Représentation graphique des termes dune suite récurrente
Représentation graphique des termes d'une suite récurrente. Rappel. Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence un+1 = f(un)
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES. Pour chacun des graphiques ci-dessous on considère une ou plusieurs suites définies par récurrence.
REPRÉSENTATION DUNE SUITE RÉCURRENTE
Une suite récurrente simple est définie par son premier terme et la relation on rencontre un certain nombre de représentations de suites récurrentes :.
Chapitre I Les suites numériques
DEFINITIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE 1. definitions et représentation graphique ... On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 1 (ou suite ...
Suites Représentations graphiques TI-82 Stats
Suites. Représentations graphiques. TI-82 Stats ? On considère la suite u définie par: u0 = 1 et pour tout entier n.
Suites Prise en main des menus suite TI-83+
En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u
Calculatrice Casio Graph 35+ Suites
Suites ? Casio Graph 35+ page 2 / 2. Représentation graphique de la suite. Pour représenter graphiquement une suite il faut auparavant avoir fait un
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En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u
ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R 3 Représentation Graphique d'une suite récurrente.
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Suites récurrentes. Dans tout le TD Existence et représentation graphique d'une suite récurrente ... on trace d'abord les représentations graphiques.
Cours : Les suites récurrentes
I Représentation graphique d’une suite récurrente Soit la suite dé?nie pour tout n 2N par 8 >> < >>: u0 ?064 un¯1 ?1¯2 p un Pour représenter les termes de cette suite on va tracer dans un repère : •la droite D d’équation y ? x qui va servir à passer d’une valeur de l’axe des ordonnées à la même valeur sur l’axe
SUITES NUMÉRIQUES RÉELLES et ÉQUATIONS DE RÉCURRENCE
On obtient une représentation graphique de la suite avec plot([seq([nu(n)]n=0 N)] style=pointoptions éventuelles) Il est d'usage de joindre les points par des segments de droite et c'est pourquoi on superpose dans l'exemple suivant les graphiques g1 et g2 à l'aide de display g1:=plot([seq([nlog(n^2)]n=1 10)]style=point)
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence u n+1 = f(u n) on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x Puis : a
Images
• tout les termes de la suite existent • tout les termes de la suite sont dans l’intervalle J Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration majoration) concernant u n pour tout n? N Exemple : Soit la suite (u n) n?N d´e?nie par u0 = 2 et pour tout n? N u n+1 = u n+ 1 un
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1 Généralités : calculs de termes mode de dé?nition (explicite récurrente) représentation graphique sens de variation Exercice no 1 (corrigé ci après) Soit u la suite dé?nie pour tout entier naturel n par un ?n2 ¡3n¯2 1 Calculer u0 u1 u2 u3 u4 et u5 2 Peut-on calculer u100 directement?
Qu'est-ce que la représentation graphique de la suite?
Ùest le premier terme • Dans un repère, la représentation graphique de la suiteb?est l’ensemble des points bmb?de coordonnées (n ; b?b?) On compte des objets. Compter, c’est associer à des entiers naturels un objet d’une collection donnée.
Comment représenter les termes d’une suite récurrente ?
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquementune suite définie par récurrence u n+1= f(u n), on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x . Puis : a. On place le premier terme de la suite sur l’axe des abscisses : u
Quelle est la représentation graphique d'une fonction ?
En dehors des fonctions linéaires et affines, la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite. L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x. Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnée y.
Comment mettre en relation les représentations graphiques et les données numériques?
Pour cela, les différents raisonnements nécessitent souvent des allers-retours entre des représentations graphiques et des données numériques, voire des informations figurant dans un texte. Il s’agit alors de sélectionner les informations pertinentes et de les mettre en relation.
Lyc´ee Dominique VillarsCOURS
ECE 1ETUDE des SUITES RECURRENTES
On appelle suite r´ecurrente toute suite (un)nNtelle qu"il existe une fonction r´eellef:IRtelle que :
nN, un+1=f(un) *On va voir comment ´etudier le comportement de (un)nN`a partir de l"´etude de la fonctionf.1 Intervalle stable parf- Existence et encadrement des termes de(un)nN
D´efinition - Intervalle stable parf.
Soit une fonctionf:IRavecIR. SoitJun intervalle telle queJI. On dit queJest stable parfsi et seulement sif(J)Jou autrement dit si xJ , f(x)JExemple :
L"intervalle [0,1] est stable parf:xx?x2.
L"intervalle [?1,1] est stable parg:xx3.
