Sujet et corrigé du bac en mathématiques série S
https://www.freemaths.fr/annales-mathematiques/bac-s-mathematiques-france-metropolitaine-2016-obligatoire-corrige-exercice-3-suites.pdf
S Métropole juin 2016
Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.
Nouvelle Calédonie novembre 2019
On considère la fonction f définie sur [0;+?[ par : f (x)=ln(3 x+1 2.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-après afin que la dernière valeur prise ...
Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2019
9 sept. 2019 Corrigé du baccalauréat S. A. P. M. E. P.. • P(C) = 1?. 2 ... 2. a. Pour tout réel x strictement positif g?(x) = 4×1+1×ln x ?x ×. 1.
livre-algorithmes EXo7.pdf
d'équation x2 + y2 = 1 et la portion de disque dans le carré (voir la poser f (x) = x(ln x ? 1) ? 1 et appliquer la méthode de Newton : fixer u0 (par ...
Amérique du Nord mai 2019
2. En déduire que pour tout nombre réel de l'intervalle [0;+?[ ln(x+1)?x . Partie B
Algorithmes et logarithmes Table des Matières
Construction de l'algorithme de Cordic sur [1 ; 10]. Supposons la table des 11 algorithmes suivant (obtenus à la main) : x ln(x). 10. 2302585092994. 2.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
a) x = ea est équivalent à a = lnx avec x > 0 b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln. 1 a) ln x = 2. ? lnx = lne2. ? x = e2. La solution est e2 . b) ex+1 = 5.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
d) Si on pose y = lnx alors x = ey = eln x. II. Propriété de la fonction logarithme népérien. 1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y
Algorithmique Notion de complexité
multiplicative près log2 logarithme binaire de base 2 : log2(x) = lnx Algorithme (calcul du plus grand diviseur (solution 1)). Entrée : un entier n.
Lecture 2 : The Natural Logarithm - University of Notre Dame
x2+1 We can extend the applications of the natural logarithm function by composing it with the absolutevalue function We have : lnx x >0lnjxj =ln( x) x
What is the derivative of &#ln(2x+1)#? - Socraticorg
Theorem 4 The logarithm of a product of two positive numbers is the sum of their loga-rithms that is lnxy= lnx+ lny Proof We'll use a general principle here that if two functions have the same derivative onan interval and they agree for one particular argument then they are equal
Risch’s algorithm for integration - Colorado State University
x (x+1 2)?1 The equation for A1 thus gives after integration: Z A1 ?2B¯2 1 x dx =2b2?2 +B1 The integral on the left hand side is evaluated recursively again: Z 4 x + (x2 +x+1)ln(x+1 2)+x 2 ?1 (x+1 2) 2 dx = x2 ?1 x+1 2 ln(x+ 1 2)+4ln(x) The only term involving ?2 is the second summand thus we get that b2 = 4/2 =2 and B1 =B¯1 +b1
1 De?nition and Properties of the Natural Log Function - UH
lnx = Z x 1 1 t dt x > 0 is called the natural logarithm function • ln1 = 0 • lnx < 0 for 0 < x < 1 lnx > 0 for x > 1 • d dx (lnx) = 1 x > 0 ? lnx is increasing • d2 dx2 (lnx) = ? 1 x2 < 0 ? lnx is concave down 1 2 Examples Example 1: lnx = 0 and (lnx)0 = 1 at x = 1 Exercise 7 2 23 Show that lim x?1 lnx x?1 = 1 Proof
What is the derivative of ln(2x + 1)?
y = ln(2x + 1) contains a function within a function, i.e. 2x +1 within ln(u). Letting u = 2x + 1, we can apply chain rule.
How do you solve ln 2 ln(3x + 2) = 1?
How do you solve ln 2 ? ln(3x + 2) = 1? In order to solve this logarithmic equation, we can make use of the properties of logarithms, such as To get rid of the natural logarithm on the left-hand side, we take the e -xponential on both sides, giving us
What is the limit of ln(x) as x approaches 0?
Therefore, the limit of ln (x) as x approaches 0 is equal to the limit of 1/x/-1/x^2, which is equal to -?. In other words, the function ln (x) tends to negative infinity as x approaches 0.
What is exp lnx x?
Theorem 17. For each positive numberx, exp lnx=x, and for each numberx, ln expx=x.In particular, exp 0 = 1, and exp 1 =e. Proof. The rst two identities follow directly from the denition, and the last two are par-ticular instances of the rst whenx= 1 andx=e, respectively. q.e.d.
