Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles
c) La solution générale est y(x) = Ce4x -. 3. 4. 2. L'équation est y/(x) + y(x)=2ex : a(x)=1et f(x)=2ex . a
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 aucun problème : elles sont toutes deux O(1/x²) au V(±?). 1ère méthode : on peut les calculer séparément par calcul des primitives. > f:=1/(x^4 ...
Corrigé du TD no 9
x?0 x2 = 0. Corrigé : D'après la définition l'énoncé « lim x?0 ln(1 + x)=0 ... f(x) =.. x si x < 1 x2 si 1 ? x ? 4. 8. ? x si x > 4.
7 Lois de probabilité
Pr (X ? 4) = f (4) + f (5). = (. 5. 4)(. 1. 2). 4 (12)1 et que la donnée du problème donne Pr (B
Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
? f (x) = 21. 5 s2 + s + 4. Modèle 1 : Les 4 premières règles de dérivation. Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : a) f (x) = 3x2 alors ? f (x) =.
FONCTION DERIVÉE
Ainsi pour tout x de R {0}
Développements limités
Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = 2 Applications. Exercice 4. Calculer les limites suivantes lim x?0 ex2. ?cosx x2 lim x?0.
Trigonométrie
6. cosx = ? 1?2 ? x ? (?3?. 4 +?Z)?(3?. 4 +?Z). De plus S[0
Correction (très rapide) des exercices de révision
f(x)=1/x. 2. Donne sans aucun calcul et sans utiliser la calculatrice
Fractions rationnelles
Exercice 4. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R par identification des coefficients. 1. F = X. X2?4. 2. G = X3?3X2+X?4. X?1.
AP CALCULUS AB 2014 SCORING GUIDELINES - College Board
fx x x ( ) =?+ 43 2 3 4 and the other boundary is the line y =4 In part (a) students were expected to compute the volume of the solid generated when R
SageMath - Calculus Tutorial - Limits
7 fx x() ( 5) 1=?+2 ? 8 fx x() ( 3) 4=+ +3 9 fx x() 3 6=? ? ? Domain:_____ Domain:_____ Domain:_____ Range:_____ Range:_____ Range:_____
ECE 302: Lecture 43 Cumulative Distribution Function
fX(x) = Whenx>0: fX(x) = Therefore the overall PDF is 0 fX(x) =34 12e?2x 0 3= 4 =e?2x Summary Thecumulative distribution function (CDF)of Xis FX(x)def=P[X?x] CDF must satisfy theseproperties:Non-decreasing FX(??) = 0 andFX(?) = 1 P[a?X?b] =FX(b)?FX(a) Right continuous: Solid dot on at the start
Chapter 4 - Function of Random Variables - The University of
Chapter 4 - Function of Random Variables Let X denote a random variable with known density fX(x) and distribution FX(x) Let y = g(x) denote a real-valued function of the real variable x Consider the transformation Y = g(X) (4-1) This is a transformation of the random variable X into the random variable Y Random variable
What is the limit of f(x) as x approaches 4?
Most of the time, this is fairly straightforward. For a function f (x) = 2*x, for example, the limit of f (x) as x approaches 4 would simply be 8, since 2 times 4 is 8. The notation for this, as you will surely see in a calculus book, in a calculus classroom or on a calculus test, looks like:
Which represents the inverse of the function f(x) = 4x?
Which represents the inverse of the function f (x) = 4x? 4x is shorthand for 4* x or "4 times x " The inverse is the opposite of what is happening. So the opposite of multiplication. Division is the opposite of multiplication.
How do you find the CDF of X?