L"intervalle [0,169] est stable parh:x
x+ 47. +M´ethode : Comment montrer qu"un intervalle est stable par une fonction ?Afin de montrer qu"un intervalleJest stable par une fonctionf, il est suffit d"´etudier les variations defcontinue
surJet d"en d´eduire les valeurs minimales et maximales prises parfsurJ.1/ SiJ= [m,M] et que
minxJf(x)?mmaxxJf(x)?M alorsJest stable parf.2/ SiJ=]? ,M] et que maxxJf(x)?MalorsJest stable parf.
3/ SiJ= [m,+[ et que minxJf(x)?malorsJest stable parf.
Int´erˆet 1 : Existence de tout les termes de la suite(un)nN Il est important de bien comprendre qu"il existe des suites r´ecurrentes "mal d´efinies"!!Observons par exemple :
¬la suite (un)nNd´efinie paru0= 5 etnN,un+1= un?1. la suite (vn)nNd´efinie parv0= 2 etnN,vn+1=1 vn1.Soient donc les fonctionsf:x
x?1 etg:x1x1d´efinies respectivement surDf= [1;+[ etDg=R?1 On a nN, un+1=f(un) etvn+1=g(vn) Calculons les premiers termes de ces deux suites : u 1= u0?1 =4 = 2u2=u1?1 =2?1 = 1u3=u2?1 =0 = 0...maisu4n"existe pas!! v 1=1 u0?1=12?1= 1...maisv2n"existe pas!!Dans ces deux exemples, on peut observer queDfn"est pas stable parfet de mˆemeDgn"est pas stable parg.
Ainsi il est possible d"obtenir `a partir d"un ´el´ementxDf(respect.Dg) une image parf(respect. parg),
f(x)/Df(respect.g(x)/Dg) ?ATTENTION ce n"est pas parce queDfn"est pas stable parfqu"une suite (un)nNtelle que pour tout nN,un+1=f(un), est "mal d´efinie"!!En effet, ce probl`eme d"existence des termes de la suite d´epends ´egalement de la valeur du premier termeu0!!!
ExempleModifions la valeur du premier terme de la suite (vn)nNd´efinie ci-dessus. En d´efinissant la suite (wn)nNparw0=?1 et pour toutnN,wn+1=1 wn1=g(wn) alors : w 1=1 ?1?1=?12w2=1?12?1=?23w3=1?23?1=?35w4=1?35?1=?58... etc On peut montrer que tout les termes de cette suite sont bien d´efinies...!!!+M´ethode : Comment d´emontrer que tout les termes d"une suite r´ecurrente sont bien d´efinis ?
Supposons que l"intervalleJDfsoit un intervalle stable defet queu0J. On peut alors montrer par r´ecurrence quenN,unexiste etunJ. Pour le d´emontrer, posons l"hypoth`ese de r´ecurrence suivante : n: "unexiste etunJ"0est vraie.
Supposons quenest vrai. Alorsunexiste etunJ. OrJDfest stable parfdoncf(un) existe et (par stabilit´e deJparf)f(un)f(J)J. Doncun+1=f(un) existe et appartient `aJ. Ainsin+1est vraie.Par cons´equent,nN,nest vraie.
+Ainsi pour d´emontrer que tout les termes de la suites (un)nNsont bien d´efinis, il suffit de d´eterminer un
intervalleJstable parfcontenant la valeur deu0!!! Exercice 1: D´eterminer un intervalleJstable parg:x1x1telle quew0J.Remarque: Il est ´egalement possible de montrer par exemple queu1existe puis de d´eterminer un intervalleJ
stable parfcontenantu1!! Exercice 2: Soit la suite (zn)nNd´efinie parz0= 3 et pour toutnN,zn+1=1 zn1. (i) Calculerz1. (ii) D´eterminer un intervalleJstable parg:x1 x1telle quez1J. Int´erˆet 2 : Encadrement des termes de la suite(un)nNEn d´emontrant queJest stable parfet queu0J, le principe de r´ecurrence nous a permis de d´emontrer que :
tout les termes de la suite existent. tout les termes de la suite sont dans l"intervalleJ. Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration,majoration) concernantunpour toutnN.Exemple:
Soit la suite (un)nNd´efinie paru0= 2 et pour toutnN,un+1=un+1 un. (i) on montre que l"intervalleJ= [1;+[ est stable parf:xx+1 x. (ii) on d´eduit que pour toutnN,un?1.2 Points fixes defet limites ´eventuelles de(un)nN
D´efinition - Point fixe d"une fonction.
