[PDF] Références I Fonctions de plusieurs variables. II Continuité et

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Universit´e de Rennes1Ann´ee 2005-2006Outils Math´ematiques 4

Le programmeR´ef´erences

[1] D.Fredon, J.Ezquezza, M.Bridier,Math´ematiques pour les sciences physiques 2, (dans la s´erie TD de DUNOD). ( les TD de 1 `a 6 ( `a l"exception du TD 3), correspondent `a ce cours) (ce livre est aussi utile pour le cours d"Outils Math´ematiques 3)

I Fonctions de plusieurs variables.

- Introduction. - Fonctions partielles. Lignes de niveau. - Produit scalaire et vectoriel dansR2etR3 - Matrices 2×2 et 3×3 et leurs d´eterminants

II Continuit´e et diff´erentiabilit´e

- D´efinitions de limite et de continuit´e. Exemples. Calcul en coordonn´ees polaires.

- D´eriv´ees partielles premi`eres. D´eriv´ee suivant un vecteur. D´efinition de gradient en un

point.Diff´erentielle. Forme diff´erentielle. Exemples d"´equations aux d´eriv´ees partielles.

III Extrema

- Gradient, points critiques, th´eor`eme des fonctions implicites

- D´eriv´ees partielles d"ordre 2 (Hessien, Th´eor`eme de Schwarz.) Maxima et minima locaux.

Crit`eres. Extrema globaux. Formes quadratiques et m´ethode de Gauss. - Op´erateur Nabla en dimension 3 (gradient, divergence, rotationnel). Formes diff´erentielles exactes et ferm´ees.

IV Int´egrales curvilignes

- Courbes param´etr´ees. La longueur d"une courbe ne d´epend pas de sa param´etrisation, l"abs-

cisse curviligne, l"int´egrale curviligne d"une fonction. - Int´egrales curvilignes de circulation d"un champ de vecteurs. Interpr´etation comme travail du champ de forces "deux exemples de calcul de la circulation " int´egrale d"une forme

diff´erentielle le long d"une courbe Th´eor`eme : dans le cas d"une forme diff´erentielle exacte,

l"int´egrale ne d´epend que des positions initiale et finale Email: karim.bekka@univ-rennes1.fr bureau: 631 Bˆat.23, t´el.: 02 23 23 61 80

V Int´egrales doubles

- Changement de variables. Passage en coordonn´ees polaires. Calcul d"aires. Formule de Green- Riemann le lien entre les int´egrales curvilignes et les int´egrales doubles.

VI Int´egrales triples

- Calcul de volumes, de centre de gravit´e, de moments d"inertie. Int´egrale de surface. Flux d"un champ de vecteurs `a travers une surface. Formule de Stokes et formule d"Ostrogradski.

Page d"accueil du cours :http ://perso.univ-rennes1.fr/karim.bekka/om4.htmlEmail: karim.bekka@univ-rennes1.fr bureau: 631 Bˆat.23, t´el.: 02 23 23 61 80

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