page de garde2
Matlab par défaut ne donne qu'une seule représentation. Figure 1.4 : Passage de la fonction de transfert vers la représentation d'état sous Matlab.
CRONE CONTROL
Commande par retour d'état. 7. Détermination d'un observateur. 8. Représentation d'état à temps discret. 9. Commandes MATLAB. 10. Bureau d'étude
Polycopié De Travaux Pratiques - Commande dans lespace détat
TP N°1 : Etude des systèmes dans L'espace d'état sous Matlab et I.5 Etude et Analyse de la représentation d'état des systèmes …………………….…...15.
manuel-matlab.pdf
Matlab ses boîtes à outils et Simulink sont des produits développés par la société The MathWorks
INTRODUCTION A MATLAB
Matlab est un environnement de calcul numérique matriciel. Après le lancement de Matlab Création d'un modèle LTI en représentation d'état : ss.
Oscillateur à pont de Wien : Approches transfert et espace détat
Contre-réaction oscillateur à pont de Wien
Matlab pour les ingénieurs Quelques exemples
6.3 Description d'état d'un système linéaire . Mesurer la qualité des modèles proposés pour représenter le ressort. 5. Afficher les informations sur le ...
Retour détat et Observateur 1
linéaire stationnaire défini par sa représentation d'état (A B
Matlab pour lAutomatique continue 1 Introduction
D'apr`es cette fonction de transfert retrouvez la représentation d'état sous forme canonique commandable (I.e. avec la matrice A sous forme compagne).
Matlab pour les ingénieurs Quelques exemples
6.3 Description d'état d'un système linéaire . Mesurer la qualité des modèles proposés pour représenter le ressort. 5. Afficher les informations sur le ...
Retour d’´etat et Observateur 1Leretourd’´etat - LAAS
1 2 Calcul du gain de retour d’´etat K dans le cas SISO Soit le syst`eme d´e?ni par le triplet (ABC)etl´etat x(t) On suppose que le syst`eme est commandable c’est-`a-dire que la matrice de commandabilit´e est de rang plein Soit le nouvel ´etat xc(t) associ´eausyst`eme mis sous forme commandable repr´esent´e par le triplet (Ac
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1 Représentation d’état du modèle de la pupille (a) Déduire analytiquement un modèle d’état (matrices A B C et D) pour le modèle de la pupille décrit par H1(s) (b) Entrer le système dans MATLAB (par le biais de sa fonction de transfert) A l’aide de MATLAB convertir la fonction de transfert H1(s) en modèle d’état
Qu'est-ce que Matlab ?
Développé par la société The MathWorks, MATLAB permet de manipuler des matrices, d'afficher des courbes et des données, de mettre en œuvre des algorithmes, de créer des interfaces utilisateurs, et peut s’interfacer avec d’autres langages comme le C, C++, Java, et Fortran.
Quels sont les différents types de utilisateurs de MATLAB ?
Les utilisateurs de MATLAB (environ 4 millions en 20192) sont de milieux très différents comme l’ingénierie, les sciences et l’économie dans un contexte aussi bien industriel que pour la recherche. Matlab peut s’utiliser seul ou bien avec des toolboxes (« boîte à outils »). Le logiciel MATLAB est construit autour du langage MATLAB.
Quels sont les avantages de l’utilisation de MATLAB ?
Et d’après les résultats obtenues sur MATLAB, on trouve qu’ils sont identique à ceux trouvés théoriquement dans les travaux dirigés, ce qui prouve que MATLAB est un logiciel précis et rapide, qui facilite le calcul sans une perte du temps, ni possibilité de commettre des erreurs.
Comment utiliser MATLAB ?
Matlab peut s’utiliser seul ou bien avec des toolboxes (« boîte à outils »). Le logiciel MATLAB est construit autour du langage MATLAB. Une interface en ligne de commande, qui est un des éléments du bureau MATLAB, permet d’exécuter des commandes simples.