Soit une fonctionf:DfR. SoitxDf. On dit quexest un point fixe defsif(x) =x. ?Attention une fonctionfpeut admettre plusieurs point fixe (une infinit´e mˆeme cf.f:xx) maisfpeut ´egalement n"admettre aucun point fixe!!Exemple - Exercice:
1 est un point fixe def:x3x2?2 carf(1) = 1. La fonctionfadmet-elle un autre point fixe?
Remarque : Point fixe et repr´esentation graphiquefUn point fixe defcorrespond `a l"abscisse d"un point d"intersection defet de la "premi`ere bissectrice" : la droite
d"´equationy=x.Th´eor`eme - Localisation de point fixe.
Soitfune fonction continue surI. Supposons que le segment [a,b] est stable parf. Alorsfposs`ede un point fixe appartenant dans l"intervalle [a,b].+Ainsi (`a condition quefsoit continue) dans un intervalle stable parf, il existe n´ec´essairement un point fixe def!!
D´emonstration :
On posegtel queg(x) =f(x)?x. La fonctiongest continue sur[a,b]etg(a) =f(a)?a?0etg(b) =f(b)?b?0 (carf(a)etf(b)[a,b]).En appliquant, le th´eor`eme des valeurs interm´ediares `agcontinue sur[a,b], il existec[a,b]tel queg(c) = 0
c"est `a diref(c) =c.RAPPEL - Th´eor`eme:
Soitfune fonction continue en un pointl(ou sur un intervalle contenantl) etu= (un)nNune suite convergeant
versl. Alors la suite (f(un))nNconverge versf(l).Supposons maintenant que la suite r´ecurrente (un)nN(telle queun+1=f(un)) converge vers une limite finiel:
(i) le rappel ci-dessous assure que lim n+un+1= limn+f(un) =f(l). (ii) d"autre part, lim n+un+1= limn+un=l. Ainsi par unicit´e de la limite d"une suite, on obtient quel=f(l) =lest donc un point fixe def!! Th´eor`eme du POINT FIXE - Limite ´eventuelle de la suite(un)nN Soit (un)nNune suite r´ecurrente du typeun+1=f(un). Si la suite converge verslet si la fonctionfest continue enl , alorslest un point fixe def: f(l) =lRemarque 1 :
Sifn"admet aucun point fixe, alors toute suite r´ecurrente (un)nNdu typeun+1=f(un) n"est pas convergente!!
Exemple : (un)nNd´efinie paru0Retun+1=un+1
unn"est pas convergente!!Remarque 2 :En g´en´eral, la fonctionfposs`ede non pas un mais plusieurs points fixes. Pour d´eterminer la
limite ´eventuelle de (un)nN, on utilise le r´esultat classique sur les suites : sinN, un[a,b]et si la suite(un)nNconverge verslalorsl[a,b]3 Repr´esentation Graphique d"une suite r´ecurrente
En utilisant la courbefassoci´ee `af, on peut repr´esenter la suiteud´efinie parun+1=f(un) sur l"axe des
abscisses du rep`ere orthonorm´e dans lequel on a trac´ef.La droite d"´equationy=xpermet de rapporter les points de l"axe des ordonn´ees `a l"axe des abscisses et met en
´evidence l"´eventuelle limite de la suite qui est l"abscisse d"un point d"intersection de cette droite avecf.
Ci-dessous, repr´esentation des premiers termes de la suite (un)nNd´efinie par u0= 2un+1=un+ 4
un?5+ 24 Monotonie des suites4.1 Etude du signe deun+1?un
Supposons queJsoit un intervalle stable tel queu0J. On d´eduit alors quenN,unJ.On cherche `a connaitre la monotonie de la suite (un)nN. De mani`ere g´en´erale on ´etudie pour cela le signe de
u n+1?un=f(un)?un.Quand est-ce-que ce crit`ere permet de conclure ? R´eponse :quand le signe def(x)?xest constant surJ!!
Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0. Sipour toutxJ,f(x)?x?0alorsla suite (un)nNest croissante. Sipour toutxJ,f(x)?x?0alorsla suite (un)nNest d´ecroissante. En effet, supposons que toutxJ,f(x)?x?0. Sachant quenN,unexiste etunJalors : nN, un+1?un=f(un)?un?04.2 Casfcroissante.
Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0. Si de plusfest croissante surJalors la suite (un)nNest monotone.Plus pr´ecis´ement :
·Siu1?u0alors (un)nNest d´ecroissante.
D´emonstration :
On calcule explicitementu1=f(u0)et on distingue les deux cas suivants :Cas 1 :u0?u1
On va montrer par r´ecurrence que la suiteuest croissante. Posons ainsi, n: "un?un+1"0est trivialement vraie (c"est la condition du cas 1!!!) Supposons quensoit vraie doncun?un+1.
