[PDF] Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

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L1-MATH II-(2005-2006).

R´esum´e sur les Int´egrales Impropres

&exercices suppl´ementaires Une fonction d´efinie sur un intervalleIest ditelocalement int´egrablesurIsifest Riemann- int´egrable sur tout intervalle [a;b]µI.

1. D´efinitions.

(1)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI= [a;b[ (on peut avoirb= +1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergenteenbsi la fonction

F(x) =Z

x a f(t)dt;d´efinie sur [a;b[;

admet une limite finie quandxtend versb(Cette limite finie est appel´ee l"int´egrale defsur [a;b[

et est not´eeZ b a f(t)dt). Dans le cas contraire, on dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestdivergente. (2)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI=]a;b] (on peut avoira=¡1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergenteenasi la fonction

F(x) =Z

b x f(t)dt;d´efinie sur ]a;b];

admet une limite finie quandxtend versa(Cette limite finie est appel´ee l"int´egrale defsur ]a;b]

et est not´eeZ b a f(t)dt). Dans le cas contraire, on dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestdivergente.

Exemples.

(a). On aZ x 0 e¡tdt= 1¡e¡x. Comme limx!+1e¡x= 0, l"int´egraleZ +1 0 e¡tdtest convergente et vaut 1. (b). On aZ x 0 cos(t)dt= sin(x). Comme limx!+1sin(x) n"existe pas, l"int´egraleZ +1 0 cos(t)dtest divergente. (c). On aZ 2 x1 t¡1dt=¡ln(x¡1), pourx >1. Comme limx!1ln(x¡1) =¡1, l"int´egraleZ 2 11 t¡1dt est divergente. (d). On aZ 1 x1 p t dt= 2¡2p x. Comme limx!0p x= 0, l"int´egraleZ 1 01 p t dtest convergente. (3)Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalleI=]a;b[ (on peut avoira=¡1,b= +1) et localement int´egrable surI. On dit que l"int´egraleZ b a f(t)dtestconvergente(enaetb) s"il existe c2]a;b[ (ou d"une facon ´equivalente si pour toutc2]a;b[) l"int´egraleZ c a f(t)dtest convergente en aet l"int´egraleZ b c f(t)dtest convergente enb. Par d´efinition on pose Z b a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c f(t)dt: 2 (4)Soitfune fonction d´efinie sur une r´eunion[

1·i·n]ai;bi[, avecbi·ai+1(on peut avoir

a

1=¡1,bn= +1) et localement int´egrable sur chaque ]ai;bi[. On dit que l"int´egraleZ

b a f(t)dt estconvergentesi pour touti, l"int´egraleZ bi a if(t)dtest convergente. Par d´efinition on pose Z b a f(t)dt=i=nX i=1Z bi a if(t)dt:

Exemples.

(a). Montrons que l"int´egraleZ +1

¡11

1 +t2dtest convergente. La fonction1

1 +t2est d´efinie et continue

(donc localement int´egrable) surR, donc il faut (et il suffit) de montrer que les int´egralesZ

0

¡11

1 +t2dt,

Z +1 01

1 +t2dtsont convergentes.

On a Z x 01

1 +t2dt= arctan(x), (x¸0),Z

0 x1

1 +t2=¡arctan(x), (x·0). Comme limx!+1arctan(x) =

¼=2 et limx!¡1arctan(x) =¡¼=2, les int´egralesZ 0

¡11

1 +t2dtetZ

+1 01

1 +t2dtsont convergentes et par

cons´equent Z +1

¡11

1 +t2dtest convergente et vaut¼.

(b). Montrons que l"int´egraleZ 2 01 t¡1dtest divergente. La fonction1 t¡1est d´efinie sur ]¡1;1[[]1;+1[.

Donc on ´etudie les int´egrales

Z 1 01 t¡1dtetZ 2 11 t¡1dt. D"apr`es ce qui pr´ec`ede,Z 2 11 t¡1dtest divergente et par cons´equent Z 2 01 t¡1dtest divergente. On consid`ere dans la suite une fonctionfd´efinie et localement int´egrable surI= [a;b[ et on

´etudie la convergence de l"int´egraleZ

b a f(t)dt. Toutes les autres int´egrales se ram`enent `a ce cas.

2. La convergence absolue.

On dit que l"int´egrale

Z b a f(t)dtestabsolument convergente(enb) si l"int´egraleZ b a jf(t)jdtest convergente (enb).

Th´eor`eme 1

Une int´egrale absolument convergente est convergente.

3. Int´egrales Impropres des fonctions `a signe constant.

Sifest n´egative surI, alors¡fest positive surIet la convergence de l"int´egraleZ b a f(t)dtse ram`ene `a celle de l"int´egrale Z b a ¡f(t)dt. Par cons´equent, dans la suite on ne consid`ere que le cas des fonctions positives. Crit`ere de la convergence major´ee.Sifest positive alors l"int´egraleZ b a f(t)dtest convergente (enb) si et seulement si la fonctionF(x) =Z x a f(t)dtest born´ee sur[a;b[. 3 Crit`ere de comparaison.Soitfetgdeux fonctions positives, d´efinies et localement int´egrables sur[a;b[. S"il existeM2Rtel quef(x)·Mg(x)pour toutx2[a;b[, alors la convergence de l"int´egraleZ b a g(t)dtentraˆıne celle deZ b a f(t)dt. Crit`ere de la convergence domin´ee.Soitfetgdeux fonctions positives, d´efinies et localement int´egrables sur[a;b[. (1).Sif=Ob(g)alors la convergence de l"int´egraleZ b a g(t)dtentraˆıne celle deZ b a f(t)dt. (2).Sif=ob(g)alors la convergence de l"int´egraleZ b a g(t)dtentraˆıne celle deZ b a f(t)dt.

