[PDF] TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle





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Corrigé du TD no 9

Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite 



formulaire.pdf

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x. 1. (u + v)? = u? + v?.



Les Développements Limités

x?0 ln(x) = ??. (4) Si f admet un DL à l'ordre n en x0 avec n ? 1



Équations différentielles

Une telle fonction f est solution d'une équation différentielle y +y = c. Indication pour l'exercice 3 ?. 1. x est solution particulière. 2. cos est 



Matheleve

Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants : Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : II. Encadrement de ln (1+x) 



TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle

9. exp (1 +. 2 x). ? ex. Exercice 2. Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie par : a) f(x)=3x + 2 ? ln x ;.



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

Exercice 2 Soit P la fonction polynômiale définie par P(x)=3x4 ? 11x3 + 1 x + 1. < ln(x + 1) ? ln x <. 1 x . (b) En déduire que les fonctions f et g ...



S Métropole juin 2016

Partie A. Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Résoudre dans R l'équation : f (x)=x . 2. Justifier tous les éléments du tableau de 



Corrigé du TD no 11

Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R. De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2. Comme 1 ? ?2 est 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = lnx x f '(x) = 1 x. × x ? lnx ×1 x2. = 1? lnx x2. 2) Variations.



Lecture 2 : The Natural Logarithm - University of Notre Dame

f(x) = (x2 1)4 p x2 + 1: We use Logarithmic di erentiation If y = (p x2 41) x2+1 then lny = 4ln(x2 1) 1 2 ln(x2 + 1): Di erentiating both sides with respect to x we get 1 y dy dx = 4(2x) x2 1 2x 2(x2 + 1): Multiplying both sides by y and converting to a function of x we get dy dx = y h 8x x 221 x (x + 1) i = (x2 1)4 p x2 + 1 h 8x x2 1 x (x



AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board

lnx fx x = for together with a formula for x>0 f?(x) Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2 In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x)



1 De?nition and Properties of the Natural Log Function - UH

• For r = n positive integer f(x) = xn = zn times} {x·x···x To calculate 26 we do in our head or on a paper 2×2×2×2×2×2 but what does the computer actually do when we type 2^6 • For r = 0 f(x) = x0 = 1 • For r = ?n f(x) = 1 x n x 6= 0 ? x?1 = 1 x • For r = p q rational f(x) = y x > 0 where yq = xp f(x) = x

What is LNX FX x?

lnx fx x = for together with a formula for x>0, f?(x). Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2. In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x).

What is the derivative of f(x) = ln(2)?

As others have stated, ln (2) is a constant, and so the graph of f (x) = ln (2) would be a horizontal line (similar to f (x) = 1), and the slope of this line is zero everywhere, and so again, as others have stated, the derivative is zero. George Rosenstein explains well the answer to a question you may have meant to ask.

What is the net area between f(x) and the x-axis?

What is the net area between f (x) = x2ln(x3 ? x+2) in x ? [1,2] and the x-axis? Area ? 0.601 Explanation: The net area of a function f in the interval [a,b] is given by A = ? ab f (x)dx ...

TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle UNIVERSITÉ DE BORDEAUX1èreannée Licence Eco-Gestion

Semestre 12015/2016

TD 3 : Fonctions logarithme et exponentielle

Exercice 1

Résoudre dansRles équations et inéquations suivantes :

1.ln(1-2x) = ln(x+ 2) + ln3

2.ln?1-x2?= ln(2x-1)

3.ln⎷

2x-2 = ln(4-x)-12lnx

4.2e2x-5ex=-2

5.ex-2e-x-1 = 06.ln(2-x)?ln(2x+ 1)-ln(3)

7.ln(3x+ 2)?ln?

x 2+1 4?

8.ex>-3

9.exp?

1 +2 x? ?ex

Exercice 2

Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonctionfdéfinie par : a)f(x) = 3x+ 2-lnx; b)f(x) =2x+ lnx x; c)f(x) =2lnx-1x; d)f(x) =1x-lnx; e)f(x) =ex-2 ex+ 1; f)f(x) = exp?x+ 3x2-1? ; g)f(x) =xex-ex+ 1

Exercice 3

1. Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivéef?de la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[:

a)f(x) =xlnx-x; b)f(x) = ln?1 x? ; c)f(x) = ln⎷x; d)f(x) = (lnx)2; e)ln?x2?

2. Calculer la dérivéef?de la fonctionfsur son ensemble de définition :

a)f(x) = exp(x2+ 3x-1); b)f(x) =e1 x; c)f(x) =eex; d)f(x) =e⎷xlnx

Exercice 4

(D"après sujet bac Amérique du Nord 2007)

PREMIÈRE PARTIE

On considère une fonctiongdéfinie sur l"intervalle? -1

2; +∞?

par : g(x) =-x2+ax-ln(2x+b),oùaetbsont deux réels. Calculeraetbpour que la courbe représentative degdans un plan muni d"un repère?

O;?i,?j?

passe par l"origine du repère et admette une tangente parallèle à l"axe des abscisses au point d"abscisse1 2.

DEUXIÈME PARTIE

Soitfla fonction définie sur l"intervalle?