Orfest croissante surJetun,un+1Jdonc :f(un)?f(un+1)un+1?un+2. Ainsin+1est vraie. Par cons´equentnN,nest vraie et la suiteuest croissante.Cas 2 :u0?u1
On pose alors pournN
n: "un?un+1"0est trivialement vraie. Sinest vraie c.a.d.un?un+1, et commefest croissante surJetun,un+1Jalors
:f(un)?f(un+1)un+1?un+2. Ainsin+1est vraie. Par cons´equentnN,nest vraie et la suiteuest d´ecroissante.Exemple :
Ci-dessous sont repr´esent´es les premiers termes de la suite (un)nNd´efinie par la relationnN,un+1=
un. u0= 0,2 alorsu1=0,2> u0 u0= 1,9 alorsu1=1,9< u04.3 Casfd´ecroissante.
Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0.Sifest d´ecroissante sur l"intervalleIalors les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont monotones de sens contraires
(l"une croissante l"autre d´ecroissante!!) Introduisons les deux suites auxiliairesaetbd´efinies pour toutnNpar : a n=u2net bn=u2n+1Alors on a :
a n+1=u2(n+1)=u2n+2=f(u2n+1) =f(f(u2n)) = (ff)(an) Donc la suiteav´erifie une relation de r´ecurrence donn´ee par : nN, an+1= (ff)(an) Par d´efinitionnN,an=u2nJet la fonctionffest croissante surJ. On est donc ramen´e au cas d"une fonction croissante ´etudi´e ci-dessus. Ainsi (an)nNest : croissante sia1?a0c"est `a direu2?u0. d´ecroissante sia1?a0c"est `a direu2?u0.On v´erifie de mˆeme que la suite (bn)nNest d´efinie par la relationbn+1= (ff)(bn) donc peut ˆetre ´etudi´ee comme
(an)nN. Ainsi (bn)nNest : croissante sib1?b0c"est `a direu3?u0. d´ecroissante sib1?b0c"est `a direu3?u1. Remarque Les deux suitesaetbseront de monotonies contraires. En effet, sia0?a1u0?u2 alors par d´ecroissance def,f(u0)?f(u2)u1?u3ainsib0?b1.Exemple:
Ci-dessous les premiers termes de la suite (un)nNd´efinie paru0=12et pour toutnN,un+1=1un+12.
5 Comportement asymptotique de la suite(un)nN
5.1 Cas(un)nNmonotone
Supposons que :
il existeJDftel quenN, unJ. (un)nNest monotone : croissante ou d´ecroissante.Cas croissant
1/ Si (un)nNest major´ee (exemple, siJ= [m,M] avecmR, MR) alors elle converge vers un point fixe de
fappartenant `aJ2/ Si (un)nNne semble
pas major´ee (par exempleJ= [m,+[).On essaie de minorer (un)nNpar un nombrem:
nN, un?mtel qu"il n"existe pas de point fixe pourfsur [m,+[ et on utilise le raisonnement par l"absurde suivant :
Supposons que la suite (un)nNconverge vers une limite finiel. Par suitel?metlest un point fixe def. Orf
ne poss`ede pas de point fixe sur [m,+[ : contradiction !! Donc la suite (un)nNne converge pas et puisqu"elle est croissante, elle divergevers +.Cas d´ecroissant
1/ Si (un)nNest minot´ee (exemple, siJ= [m,M] avecmR, MR) alors elle converge vers un point fixe de
fappartenant `aJ2/ Si (un)nNne semble
pas minor´ee (par exempleJ=]? ,M[).On essaie de majorer (un)nNpar un nombreM:
nN, un?Mtel qu"il n"existe pas de point fixe pourfsur ]? ,M] et on utilise le raisonnement par l"absurde suivant :
Supposons que la suite (un)nNconverge vers une limite finiel. Par suitel?Metlest un point fixe def. Orf
ne poss`ede pas de point fixe sur ]? ,M] : contradiction !! Donc la suite (un)nNne converge pas et puisqu"elle est d´ecroissante, elle diverge vers?.5.2 Cas(un)nNn"est pas monotone
Il s"agit du cas ´etudi´e dans la sectionfd´ecroissante. Les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont monotones donc on
peut leur appliquer le raisonnement de la section pr´ec´edente pour d´eterminer leurs convergences respectives.
Puis on applique le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme
La suite (un)nNconverge verslsi et seulement si les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNconvergent toutes les deux
vers le r´eell. *Dans ce cas les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont adjacentes!!!quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] représenter graphiquement une suite arithmétique
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