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Ministère et de la Recherche Scientifique
Année Universitaire 2017-2018
Université Mohammed Seddik Benyahia- Jijel
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département dAutomatique
COURS DE
SYSTEMES LINEAIRES MULTIVARIABLES
Destiné aux étudiants de première année Master en Automatique (AS et AII)Naamane BOUNAR
Maitre de conférences B
Avant propos
1. Objectif.. 1
2. Définitions.. 1
2.1 Système 1
2.2 Systèmes statiques 1
2.3 Systèmes dynamiques. 2
2.4 Système linéaire 2
2.5 Système causal.. 3
2.6 Système invariant.. 3
2.7 Système continu/système échantillonné.. 3
2.8 Système déterministe/ système aléatoire.. 4
2.9 Système monovariable/système multivariable.. 4
3. Rappel sur le calcul matriciel 4
3.1 Matrice 4
3.2 Opérations élémentaires sur les matrices 5
3.3 Trace dune matrice 6
3.4 Déterminant dune matrice dordre 2 6
3.5 Mineur 6
3.6 Cofacteur 6
3.7 Déterminant dune matrice dordre n 6
3.8 Matrice adjointe ou comatrice 7
3.9 Inverse dune matrice 8
3.10 Valeurs propres et vecteurs propres dune matrice 8
3.11 Rang dune matrice 9
4. Exercices 9
1. Introduction..... 11
2. Différentes représentations des systèmes. 11
3. Représentation des systèmes monovariables (SISO). 12
3.1 Représentation externe.. 12
3.1.1 Equation différentielle.. 12
3.1.2 Fonction de transfert.. 12
3.2 Représentation interne ............................................................... 12
3.2.1 Définitions .... 12
4. Représentation des systèmes multivariables (MIMO) 15
4.1 Représentation externe.. 15
4.1.1 Système déquations différentielles......... 15
4.1.2 Matrice de transfert... 15
4.2 Représentation interne.. 16
5. Représentation analogique des modèles détat .... 16
6. Avantages de la représentation détat. 17
7. Résolution de léquation détat.. 17
7.1 Cas dune équation scalaire... 17
7.2 Cas dune équation matricielle 18
7.2.1 Propriétés de la matrice de transition détat 19
7.2.2 Calcul de la matrice de transition détat 19
7.2.3 Réponse impulsionnelle 23
7.2.4 Réponse indicielle 23
8. Stabilité 24
8.1 Stabilité externe 24
8.2 Stabilité interne 25
8.2.1 Etat déquilibre 25
9. Exercices 27
1. Introduction.... 28
2 Cas des systèmes monovariables (SISO) 28
2.1 Commandabilité 28
2.2 Observabilité 29
2.3 Commandabilité/observabilité et fonction de transfert .... 30
2.4 Formes cononiques pour les systèmes monovariables... 31
2.4.1 Forme compagne de commandabilité 31
2.4.2 Forme compagne dobservabilité 33
2.5 Passage dune réalisation à lautre................ 35
2.5.1 Changement de base 35
2.5.2 Obtention dune forme compagne de commanabilité...... 35
2.5.3 Obtention dune forme compagne dobservabilité......... 37
3.5.4 Concept de dualité 37
3. Cas des systèmes multivariables 38
3.1 Commandabilité............................................ 38
3.1.1 Indice de commandabilité................ 38
3.1.2 Critère de commandabilité des systèmes multivariables.......... 39
3.1.3 Sous-espace de commandabilité.................... 40
3.1.4 Commandabilité de la sortie 40
3.2 Observabilté...................................................... 41
3.2.1 Indice dobservabilité................. 41
3.2.2 Critère dobservabilité des systèmes mutivariables.......... 41
3.2.3 Sous-espace dobservabilité 42
3.3 Décomposition canonique dun système multivariable. 42
3.4 Formes compagnes pour les systèmes multivariables... 43
3.4.1 Décomposition en r sous-systèmes mono-entrée commandables.. 43
3.4.1.1 Résumé 47
3.4.2 Décomposition en m sous-système mono-entrée commandables.. 49
3.4.2.1 Résumé 50
3.4.3 Décomposition en p sous-systèmes mono-sortie observables. 51
4. Exercices 51
1. Introduction.. 53
2. Cas des systèmes monovariables 53
2.1 Passage de la représentation détat vers la fonction de transfert.. 53
2.2 Passage de la fonction de transfert vers la représentation détat 54
2.2.1 Forme parallèle............................................................... 54
2.2.2 Forme série............................................................. 59
3. Cas des systèmes multivariables.............................. 59