Rappel. Soitfetgdeux fonctions d´efinie surD, o`uDest une r´eunion d"intervalles disjoints. Soit

b2¯Do`u¯Dest l"adh´erence deDdansR[ f¡1;+1g.

(1). On dit quefest n´egligeable devantgau voisinage debet on ´ecritf= ob(g) s"il existe une fonction

", d´efinie surD, telle quef=g"au voisinage debet limx!b"(x) = 0. (2) On dit quefest domin´ee pargau voisinage debet on ´ecritf=Ob(g), s"il existe une fonction" d´efinie surD, born´ee, telle quef=g"au voisinage deb.

Remarques.

(1). Signe s"annule pas surD¡fbg, alorsfest domin´ee pargau voisinage debsi et seulement sif g est born´ee au voisinage deb.

(2). Signe s"annule pas surD¡fbg, alorsfest n´egligeable devantgau voisinage debsi et seulement

si lim x!bf g = 0. (3).f= ob(g))f= Ob(g). f= Ob(g) implique, quandfetgsont positives, etb2R, qu"il existeM2R+et± >0 tels

que pour toutx2D\]b¡±;b+±[,f(x)·Mg(x). (Enoncer la propri´et´e analogue pourb=¡1

etb= +1).

Par cons´equent on voit, d"apr`es le crit`ere de la convergence major´ee ou celui de comparaison,

que siZ b a g(t)dtest convergente alorsZ b a f(t)dtest convergente.

Exemples.

(a). Pour toutt¸1, on ae¡t2·e¡tet donce¡t2= O+1(e¡t). Comme l"int´egraleZ +1 0 e¡tdtest convergente, l"int´egrale Z +1 0 e¡t2dtest aussi convergente. (b). Montrons que l"int´egraleZ +1 1 t®¡1e¡tdtest convergente o`u® >0. Cherchons une fonctiong(t) devant laquellefest n´egligeable au voisinage de +1. On a lim t!+1t

®¡1e¡t

1 t

2= limt!+1t

®+1

e t= 0:

Donct®¡1e¡t= o+1(1

t

2) et d"apr`es le crit`ere de la convergence domin´ee, l"int´egraleZ

+1 1 t®¡1e¡tdt est convergente.

Crit`ere des ´equivalents.Soitfetgdeux fonctions positives, d´efinies et localement int´egrables

sur[a;b[. Sifest ´equivalente `agau voisinageb, alors les int´egralesZ b a f(t)dt,Z b a g(t)dtsont de la mˆeme nature.

Exemples.

4 (a). Montrons que l"int´egraleZ 1 0 t®¡1e¡tdtest convergente o`u® >0 (Rappelons quet®¡1=e(®¡1) lnt

et donc la fonctionf(t) =t®¡1e¡tn"est pas d´efinie en 0). Cherchons une fonctiong(t) ´equivalente `afau

voisinage de 0. On a lim t!0t

®¡1e¡t

t

®¡1= limt!0e¡t= 1:

Donct®¡1e¡t»0t®¡1et d"apr`es le crit`ere des ´equivalents l"int´egraleZ 1 0 t®¡1e¡tdtest convergente car l"int´egrale Z 1 0 t®¡1dtest convergente.

4. Int´egrales de r´ef´erences.

(a). (Int´egrales de Riemann). Soit®2R. Z +1 a1 t ®dt, (a >0), est convergente si et seulement si® >1. Z a 01 t ®dt, (a >0), est convergente si et seulement si® <1. (b) (Int´egrales de Bertrand). Soit®;¯2R. Z +1 a1 t ®(lnt)¯dt, (a >0), est convergente si et seulement si (® >1) ou (®= 1 et¯ >1). (c) (Int´egrale de Gauss). L"int´egraleZ +1 0 e¡t2dtest convergente et vautp 2 (d) (Int´egrale de Dirichlet). L"int´egraleZ +1 0sint t dtest convergente et vaut¼ 2 (e) (Int´egrales de Fresnel). Les int´egralesZ +1 0 sin(t2)dtetZ +1 0 cos(t2)dtsont convergentes et leurs valeurs est p 2 p 2

Exercices suppl´ementaires

Exercice 1. D´eterminer la nature des int´egrales suivantes et, lorsqu"elles convergent, les calculer.

Z 1 0 lnt dt;Z +1 01 p t(1 +t)dt;Z 1 0t (1¡t)2dt Z +1

1arctan(t)

1 +t2dt;Z

+1 01 p t(t+ 1);Z

¼=2

0 tan(t)dt;Z 1 0e t t dt:

Exercice 2.

Etudier la convergence des int´egrales suivantes : Z +1 0quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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