Corrigé du TD no 9
Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite
formulaire.pdf
Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x. 1. (u + v)? = u? + v?.
Les Développements Limités
x?0 ln(x) = ??. (4) Si f admet un DL à l'ordre n en x0 avec n ? 1
Équations différentielles
Une telle fonction f est solution d'une équation différentielle y +y = c. Indication pour l'exercice 3 ?. 1. x est solution particulière. 2. cos est
Matheleve
Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants : Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : II. Encadrement de ln (1+x)
TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle
9. exp (1 +. 2 x). ? ex. Exercice 2. Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie par : a) f(x)=3x + 2 ? ln x ;.
Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis
Exercice 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P(x)=3x4 ? 11x3 + 1 x + 1. < ln(x + 1) ? ln x <. 1 x . (b) En déduire que les fonctions f et g ...
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Partie A. Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Résoudre dans R l'équation : f (x)=x . 2. Justifier tous les éléments du tableau de
Corrigé du TD no 11
Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R. De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2. Comme 1 ? ?2 est
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = lnx x f '(x) = 1 x. × x ? lnx ×1 x2. = 1? lnx x2. 2) Variations.
Lecture 2 : The Natural Logarithm - University of Notre Dame
f(x) = (x2 1)4 p x2 + 1: We use Logarithmic di erentiation If y = (p x2 41) x2+1 then lny = 4ln(x2 1) 1 2 ln(x2 + 1): Di erentiating both sides with respect to x we get 1 y dy dx = 4(2x) x2 1 2x 2(x2 + 1): Multiplying both sides by y and converting to a function of x we get dy dx = y h 8x x 221 x (x + 1) i = (x2 1)4 p x2 + 1 h 8x x2 1 x (x
AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board
lnx fx x = for together with a formula for x>0 f?(x) Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2 In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x)
1 De?nition and Properties of the Natural Log Function - UH
• For r = n positive integer f(x) = xn = zn times} {x·x···x To calculate 26 we do in our head or on a paper 2×2×2×2×2×2 but what does the computer actually do when we type 2^6 • For r = 0 f(x) = x0 = 1 • For r = ?n f(x) = 1 x n x 6= 0 ? x?1 = 1 x • For r = p q rational f(x) = y x > 0 where yq = xp f(x) = x
What is LNX FX x?
lnx fx x = for together with a formula for x>0, f?(x). Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2. In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x).
What is the derivative of f(x) = ln(2)?
As others have stated, ln (2) is a constant, and so the graph of f (x) = ln (2) would be a horizontal line (similar to f (x) = 1), and the slope of this line is zero everywhere, and so again, as others have stated, the derivative is zero. George Rosenstein explains well the answer to a question you may have meant to ask.
What is the net area between f(x) and the x-axis?
What is the net area between f (x) = x2ln(x3 ? x+2) in x ? [1,2] and the x-axis? Area ? 0.601 Explanation: The net area of a function f in the interval [a,b] is given by A = ? ab f (x)dx ...
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Exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsPartie A
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x-ln(x2+1)1. Résoudre dans R l'équation : f(x)=x.
2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction f
en +∞ que l'on admet.3. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à [0;1], f(x) appartenant à [0;1].
4. On considère l'algorithme suivant :
Variables : N et A sont des entiers naturels Entrée : Saisir la valeur de ATraitement : N prend la valeur 0
Tant que
N-ln(N2+1)Fin Tant queSortie : Afficher N
a. Que fait cet algorithme ? b. Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.Partie B
Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=un-ln(un2+1).1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un appartient à [0;1].2. Etudier les variations de la suite (un).
3. Montrer que la suite (un) est convergente.
4. On note L sa limite et on admet que L vérifie l'égalité f(L)=L.
En déduire la valeur de L
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CORRECTION
Partie A
f est définie sur R par f(x)=x-ln(x2+1)1. f(x)=x⇔x-ln(x2+1)=x⇔ln(x2+1)=0⇔x2+1=e0⇔x2=0⇔x=0 L'unique solution de l'équation
f(x)=x est 0.2. F est dérivable sur R
(ln(u))'=u' u f'(x)=1-2x x2+1=x2+1-2x x2+1=(x-1)2 x2+1⩾0 f'(x)=0⇔x=1 f est strictement croissante sur R limx→-∞x2+1= +∞ et limX→+∞ ln(X)= +∞ donc limx→-∞-ln(x2+1)= -∞ et limx→-∞ f(x)= -∞3. Si0⩽x⩽1 alors f(0)⩽f(x)⩽f(1) (car f est croissante sur R )
f(0)=0-ln(02+1)=0 f(1)=1-ln(12+1)=1-ln(2)⩽1 donc Si x appartient à [0;1] alors f(x) appartient à [0;1].4.a. Cet algorithme détermine le plus petit entier naturel N tel que
A⩽N-ln(N2+1) (soit A⩽f(N)).
b. A= 100 et on peut déterminer N par balayage f(100)=90,8 à 10-1 près, f(110)=100,6 à 10-1 près, f(109)=99,6 à 10-1 près.Donc N = 110.
Partie B
1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 0⩽un⩽1
. InitialisationPour n = 0
u0-1 donc 0⩽u0⩽1 et la propriété est vérifiée pour n = 0. . HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que 0⩽un⩽1 et on
doit démontrer que0⩽un+1⩽1.
Or f est croissante sur R et un+1=f(un)
Si 0⩽un⩽1 alors f(0)=0 et f(1)⩽1 et f(un)=un+1 donc 0⩽un+1⩽1 . ConclusionLe principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a 0⩽un⩽1 (c'est à dire
un appartient à [0;1].2. Pour tout entier naturel n, un+1-un=-ln(un2+1).
Or un2⩾0 et
un2+1⩾1 et ln(un2+1)⩾ln(1)=0
donc -ln(un2+1)⩽0
Conséquence
La suite (un) est décroissante.
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3. La suite (un) est décroissante et minorée par 0 donc (un) est une suite convergente.
4. Si L est a limite de (un) alors on admet que f(L)=L donc L est une solution de l'équation f(x)=x.
Nous avons vu dans la partie A que l'équation f(x)=x admet une solution unique : 0.Conclusion
L=0 et limn→+∞un = 0.
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