Retour d'´etat et Observateur
1Leretourd"´etat
Soit le syst`eme lin´eaire stationnaire d´efini par sa repr´esentation d"´etat (A,B,C,0).
?x(t)=Ax( t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)(1) o`ux(t)?Rn repr´esente l"´etat du syst`eme,u(t)?R m est la commande ety(t)?Rp estla sortie mesur´ee du syst`eme. Ce syst`eme peut etre repr´esent´eparlesch´ema bloc suivant
1.u(t)?x(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)y(t) Figure 1: Sch´ema bloc d"un mod`eleespaced"tat1.1 RappelOn d´esire asservir le syst`eme `a une valeury
ref (t) tout en imposant les dynamiques du r´egime transitoire et en maintenant une erreur petite ou nulle en r´egime permanent. Mod-ifier le r´egime transitoire du syst`eme (1), c"est modifier les poles de la matrice dynamique
A. On implante ainsi une loi de commande1
parretourd"´etat qui prend en compte les valeurs de l"´etat `a l"instant t : x(t)=? ?x 1 (t)... x n (t)?La loi de commande2
s"´ecrit alors : u(t)=-Kx(t)+v(t) 1Cette technique s"appelle ´egalement commande par placement de poles car elle permet de placer les
poles de la boucle ferm´ee n"importe o`udansleplancomplexe.2L"implantation de cette commande par retour d"´etat n´ec´essite la mesure detousles ´etats du syst`eme
ce qui est une hypoth`eseassezforte. 1 o`uK?R m×n est une matrice appel´ee gain du retour d"´etat etv(t) est une nouvelle entr´ee pour le syst`eme en boucle ferm´ee (eventuellement ce dernier signal peut repr´esenter la consigne). C"est une commande en boucle ferm´ee car elle d´epend des signaux internes du syst`eme meme si elle ne prend pas en compte directement la sortie du syst`emey(t) comme le montre la figure 2. u(t)?x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)y(t) x(t)+ -v(t) KFigure 2: Le sch´ema bloc du retour d"´etat
Remarque 1Dans le cas d"un syst`eme `auneentr´ee, la commande par retour d"´etat s"´ecritu(t)=-Kx(t)+v(t)=- n i=1 k i x i (t)+v(t)avecK=[k 1 ,...,k nLe syst`eme enboucle ferm´ees"´ecrit donc :
?x(t)=(A-BK)x(t)+Bv(t) y(t)=Cx(t)(2) et est repr´esent´eparlesch´ema bloc compact de la figure 3 Remarque 2Nous pouvons modifier tous les poles du syst`eme ssi le syst`eme est com- mandable , c"est-`a-dire ssi la paire(A,B)v´erifie le crit`eredecommandabilit´erg(C)=n avecC=?BABA
2B ... A
n-1 B? v(t)?x(t)=(A-BK)x(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)y(t) Figure 3: Le sch´ema bloc du retour d"´etat version 2 21.2 Calcul du gain de retour d"´etatKdans le cas SISO
Soit le syst`eme d´efini par le triplet (A,B,C)etl´etatx(t). On suppose que le syst`eme est commandable, c"est-`a-dire que la matrice de commandabilit´e est de rang plein. Soit le nouvel ´etatx c (t) associ´eausyst`eme mis sous forme commandable repr´esent´e par le triplet (A c ,B c ,C c ). L"´etatx c ainsi que les matricesA c ,B c ,C c sont d´etermin´ees par la matrice de passageP c , avec: x=P c x c A c =P -1c AP c ,B c =P -1c B,C c =CP c La loi de commande par retour d"´etat s"´ecrit donc sous la forme u(t)=-Kx(t)+v(t)=- Kc ????KP x c (t)+v(t) o`uK c estungainduretourd"´etat dans la base commandable. Une foisK c d´etermin´e, un simple calculK=K c P -1 permet de calculer le retour d"´etat dans la base initiale. Dans la base commandable, les matricesA c etB c s"´ecrivent ainsi : A c ?????010...0 001 ...0...............000...1
