[PDF] Retour détat et Observateur 1

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Retour d'´etat et Observateur

1Leretourd"´etat

Soit le syst`eme lin´eaire stationnaire d´efini par sa repr´esentation d"´etat (A,B,C,0).

?x(t)=Ax( t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)(1) o`ux(t)?Rn repr´esente l"´etat du syst`eme,u(t)?R m est la commande ety(t)?Rp est

la sortie mesur´ee du syst`eme. Ce syst`eme peut ˆetre repr´esent´eparlesch´ema bloc suivant

1.u(t)?x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)y(t) Figure 1: Sch´ema bloc d"un mod`eleespaced"tat1.1 Rappel

On d´esire asservir le syst`eme `a une valeury

ref (t) tout en imposant les dynamiques du r´egime transitoire et en maintenant une erreur petite ou nulle en r´egime permanent. Mod-

ifier le r´egime transitoire du syst`eme (1), c"est modifier les pˆoles de la matrice dynamique

A. On implante ainsi une loi de commande1

parretourd"´etat qui prend en compte les valeurs de l"´etat `a l"instant t : x(t)=? ?x 1 (t)... x n (t)?

La loi de commande2

s"´ecrit alors : u(t)=-Kx(t)+v(t) 1

Cette technique s"appelle ´egalement commande par placement de poles car elle permet de placer les

pˆoles de la boucle ferm´ee n"importe o`udansleplancomplexe.2

L"implantation de cette commande par retour d"´etat n´ec´essite la mesure detousles ´etats du syst`eme

ce qui est une hypoth`eseassezforte. 1 o`uK?R m×n est une matrice appel´ee gain du retour d"´etat etv(t) est une nouvelle entr´ee pour le syst`eme en boucle ferm´ee (eventuellement ce dernier signal peut repr´esenter la consigne). C"est une commande en boucle ferm´ee car elle d´epend des signaux internes du syst`eme mˆeme si elle ne prend pas en compte directement la sortie du syst`emey(t) comme le montre la figure 2. u(t)?x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)y(t) x(t)+ -v(t) K

Figure 2: Le sch´ema bloc du retour d"´etat

Remarque 1Dans le cas d"un syst`eme `auneentr´ee, la commande par retour d"´etat s"´ecritu(t)=-Kx(t)+v(t)=- n i=1 k i x i (t)+v(t)avecK=[k 1 ,...,k n

Le syst`eme enboucle ferm´ees"´ecrit donc :

?x(t)=(A-BK)x(t)+Bv(t) y(t)=Cx(t)(2) et est repr´esent´eparlesch´ema bloc compact de la figure 3 Remarque 2Nous pouvons modifier tous les pˆoles du syst`eme ssi le syst`eme est com- mandable , c"est-`a-dire ssi la paire(A,B)v´erifie le crit`eredecommandabilit´erg(C)=n avec

C=?BABA

2

B ... A

n-1 B? v(t)?x(t)=(A-BK)x(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)y(t) Figure 3: Le sch´ema bloc du retour d"´etat version 2 2

1.2 Calcul du gain de retour d"´etatKdans le cas SISO

Soit le syst`eme d´efini par le triplet (A,B,C)etl´etatx(t). On suppose que le syst`eme est commandable, c"est-`a-dire que la matrice de commandabilit´e est de rang plein. Soit le nouvel ´etatx c (t) associ´eausyst`eme mis sous forme commandable repr´esent´e par le triplet (A c ,B c ,C c ). L"´etatx c ainsi que les matricesA c ,B c ,C c sont d´etermin´ees par la matrice de passageP c , avec: x=P c x c A c =P -1c AP c ,B c =P -1c B,C c =CP c La loi de commande par retour d"´etat s"´ecrit donc sous la forme u(t)=-Kx(t)+v(t)=- Kc ????KP x c (t)+v(t) o`uK c estungainduretourd"´etat dans la base commandable. Une foisK c d´etermin´e, un simple calculK=K c P -1 permet de calculer le retour d"´etat dans la base initiale. Dans la base commandable, les matricesA c etB c s"´ecrivent ainsi : A c ?????010...0 001 ...0...............

