonction continue surR\ {-1}. Par contre, en-1la fonctionf3ne peut pas

être prolongée par continuité, car elle n"admet pas une limite finie en ce point. Doncf3n"est pas

prolongeable par continuité surR.

Exercice 9

Soit f(x) =cosx1 +x2

1. Nous avons

????cosx1 +x2? car|cosx|est majoré par1et1 +x2est minoré par1. 4

2. Comme la fonctionfest majorée par1, on sait queSupx?Rf(x)est inférieur ou égal à1. D"autre

part on constate quef(0) = 1, donc1est à la fois un majorant et une valeur de la fonctionf. Par conséquent,Supx?Rf(x) = 1.

Exercice 10

Soitf:R→Rune fonction périodique de périodeT >0. On suppose quefadmet une limite finie (que

nous noterons?) quandxtend vers+∞. Nous allons montrer quefest constante. Soitx0?R, alors la suitex0+nTtend vers+∞, donc la suitef(x0+nT)converge vers?. D"autre part, on montre par récurrence que : f(x0+nT) =f(x0)pour toutn?N

c"est-à-dire que la suitef(x0+nT)est constante égale àf(x0). Doncf(x0) =?. Comme ce raisonnement

est valable pour n"importe quelle valeur dex0, on en déduit quefest constante égale à?.

Exercice 11

La fonctionf(x)-xétant bornée sur[x0,+∞[, il existe un réelMtel que

En divisant parxon trouve

?x≥x0,????f(x)x

Quand on fait tendrexvers+∞,Mx

tend vers0, donc|f(x)x -1|tend lui aussi vers0, d"où : lim x→+∞f(x)x = 1.

Exercice 12

1. On considère la fonctionfdonnée par

f(x) =? ⎷1-x2si|x|<1 ax

2+bx+csi|x| ≥1

Cette fonction est continue sur l"intervalle]-1,1[car elle est égale à la fonctionx?→⎷1-x2sur

cet intervalle. De même, elle est continue sur les intervalles]- ∞,-1[et]1,+∞[car elle est égale

à la fonctionx?→ax2+bx+csur ces intervalles. On en déduit quefest continue surRsi et seulement si elle est continue en-1et en1. Calculons les limites à droite et à gauche defen-1: lim x→-1x<-1f(x) = limx→-1x<-1ax

2+bx+c=a-b+c=f(-1)

et limx→-1x>-1f(x) = limx→-1x>-1?1-x2= 0 Doncfest continue en-1si et seulement sia-b+c= 0. Par un calcul semblable, on trouve que fest continue en1si et seulement sia+b+c= 0. Au final, pour quefsoit continue il faut que a,betcsoient solution du système?a-b+c= 0 a+b+c= 0 Finalement, on se demande si ce système admet des solutions. En additionnant les deux équation on trouve quea+c= 0, en les soustrayant on trouve queb= 0. Donc ce système admet une infinité de solutions en prenantb= 0eta=-c. 5

2. Soitn?N. D"après la formule du binôme de Newton nous avons :

(1 +x)n= 1 +nx+?n 2? x

2+···+nxn-1+xn

d"où : (1 +x)n-1x =n+?n 2? x+···+nxn-2+xn-1 Cette quantité tend versnquandxtend vers0. Donc on peut prolongerfpar continuité en0en posantf(0) =n.

Exercice 13

Soit?la limite (finie) defenx0. Prenonsε= 1dans la définition de la limite. Alors il existeδ >0tel

que, pour toutx?D:

C"est-à-dire que

Doncfest bornée dans le voisinageV= [x0-δ,x0+δ]dex0, ce qu"on voulait.

Exercice 14

1. Il suffit de montrer que tout intervalle de la forme]a,b[contient une infinité de rationnels et une

infinité d"irrationnels. Commençons par remarquer que : - la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel; - la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

On distingue à présent deux cas :

(a) Le réelaest rationnel. Alors la suite?a+1n n≥1est une suite de nombres rationnels qui décroît

versa. L"intervalle]a,b[contient donc une infinité de valeurs de cette suite (plus précisément,

toutes les valeurs telles quensoit strictement supérieur à la partie entière de1b-a). De même,

la suite? a+⎷2 n n≥1est une suite de nombres irrationnels qui décroît versa, donc l"intervalle ]a,b[contient une infinité de valeurs de cette suite. (b) Le réelaest irrationnel. Il suffit alors de montrer l"existence d"un nombre rationnelcdans

l"intervalle]a,b[, puis d"appliquer le résultat précédent à l"intervalle]c,b[. Pour montrer l"exis-

tence dec, on procède comme suit : sib-a >1, alors il existe un nombre entier strictement compris entreaetb, donc c"est gagné. Dans le cas contraire, commeb-aest strictement positif, on peut toujours choisir un entierq≥2tel queq(b-a)>1. Mais alors il existe un nombre entier (que l"on notep) strictement compris entreqaetqb. Il en résulte que a < pq < b ce qu"on voulait.

2. En déduire que la fonctionδdéfinie surRpar

δ(x) =?1six?Q

0six??Q

est discontinue en tout point deR. 6quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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