Nouvelle Calédonie novembre 2019
EXERCICE 2 5 points
On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par : f(x)=ln(3x+1 x+1). On admet que la fonction f est dérivable sur [0;+∞[ et on note f' sa fonction dérivée. On note cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.Partie A
1. Déterminer limx→-∞f(x) et en donner une interprétation graphique.
2.a. Démontrer que pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)=2
(x+1)(3x+1)2.b. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0;+∞[.
Partie B
Soit (un) la suite définie par :
u0=3 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1
2⩽un+1⩽un.
2. Démontrer que la suite (un) converge vers une limite strictement positive.
Partie C
On note L la limite de la suite
(un). On admet que f(L)=L. L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de L. On introduit pour cela la fonction g définie sur [0;+∞[par g(x)=f(x)-x. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction g sur [0;+∞[ où x0=-2+3=0,215
et g(x0)=0,088, en arrondissant à 10-3.1. Démontrer que l'équation
g(x)=0 admet une unique solution strictement positive. On la note α.Nouvelle Calédonie novembre 2019
2.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-après afin que la dernière valeur prise par la variable x soit
une valeur approchée de αpar excès à 0,01 près.2.b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme.
3. En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite L de la suite (un).
Nouvelle Calédonie novembre 2019
CORRECTION
Partie A
1. Pour tout nombre réel x de [0;+∞[ f(x)=ln(3x+1
x+1).Remarque
Pour tout réel x positif ou nul : 3x+1
x+1>0. limx→+∞ 3x+1 x+1= 31=3 et limX→3ln(X)=ln(3) donc limx→+∞f(x)=ln(3)
La droite d'équation y=ln(3) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞.
2.a. (ln(u))'=u'
u u(x)=3x+1 x+1 u'(x)=(x+1)×3-(3x+1)×1 (x+1)2=3x+3-3x-1 (x+1)2=2 (x+1)2 u'(x) u(x)=2 (x+1)2×x+13x+1=2
(x+1)(3x+1) f'(x)=2 (x+1)(3x+1)2.b. Pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)>0.
Donc f est strictement croissante sur [0;+∞[ ;Partie B
u0=3 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un).1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
12⩽un+1⩽un.
Initialisation
u0=3 f(u0)=u1=3×3+13+1=10
4=52=2,5 donc 1
2⩽u1⩽u0 et la propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n, on suppose que
12⩽un+1⩽un et on doit démontrer que 1
2⩽un+2⩽un+1.
f est une fonction croissante sur [0;+∞[ donc Si 12⩽un+1⩽un alors f(1
2)⩽f(un+1)⩽f(un)
Or f(12)=ln(3×0,5+1
0,5+1)=ln(2,5
1,5)=ln(5
3)= 0,51à 10-2 près donc 1
2⩽f(1
2) f(un+1)=un+2 et f(un)=un+1.Conséquence :
12⩽un+2⩽un+1 Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, 12⩽un+1⩽un
Nouvelle Calédonie novembre 2019
2. Pour tout entier naturel n, un+1⩽un donc (un) est décroissante, et 1
2⩽un donc (un) est une suite
minorée par 1 2.La suite
(un) est décroissante et minorée par 12 donc (un) est une suite convergente et sa limite
L⩾1
2>0.Partie C
1. Sur
]0;x0] g est strictement croissante donc si 00 appartient à l'intervalle ]-∞;g(x0)]
Le Théorème des valeurs intermédiaires nous permet que l'équation g(x)=0 admet une solution
uniqueα appartenant à [x₀;+∞[.
2.a.2.b. On peut utiliser l'algorithme pas à pas avec la calculatrice, les calculs sont un peu longs, on obtient
0,53. . On propose un programme Python.Programme
Exécution
. On peut obtenir aussi cette valeur par balayage. g(0,52)=1,3×10-3>0 et g(0,53)=-3,61×10-33. g(L)=f(L) - L donc
0,52quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
[PDF] f(x)=1/x
[PDF] f x )= x 2 1
[PDF] f(x) = x^3
[PDF] f(x) calculer
[PDF] f(x)=2
[PDF] f(x)=x+1
[PDF] f'(x) dérivé
[PDF] f(x)=x^4
[PDF] f(x)=3
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