000...1

-a 0 -a 1 ... ...-a n-1 B c ???0 0 1? o`u les coefficientsa i ,i?{0,n-1}sont les coefficients du polynˆome caract´eristique associ´e `alamatriceA,P A (λ)=det(λI n -A)=λ n +a n-1 n-1 +···+a 0 . La matrice dynamique du syst`eme boucl´e par le retour d"´etat s"´ecrit alors A c -BK c ???010...0 001 ...0...............

000...1

-a 0 -k c1 -a 1 -k c2 ... ...-a n-1 -k cn

La matriceA

c -B c K c est sous forme commandable et on peut alors aisement calculer le polynˆome caract´eristique du syst`eme en boucle ferm´eeP

Ac-BcKc

(λ)=det(λI n -A c B c K c n +(a n-1 +k cn n-1 +···+(a 0 +k c1 ). Or, nous voulons placer les pˆoles 3 de la boucle ferm´ee enp 1 ,···,p n .Lepolynˆome caract´eristique de la boucle ferm´ee est

donc uniquement d´etermin´e par le choix des pˆoles d´esir´es et nous avons donc la relation

suivante: (λ-p 1 )(λ-p 2 )...(λ-p n )=P des n +f n-1 n-1 +···+f 0 =P

Ac-BcKc

Nous en tirons donc les valeurs du gainK

c permettant d"obtenir le polynˆome d´esir´eet donc de placer les pˆoles enp 1 ,···,p n ?k c1 =-a 0 +f 0 k c2 =-a 1 +f 1 k cn =-a n-1 +f n-1 (3) Le gain du correcteurKdans la base initiale s"´ecrit alors : K=[f 0 -a 0 ,...,f n-1 -a n-1 ]P -1c

Remarque 3Le calcul de la matrice de passageP

c n"est pas tr`es compliqu´e dans le cas SISO. Notons que la matrice de passage doit v´erifier : AP c =P c A c ,B=P c B c Ces deux derni`eres ´equations peuvent ˆetre r´esolues matriciellement en notantP=?P 1 ,...,P n

La derni`ere ´equationB=P

c B c nous permet d"obtenit directementP n =B. L"utilisation de la premi`ere ´equation nous permet alors de r´esoudre terme `atermel"´equation pour obtenir : ????P n =B P n-1 =AB+a n-1 B P n-2 =A 2 B+a n-1 AB+a n-2 B... P 1 =(A n-1 +a n-1 A n-2 +...+a 1 I) Remarquons que cette derni`ere ´equation peut s"´ecrire d"une mani`ere plus compact:

P=[B,AB,A

2

B,···,A

n-1 B]? ????a 1 a 2 ... a n-1 1 a 2 ... ...10... a n-1

10...0

10... ...0?

????(4)

On reconnait la matrice de commandabilit´eC.

Finalement, nous pouvons proposer le th´eor`eme suivant: 4 Th´eor`eme 1Soit le syst`eme commandable d´efini par le triplet(A,B,C), les coefficients du polynˆome caract´eristique de A sont not´esa i ,?i?{0,n-1}, i.e.det(λI-A)= n +a n-1 n-1 +...+a 0 .Soientp 1 ,...,p n les pˆoles d´esir´es du syst`eme en boucle ferm´e. Les coefficients du polynˆome dont les racines sontp i ,?i?{1,...,n}sont not´esf i ,?i? {0,n-1}. Le gain du retour d"´etatKpermettant de placer les pˆoles du syst`eme en boucle ferm´ee en(p 1 ,...,p n )s"´ecrit alors : K=[f 0 -a 0 ,...,f n-1 -a n-1 ](CA) -1 o`uCrepr´esente la matrice de commandabilit´edelapaire(A,B),Arepr´esente une matrice d´ependant uniquement des coefficients du polynˆome caract´eristique de la matrice A: A=? ?????a 1 a 2quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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