-a 0 -a 1 ... ...-a n-1 B c ???0 0 1? o`u les coefficientsa i ,i?{0,n-1}sont les coefficients du polynome caract´eristique associ´e `alamatriceA,P A (λ)=det(λI n -A)=λ n +a n-1 n-1 +···+a 0 . La matrice dynamique du syst`eme boucl´e par le retour d"´etat s"´ecrit alors A c -BK c ???010...0 001 ...0...............000...1
-a 0 -k c1 -a 1 -k c2 ... ...-a n-1 -k cnLa matriceA
c -B c K c est sous forme commandable et on peut alors aisement calculer le polynome caract´eristique du syst`eme en boucle ferm´eePAc-BcKc
(λ)=det(λI n -A c B c K c n +(a n-1 +k cn n-1 +···+(a 0 +k c1 ). Or, nous voulons placer les poles 3 de la boucle ferm´ee enp 1 ,···,p n .Lepolynome caract´eristique de la boucle ferm´ee estdonc uniquement d´etermin´e par le choix des poles d´esir´es et nous avons donc la relation
suivante: (λ-p 1 )(λ-p 2 )...(λ-p n )=P des n +f n-1 n-1 +···+f 0 =PAc-BcKc
Nous en tirons donc les valeurs du gainK
c permettant d"obtenir le polynome d´esir´eet donc de placer les poles enp 1 ,···,p n ?k c1 =-a 0 +f 0 k c2 =-a 1 +f 1 k cn =-a n-1 +f n-1 (3) Le gain du correcteurKdans la base initiale s"´ecrit alors : K=[f 0 -a 0 ,...,f n-1 -a n-1 ]P -1cRemarque 3Le calcul de la matrice de passageP
c n"est pas tr`es compliqu´e dans le cas SISO. Notons que la matrice de passage doit v´erifier : AP c =P c A c ,B=P c B c Ces deux derni`eres ´equations peuvent etre r´esolues matriciellement en notantP=?P 1 ,...,P nLa derni`ere ´equationB=P
c B c nous permet d"obtenit directementP n =B. L"utilisation de la premi`ere ´equation nous permet alors de r´esoudre terme `atermel"´equation pour obtenir : ????P n =B P n-1 =AB+a n-1 B P n-2 =A 2 B+a n-1 AB+a n-2 B... P 1 =(A n-1 +a n-1 A n-2 +...+a 1 I) Remarquons que cette derni`ere ´equation peut s"´ecrire d"une mani`ere plus compact:P=[B,AB,A
2B,···,A
n-1 B]? ????a 1 a 2 ... a n-1 1 a 2 ... ...10... a n-110...0
10... ...0?
????(4)On reconnait la matrice de commandabilit´eC.
Finalement, nous pouvons proposer le th´eor`eme suivant: 4 Th´eor`eme 1Soit le syst`eme commandable d´efini par le triplet(A,B,C), les coefficients du polynome caract´eristique de A sont not´esa i ,?i?{0,n-1}, i.e.det(λI-A)= n +a n-1 n-1 +...+a 0 .Soientp 1 ,...,p n les poles d´esir´es du syst`eme en boucle ferm´e. Les coefficients du polynome dont les racines sontp i ,?i?{1,...,n}sont not´esf i ,?i? {0,n-1}. Le gain du retour d"´etatKpermettant de placer les poles du syst`eme en boucle ferm´ee en(p 1 ,...,p n )s"´ecrit alors : K=[f 0 -a 0 ,...,f n-1 -a n-1 ](CA) -1 o`uCrepr´esente la matrice de commandabilit´edelapaire(A,B),Arepr´esente une matrice d´ependant uniquement des coefficients du polynome caract´eristique de la matrice A: A=? ?????a 1 a 2quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] exercice systeme multivariable
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