3.1 Passage de la représentation détat vers la matrice de transfert 59
3.2 Passage de la matrice de transfert vers la représentation détat 61
3.2.1 Réalisation minimale................................................................ 61
3.2.1.1 Méthode de Gilbert 61
3.2.2 Réalisation sous forme compagne de commandabilité 62
3.2.3 Réalisation sous forme compagne dobservabilité.. 64
4. Exercices...................................................... 65
1. Introduction. 67
2. Cas particulier: Systèmes monovariables.. 67
2.1 Calcul de la commande. 68
2.1.1 Résumé . 69
2.2 Performances statiques et retour détat............... 71
2.3 Rejet de perturbations et retour détat ............... 71
3. Cas général: Systèmes multivariables 72
3.1 Système complètement commandable par r < m entrées 72
3.1.1 Résumé . 75
3.2 Systèmes complètement commandables par m entrées 77
3.2.1 Résumé 79
1. Introduction 84
2. Définitions et principe 84
2.1 Observateur en boucle ouverte.. 84
2.1.1 Erreur dobservation............................ 84
2.2 Observateur en boucle fermée. 85
2.2.1 Erreur dobservation 85
3. Commande par retour détat à base dobservateur détat 86
3.1 Cas particulier: Systèmes monovariables 86
3.1.1 Théorème de séparation 87
3.1.2 Résumé 90
3.2 Cas général: Systèmes multivariables 91
3.2.1 Résumé.................................................................................................................. 94
4. Exercices 95
Bibliographie
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
Chapitre 1 Introduction
1. Objectif
2. Définitions
2.1 Système
a) Grandeurs dentréeEntrées maitrisables (ou simplement entrées)㨠攩砩挩楴愩瑩潮猩
b) Grandeurs de sortie (réponses): danalyse.2.2 Systèmes statiques
瑥浰猩 tChapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
Exemple 1.1
2.3 Systèmes dynamiques
2.4 Système linéaire
linéaireProportionnalité
Additivité ou superposition
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
2.5 Système causal
2.6 Système invariant
invariant2.7 Système continu / Système échantillonné
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
2.8 Système déterministe / Système aléatoire
déterministe aléatoireⰠ 挩⸩搮2.9 Système monovariable /Système multivariable
monovariable multivariableRemarque 1.1㨠䑡湳
3. Rappel sur le calcul matriciel
3.1 Matrice
n 汩朩湥猠 攩琠mMatrice ligne
攩琩 m 挩潬潮湥献Matrice colonne
n 汩朩湥献Matrice carrée
Diagonale dune matrice
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
Matrice diagonale 啮攩
Matrice unité (matrice identité)
3.2 Opérations élémentaires sur les matrices
3.2.1 Addition de deux matrices
3.2.2 Transposée dune matrice
3.2.3 Multiplication dune matrice par un scalaire
3.2.4 Multiplication de deux matrices
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
3.3 Trace dune matrice
3.4 Déterminant dune matrice dordre 2
3.5 Mineurs
jeme 挩潬潮湥3.6 Cofacteur
Remarque 1.2 : 乯畳
3.7 Déterminant dune matrice dordre n
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
Autre méthode pour calculer le déterminant
Exemple 1.5 : 䌩愩汣畬攩爩3.8 Matrice adjointe (comatrice)
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
3.9 Inverse dune matrice
3.10 Valeurs propres et vecteurs propres dune matrice
煵攩汣潮煵攩Ⱐ 汥猠n 癡汥畲猠 灲潰牥猠distincts n 癥挩瑥畲猠灲潰爩攩猠Exemple 1.6 : 挩愩汣畬攩爠汥猠癡汥畲猠整攩猠癥挩瑥畲猠瀩牯灲攩猠摥愩愩瑲楣攩
Valeurs propres
Vecteurs propres
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
3.11 Rang dune matrice
搩攠rang plein⸠4. Exercices
Exercice 01
Exercice 02
Chapitre 1 : Introduction
Dr : N. Bounar
Exercice 03
Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
Chapitre 2 Représentation des systèmes multivariables représentation détat2. Différentes représentations des systèmes 䰩攩
Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
3. Représentation des systèmes monovariables (SISO)
dynamique interne Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
RL u(t)
I i(t)
J f : frottements y(t)Inducteur Induit
Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
nombre nombre minimal獴4. Représentation des systèmes multivariables (MIMO)
Chapitre 2 : Représentation des systèmes multivariablesDr : N. Bounar
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