X(x) = ?e??xfor x ?0, and is 0 otherwise. Find the CDF of X. Solution. F X(x) = = ( 0, x
CPP - 2013/2014 Fonctions réelles
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o9Exercice 11. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :
lim x→0x2= 0Corrigé :D"après la définition, l"énoncé "limx→0x2= 0» se traduit de la façon suivante :
On souhaite montrer que cet énoncé est vrai, c"est-à-dire que, étant donné un réelε >0, il existe
de prendreδ=⎷ε, d"où le résultat.2. Même question pour :
lim x→1? 1 +1x = 2 Corrigé :Comme précédemment, l"énoncé se traduit de la façon suivante : 1 +1xPour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout? >0, il existeδ >0satisfaisant
l"implication pour tout réelx?R?. Autrement dit, il faut traduire la condition|1x |x-1|. Pour cela, on procède par équivalences successives. Tout d"abord : ????1xPour simplifier, on peut supposer que1-ε >0, c"est-à-dire queε?]0,1[. En effet, si l"on peut
rendre|1x -1|plus petit que toute quantitéε?]0,1[, alors on peut aussi le rendre plus petit quetoute quantitéε≥1. De façon plus générale, on peut se restreindre à des valeurs suffisamment
petites deεquand on manipule la définition de limite d"une fonction en un point. Revenons à nos
moutons : si l"on suppose que1-ε >0, alorsDonc, si l"on poseδ= min(ε1+ε,ε1-ε) =ε1+ε(la plus petite des deux quantités en valeur absolue),
1Exercice 2
1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l"affirmation
lim x→0ln(1 +x) = 0 Corrigé :Par définition de la limite, l"affirmation se traduit par2. Déterminer un réelδ >0tel que
surx. Nous avonsSoitδ= min(e10-3-1,1-e-10-3). Alorsδsatisfait bien la propriété voulue. Pour ceux qui sont
curieux de connaître la valeur exacte deδ, on peut faire le raisonnement suivant : l"analyse des
variations de la fonctiont?→et+e-tmontre que celle-ci atteint son minimum en0, donc ce minimum est égal à2. En particuliere10-3+e-10-3≥2. On en déduit queδ= 1-e-10-3.Exercice 3
a) Nous avons, pour toutx?R, la majoration suivante ????xcos(ex)x 2+ 1? 2+ 1?D"autre part
xx2+ 1=1x+1x
donc cette quantité tend vers0quandxtend vers+∞. On en déduit que : lim x→+∞xcos(ex)x2+ 1= 0.
b) Commesinxest borné,x-sinxtend vers+∞quandxtend vers+∞. On en déduit que lim x→+∞ex-sinx= +∞ c) Pourx >1, la partie entière de1x est nulle. Par conséquent pour toutx >1,x?1x = 0.Donc la limite cherchée vaut0.
d) Nous avons : sin(xlnx)x =sin(xlnx)xlnxlnx Six→0, alorsxlnx→0. Donc par composition des limites on a : lim x→0sin(xlnx)xlnx= limy→0sinyy = 1On en déduit que :