-1

2; +∞?

parf(x) =-x2+ 2x-ln(2x+ 1). On admet quefest dérivable et on notef?sa dérivée. Le tableau de variations de la fonctionfest le suivant : x-12012+∞ signe def?(x)- 0+0- variations def+∞ 03

4+ ln?12?

1. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.2. Montrer que l"équationf(x) = 0admet une unique solutionαdans l"intervalle?1

2; 1? (f?12??0,057et f(1)? -0,099).

3. Déterminer le signe def(x)sur l"intervalle?

-1

2; +∞?

Exercice 5

(D"après sujet bac Amérique du Sud 2010)

On considère la fonction numériquefdéfinie et dérivable surRtelle que, pour tout réelx, on ait :

f(x) =x2

2-x2ex-1.

On notef?sa fonction dérivée surR. Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que

l"affiche une calculatrice dans un repère orthogonal. xy O 11

1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens devariation defsur l"intervalle[-3 ; 2]en observant

cette courbe? Dans la suite du problème, on va s"intéresser à la validité decette conjecture.

2. Calculerf?(x)et vérifier quef?(x) =xg(x)oùg(x) = 1-(x+ 2)ex-1pour toutxdeR.

Pour la suite, on admet quegest dérivable surRet on noteg?sa fonction dérivée.

3. Étude du signe deg(x)suivant les valeurs dex.

(a) Calculer les limites respectives deg(x)quandxtend vers+∞et quandxtend vers-∞. On pourra utiliser (en la démontrant) l"égalité :g(x) = 1-xex+ 2ex e. (b) Calculerg?(x)et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réelx.

(c) En déduire le sens de variation de la fonctiongpuis dresser son tableau de variation en y reportant les

limites déterminées précédemment.

(d) Montrer que l"équationg(x) = 0possède une unique solution dansR. On noteαcette solution.

On admet que0,20< α <0,21.

(e) Déterminer le signe deg(x)suivant les valeurs dex.

4. Sens de variation de la fonctionf

(a) Étudier le signe def?(x)suivant les valeurs dex. (b) En déduire le sens de variation de la fonctionf. (c) Que pensez-vous de la conjecture de la question 1?

Exercice 6

Soitfla fonction définie parf(x) =3+x4x.

1. Déterminer le domaine de définition def.

2. Calculer les dérivées première et seconde def.

3. Déterminer les extrema def.

4. Construire le tableau de variations def. Les extrema de f sont-ils globaux?

5. Que peut-on dire des extrema defsi on restreint l"étude defà chaque intervalle du domaine de définition?

Exercice 7(D"après sujet d"examen janvier 2013)

PREMIÈRE PARTIE

Soitfla fonction définie parf(x) =3x2+ 4x-1

x+ 2et soitCsa représentation graphique dans un repère orthonormal(O,?i,?j).

1. Étudier la fonctionf(ensemble de définition, limites et asymptotes éventuelles, signe de la dérivée, tableau de

variations).

2. En déduire les extrema def. Les extrema de f sont-ils globaux?

3. Que peut-on dire des extrema defsi on restreint l"étude defà chaque intervalle du domaine de définition?

4. Déterminer une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse1.

5. Effectuer la division euclidienne de3x2+ 4x-1parx+ 2.

6. En déduire toutes les asymptotes deC.

7. Déterminer les points d"intersection deCavec l"axe des abscisses.

8. Montrer que l"équationf(x) =eadmet une unique solutionαdans l"intervalle[1;+∞[(on donnee≈2,7).

DEUXIÈME PARTIE

Soitgla fonction définie parg(x) = ln(f(x)).

1. Déterminer le domaine de définition deg. On donne-2-⎷

7

3≈ -1,5et-2 +⎷

7

3≈0,2.

2. Étudier les variations degsur l"intervalle[1;+∞[.

3. Résoudre l"équationg(x) = 1sur[1;+∞[.

Exercice 8

(D"après sujet d"examen juin 2013) On considère une fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par f(x) =x2+ax+b+cln(x),

oùa,betcsont trois réels, etCsa courbe représentative dans le plan muni d"un repère(O;-→i ,-→j).

1. On suppose queCadmet des tangentes parallèles à l"axe des abscisses aux points d"abscisse1et4et qu"elle

passe par le point de coordonnées(1;0). En déduire que le triplet de paramètres(a;b;c)satisfait le système

d"équations?????a+c=-2 a+c 4=-8 a+b=-1.

Résoudre ce système d"équations.

On suppose dans la suite que le triplet(a;b;c)satisfait le système ci-dessus, soit f(x) =x2-10x+ 9 + 8ln(x),pour toutx >0.

2. Déterminer les limites defaux bornes de son domaine de définition. En déduire l"équation d"éventuelles

asymptotes àC.

3. (a) Calculer la dérivéef?defsur]0;+∞[.

(b) Étudier le signe def?sur]0;+∞[et dresser le tableau de variations defsur]0;+∞[. (c) Justifier quefadmet deux extrema locaux en1et4. Quelles sont leurs valeurs?

Sont-ils globaux (justifier votre réponse)?

4. (a) Montrer que l"équationf(x) = 0admet exactement une solution notéeαsur l"intervalle]1;+∞[, oùα >4.

On donneln(2)?0,69.

(b) Déterminer le signe defsur son domaine de définition.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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