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UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 - 2015

L1 Économie Cours de M. Desgraupes

Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 01 : Calcul algébriqueCorrigé ex. 1 : Inéquation

Il faut trouver toutes les valeurs dextelles que

(x+ 2)2(x1)2<1 Le numérateur(x1)2étant positif, on peut le faire passer à droite sans changer le signe de l"inégalité. On obtient : (x+ 2)2<(x1)2

On développe les carrés :

x

2+ 4x+ 4< x22x+ 1

En mettant tous lesxdans le membre de gauche, on obtient :

6x <3()x <12

Corrigé ex. 2 : Inéquation

Il faut trouver toutes les valeurs dextelles que

1x11x+ 1<1

Cette expression n"est pas définie pourx=1.

On commence par la réduire au même dénominateur :

2(x1)(x+ 1)<1

La quantité au dénominateur est négative six2]1;1[et positive à l"extérieur de cet intervalle. On va distinguer les deux cas.

Six2]1;1[

On fait passer le dénominateur à droite, ce qui renverse le sens de l"inégalité puis- qu"il est négatif :

2>(x1)(x+ 1)()2> x21()x2<3

Cette dernière condition est vérifiée puisquex2]1;1[signifie quex2<1. Dans ce cas, l"inégalité est vérifiée.

Six62]1;1[

On fait passer le dénominateur à droite sans changer le sens de l"inégalité puisqu"il est positif :

2<(x1)(x+ 1)()2< x21()x2>3

Ceci implique que soitx >p3, soitx Finalement, l"ensemble des solutions est] 1;p3[[]1;1[[]p3;+1[Corrigé ex. 3 : Inéquation

Il faut trouver toutes les valeurs dextelles que

x1x+ 2On va distinguer trois cas :

Six <2

Les deux dénominateurs sont négatifs. En les changeant de membre, on change deux fois le sens de l"inégalité et on obtient (x1)2<(x+ 2)2()x22x+ 1< x2+ 4x+ 4()6x >3()x >12 Cette condition est contradictoire six <2. Donc pas de solution dans ce cas.

Six2]2;1[

Dans ce cas(x+ 2)est positif mais(x1)est négatif. On renverse donc le sens de l"inégalité : (x1)2>(x+ 2)2()x22x+ 1> x2+ 4x+ 4()6x <3()x <12

Les solutions sont donc dans l"intervalle]2;12

Six >1

Les deux dénominateurs sont positifs. On les change de membre sans changer le sens de l"inégalité et on obtient comme dans le premier cas (x1)2<(x+ 2)2()x22x+ 1< x2+ 4x+ 4()6x >3()x >12

Cette condition est toujours vraie puisquex >1.

Finalement, l"ensemble des solutions est]2;1[[]1;+1[2

Corrigé ex. 4 : Équation

Il faut trouver toutes les valeurs dextelles que(x1)(x+ 2) = 2x28. On pourrait développer et regrouper lesxpour arriver à une équation du second degré mais ici il est plus astucieux de factoriser comme ceci : (x1)(x+ 2) = 2x28 = 2(x24) = 2(x2)(x+ 2) Les deux membres ont en commun le terme(x+ 2)donc une solution estx=2. Autrement, on peut simplifier par(x+ 2)et il reste : (x1) = 2(x2)()x= 3

Il y a finalement deux solutions : -2 et 3.Corrigé ex. 5 : Identitéa4+ 4Il faut montrer l"identité suivante :

a

4+ 4 = (a22a+ 2)(a2+ 2a+ 2)On part du membre de gauche et on utilise des identités remarquables :

(a22a+ 2)(a2+ 2a+ 2) = (a2+ 2)2a (a2+ 2) + 2a (a2+ 2)24a2 =a4+ 4a2+ 44a2 =a4+ 4Corrigé ex. 6 : Identitéa4b4Il faut monter que a

4b4= (a+b)(a3a2b+ab2b3)et

a

4b4= (ab)(a3+a2b+ab2+b3)Il suffit de développer les expressions de droite et d"éliminer les termes qui se

simplifient deux à deux : (a+b)(a3a2b+ab2b3) =a3(a+b)a2b(a+b) +ab2(a+b)b3(a+b) =a4+a3ba3ba2b2+a2b2+ab3b3ab4 =a4b4 On procède de même avec l"autre expression : (ab)(a3+a2b+ab2+b3) =a3(ab) +a2b(ab) +ab2(ab) +b3(ab) =a4a3b+a3ba2b2+a2b2ab3+b3ab4 =a4b4 3 Corrigé ex. 7 : Identitéa6b6Il faut monter que a

6b6= (a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2)On part de l"expression de droite et on applique les identités remarquables :

(a+b)(ab)(a2+ab+b2)(a2ab+b2) = (a2b2) (a2+b2) +ab (a2+b2)ab = (a2b2) (a2+b2)2a2b2 = (a2b2)(a4+a2b2+b4) =a6+a4b2+a2b4b2a4a2b4b6 =a6b6Corrigé ex. 8 : Identité de Brahmagupta

Il faut monter que

(a2+b2)(c2+d2) = (ad+bc)2+ (acbd)2Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre de gauche

conduit à : (a2+b2)(c2+d2) =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

Le membre de droite conduit à :

a

2d2+ 2adbc+b2c2+a2c22acbd+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

Les deux membres sont bien identiques.

Cette identité s"interprète en disant que le produit de deux nombres qui sont une somme de deux carrés est lui aussi un nombre qui est la somme de deux carrés et la formule indique comment se décompose ce nombre produit. Prenons l"exemple des nombres 5 et 10. Ils sont bien somme de deux carrés puisque 5 = 2

2+ 12et10 = 32+ 12. Avec la notation de la formule, on a donc icia= 2,

b= 1,c= 3,d= 1. On calcule donc les quantités : ad+bc= 5 acbd= 5 On constate effectivement que le produit510 = 50 = 52+ 52. Remarque :tout nombre entier ne s"écrit pas forcément comme une somme de deux carrés. En revanche, le théorème des quatre carrés de Lagrange stipule que tout entier positif peut s"exprimer comme la somme dequatrecarrés. 4

Corrigé ex. 9 : Identité de Lagrange

Il faut monter que

(a2+b2+c2)(a02+b02+c02)

= (aa0+bb0+cc0)2+ (ab0a0b)2+ (bc0b0c)2+ (ca0c0a)2Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre de gauche

conduit à : (a2+b2+c2)(a02+b02+c02) =a2+b2+c2a02+a2+b2+c2b02+a2+b2+c2c02 Dans le membre de droite il faut développer chaque carré, ce qui conduit à : (aa0+bb0+cc0)2=c2c02+ 2bcb0c0+ 2aca0c0+b2b02+ 2aba0b0+a2a02 (ab0a0b)2=a2b022aba0b0+b2a02 (bc0b0c)2=b2c022bcb0c0+c2b02 (ca0c0a)2=a2c022aca0c0+c2a02 En additionnant membre à membre les expressions de droite, on retrouve l"expres- sion développée du membre de gauche de l"identité car les produits avec quatre termes s"éliminent deux à deux. 5quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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