[PDF] Développements limités Donner un développement limité à





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Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles

c) La solution générale est y(x) = Ce4x -. 3. 4. 2. L'équation est y/(x) + y(x)=2ex : a(x)=1et f(x)=2ex . a 



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 aucun problème : elles sont toutes deux O(1/x²) au V(±?). 1ère méthode : on peut les calculer séparément par calcul des primitives. > f:=1/(x^4 ...



Corrigé du TD no 9

x?0 x2 = 0. Corrigé : D'après la définition l'énoncé « lim x?0 ln(1 + x)=0 ... f(x) =.. x si x < 1 x2 si 1 ? x ? 4. 8. ? x si x > 4.



7 Lois de probabilité

Pr (X ? 4) = f (4) + f (5). = (. 5. 4)(. 1. 2). 4 (12)1 et que la donnée du problème donne Pr (B



Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul

? f (x) = 21. 5 s2 + s + 4. Modèle 1 : Les 4 premières règles de dérivation. Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : a) f (x) = 3x2 alors ? f (x) =.



FONCTION DERIVÉE

Ainsi pour tout x de R {0}



Développements limités

Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = 2 Applications. Exercice 4. Calculer les limites suivantes lim x?0 ex2. ?cosx x2 lim x?0.



Trigonométrie

6. cosx = ? 1?2 ? x ? (?3?. 4 +?Z)?(3?. 4 +?Z). De plus S[0



Correction (très rapide) des exercices de révision

f(x)=1/x. 2. Donne sans aucun calcul et sans utiliser la calculatrice



Fractions rationnelles

Exercice 4. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R par identification des coefficients. 1. F = X. X2?4. 2. G = X3?3X2+X?4. X?1.



AP CALCULUS AB 2014 SCORING GUIDELINES - College Board

fx x x ( ) =?+ 43 2 3 4 and the other boundary is the line y =4 In part (a) students were expected to compute the volume of the solid generated when R



SageMath - Calculus Tutorial - Limits

7 fx x() ( 5) 1=?+2 ? 8 fx x() ( 3) 4=+ +3 9 fx x() 3 6=? ? ? Domain:_____ Domain:_____ Domain:_____ Range:_____ Range:_____ Range:_____



ECE 302: Lecture 43 Cumulative Distribution Function

fX(x) = Whenx>0: fX(x) = Therefore the overall PDF is 0 fX(x) =34 12e?2x 0 3= 4 =e?2x Summary Thecumulative distribution function (CDF)of Xis FX(x)def=P[X?x] CDF must satisfy theseproperties:Non-decreasing FX(??) = 0 andFX(?) = 1 P[a?X?b] =FX(b)?FX(a) Right continuous: Solid dot on at the start



Chapter 4 - Function of Random Variables - The University of

Chapter 4 - Function of Random Variables Let X denote a random variable with known density fX(x) and distribution FX(x) Let y = g(x) denote a real-valued function of the real variable x Consider the transformation Y = g(X) (4-1) This is a transformation of the random variable X into the random variable Y Random variable

What is the limit of f(x) as x approaches 4?

Most of the time, this is fairly straightforward. For a function f (x) = 2*x, for example, the limit of f (x) as x approaches 4 would simply be 8, since 2 times 4 is 8. The notation for this, as you will surely see in a calculus book, in a calculus classroom or on a calculus test, looks like:

Which represents the inverse of the function f(x) = 4x?

Which represents the inverse of the function f (x) = 4x? 4x is shorthand for 4* x or "4 times x " The inverse is the opposite of what is happening. So the opposite of multiplication. Division is the opposite of multiplication.

How do you find the CDF of X?

X(x) = ?e??xfor x ?0, and is 0 otherwise. Find the CDF of X. Solution. F X(x) = = ( 0, x

Développements limités Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

3.

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5

Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).

Le dl de cosxà l"ordre 3 est

cosx=112! x2+e1(x)x3:

Le dl de expxà l"ordre 3 est

expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.

On multiplie ces deux expressions

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 +e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit : 12! x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x314 x4112 x512 x2e2(x)x3: Mais on cherche un dl à l"ordre 3 donc tout terme enx4,x5ou plus se met danse3(x)x3, y compris x

2e2(x)x3qui est un bien de la formee(x)x3. Donc

12 x2

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x3+e3(x)x3:

Pour le troisième produit on a

e

1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =e1(x)x3+xe1(x)x3+=e4(x)x3

On en arrive à :

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1+x+12! x2+13! x3+e1(x)x3 12 x212 x3+e3(x)x3 +e4(x)x3il ne reste plus qu"à regrouper les termes : =1+x+(12 12 )x2+(16 12 )x3+e5(x)x3 =1+x13 x3+e5(x)x3

Ainsi le dl de cosxexpxen 0 à l"ordre 3 est :

cosxexpx=1+x13 x3+e5(x)x3: 6

2.(ln(1+x))2(à l"ordre 4).

Il s"agit juste de multiplier le dl de ln(1+x)par lui-même. En fait si l"on réfléchit un peu on s"aperçoit

qu"un dl à l"ordre 3 sera suffisant (car le terme constant est nul) : ln(1+x) =x12 x2+13 x3+e(x)x3 e

5(x)!0 lorsquex!0.

(ln(1+x))2=ln(1+x)ln(1+x) x12 x2+13 x3+e(x)x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 =x x12 x2+13 x3+e(x)x3 12 x2 x12 x2+13 x3+e(x)x3 13 x3 x12 x2+13 x3+e(x)x3 +e(x)x3quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37