lim x→0sin(xlnx)x 2Exercice 4
Soitf:R→Rla fonction définie par
f(x) =? ?xsix <1 x8⎷xsix >4
1. L"allure du graphe defa été vue en TD!
2. On note d"abord quefest continue sur l"intervalle]-∞,1[, car elle est égale sur cet intervalle à la
fonctionx?→x. De même, la fonctionfest continue sur les intervalles]1,4[et]4,+∞[car elle est
égale à des fonctions continues sur chacun de ces intervalles. Il reste à étudier la continuité defen
1et en4. En1nous avons :
limx→1x<1f(x) = limx→1x<1x= 1 et limx→1x>1f(x) = limx→1x>1x 2= 1donc les limites à droite et à gauche defen1sont égales àf(1), ce qui montre quefest continue
en1. On montre de même quefest continue en4. On en conclut quefest continue surR.Exercice 5
1. La fonctionf:x?→x?x?n"est pas continue. En effet,f(x) = 0pour toutx?[0,1[, d"où :
lim x→1x<1f(x) = 0 et d"autre partf(1) = 1, donc la limite à gauche defen1n"est pas égale àf(1), ce qui montre quefn"est pas continue en1.2. Nous allons montrer que la fonctiong:x?→ ?x?sin(πx)est continue surR. On note d"abord queg
est continue sur chacun des intervalles de la forme]n,n+ 1[avecn?Z. Il reste à montrer queg est continue en chaque entier relatif. Soitn?Z, alors lim x→nxetg(n) =nsin(nπ) = 0. Doncga des limites à droite et à gauche ennqui sont égales àg(n), ce
qui montre quegest continue enn.Exercice 6
On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsinx.1. Pour toutn?N, on posexn=π2
+ 2nπ. Alors la suite(xn)tend vers+∞, etsin(xn) = 1pour toutn, donc f(xn) =xnsin(xn) =xn doncf(xn)tend vers+∞.2. Pour toutn?N, on poseyn= 2nπ. Alors la suite(yn)tend vers+∞, etsin(yn) = 0pour toutn,
donc f(yn) =ynsin(yn) = 0 doncf(yn)tend vers0.3. Si la fonctionfavait une limite en+∞, alors (d"après le critère séquentiel) les suitesf(xn)etf(yn)
tendraient toutes les deux vers cette limite. Orf(xn)etf(yn)n"ont pas la même limite, doncfn"a pas de limite en+∞. 3Exercice 7
On définit deux suites(un)n≥1et(vn)n≥1en posant : u n=12nπetvn=1π 2 + 2nπ. Ces deux suites tendent vers0quandntend vers+∞. De plus cos ?1u n? = cos(2nπ) = 1etcos?1v n? = cos?π2 + 2nπ? = 0Par un raisonnement semblable à celui de l"exercice précédent, on en déduit que la fonctionx?→cos?1x
n"admet pas de limite en0.Exercice 8
a) D"après le cours, la fonctionf1est prolongeable par continuité en0si et seulement si elle a une
limite finie en0. Or nous avons la majoration : Commesinxtend vers0quandxtend vers0, il en résulte quef1tend vers0en0. Donc on peut prolongerf1par continuité en0en posant :f1(0) = 0. b) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) = lnex+e-x2 Alorsgest dérivable surR, etg(0) = 0. La fonctionf2s"écrit f2(x) =g(x)x
=g(x)-g(0)x On reconnaît le taux d"accroissement degentre0etx. Par conséquent,f2admet une limite finie en0, égale àg?(0). Calculons doncg?surR g ?(x) =? lnex+e-x2 =e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x Doncg?(0) = 0. Ainsi, en posantf2(0) = 0nous obtenons une fonctionf2continue surR. c) La fonctionf3est définie et continue surR\ {-1,1}. De plus, on calcule que : f3(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)=-1(1 +x).
On en déduit quef3a pour limite-12
quandxtend vers1. Et donc en posantf3(1) =-12 nous obtenons une fonction continue surR\ {-1}. Par contre, en-1la fonctionf3ne peut pasêtre prolongée par continuité, car elle n"admet pas une limite finie en ce point. Doncf3n"est pas
prolongeable par continuité surR.Exercice 9
Soit f(x) =cosx1 +x21. Nous avons
????cosx1 +x2? car|cosx|est majoré par1et1 +x2est minoré par1. 42. Comme la fonctionfest majorée par1, on sait queSupx?Rf(x)est inférieur ou égal à1. D"autre
part on constate quef(0) = 1, donc1est à la fois un majorant et une valeur de la fonctionf. Par conséquent,Supx?Rf(x) = 1.Exercice 10
Soitf:R→Rune fonction périodique de périodeT >0. On suppose quefadmet une limite finie (que
nous noterons?) quandxtend vers+∞. Nous allons montrer quefest constante. Soitx0?R, alors la suitex0+nTtend vers+∞, donc la suitef(x0+nT)converge vers?. D"autre part, on montre par récurrence que : f(x0+nT) =f(x0)pour toutn?Nc"est-à-dire que la suitef(x0+nT)est constante égale àf(x0). Doncf(x0) =?. Comme ce raisonnement
est valable pour n"importe quelle valeur dex0, on en déduit quefest constante égale à?.Exercice 11
La fonctionf(x)-xétant bornée sur[x0,+∞[, il existe un réelMtel queEn divisant parxon trouve
?x≥x0,????f(x)xQuand on fait tendrexvers+∞,Mx
tend vers0, donc|f(x)x -1|tend lui aussi vers0, d"où : lim x→+∞f(x)x = 1.Exercice 12
1. On considère la fonctionfdonnée par
f(x) =? ⎷1-x2si|x|<1 ax2+bx+csi|x| ≥1
Cette fonction est continue sur l"intervalle]-1,1[car elle est égale à la fonctionx?→⎷1-x2sur
cet intervalle. De même, elle est continue sur les intervalles]- ∞,-1[et]1,+∞[car elle est égale
à la fonctionx?→ax2+bx+csur ces intervalles. On en déduit quefest continue surRsi et seulement si elle est continue en-1et en1. Calculons les limites à droite et à gauche defen-1: lim x→-1x<-1f(x) = limx→-1x<-1ax2+bx+c=a-b+c=f(-1)
et limx→-1x>-1f(x) = limx→-1x>-1?1-x2= 0 Doncfest continue en-1si et seulement sia-b+c= 0. Par un calcul semblable, on trouve que fest continue en1si et seulement sia+b+c= 0. Au final, pour quefsoit continue il faut que a,betcsoient solution du système?a-b+c= 0 a+b+c= 0 Finalement, on se demande si ce système admet des solutions. En additionnant les deux équation on trouve quea+c= 0, en les soustrayant on trouve queb= 0. Donc ce système admet une infinité de solutions en prenantb= 0eta=-c. 52. Soitn?N. D"après la formule du binôme de Newton nous avons :
(1 +x)n= 1 +nx+?n 2? x2+···+nxn-1+xn
d"où : (1 +x)n-1x =n+?n 2? x+···+nxn-2+xn-1 Cette quantité tend versnquandxtend vers0. Donc on peut prolongerfpar continuité en0en posantf(0) =n.Exercice 13
Soit?la limite (finie) defenx0. Prenonsε= 1dans la définition de la limite. Alors il existeδ >0tel
que, pour toutx?D:C"est-à-dire que
Doncfest bornée dans le voisinageV= [x0-δ,x0+δ]dex0, ce qu"on voulait.Exercice 14
1. Il suffit de montrer que tout intervalle de la forme]a,b[contient une infinité de rationnels et une
infinité d"irrationnels. Commençons par remarquer que : - la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel; - la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.On distingue à présent deux cas :
(a) Le réelaest rationnel. Alors la suite?a+1n n≥1est une suite de nombres rationnels qui décroîtversa. L"intervalle]a,b[contient donc une infinité de valeurs de cette suite (plus précisément,
toutes les valeurs telles quensoit strictement supérieur à la partie entière de1b-a). De même,
la suite? a+⎷2 n n≥1est une suite de nombres irrationnels qui décroît versa, donc l"intervalle ]a,b[contient une infinité de valeurs de cette suite. (b) Le réelaest irrationnel. Il suffit alors de montrer l"existence d"un nombre rationnelcdansl"intervalle]a,b[, puis d"appliquer le résultat précédent à l"intervalle]c,b[. Pour montrer l"exis-
tence dec, on procède comme suit : sib-a >1, alors il existe un nombre entier strictement compris entreaetb, donc c"est gagné. Dans le cas contraire, commeb-aest strictement positif, on peut toujours choisir un entierq≥2tel queq(b-a)>1. Mais alors il existe un nombre entier (que l"on notep) strictement compris entreqaetqb. Il en résulte que a < pq < b ce qu"on voulait.2. En déduire que la fonctionδdéfinie surRpar
δ(x) =?1six?Q
0six??Q
est discontinue en tout point deR. 6quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] livre mécanique appliquée pdf
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