[PDF] Chapitre I Les suites numériques





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Représentation graphique des termes dune suite récurrente

Représentation graphique des termes d'une suite récurrente. Rappel. Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence un+1 = f(un) 



REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES

REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES. Pour chacun des graphiques ci-dessous on considère une ou plusieurs suites définies par récurrence.



REPRÉSENTATION DUNE SUITE RÉCURRENTE

Une suite récurrente simple est définie par son premier terme et la relation on rencontre un certain nombre de représentations de suites récurrentes :.



Chapitre I Les suites numériques

DEFINITIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE 1. definitions et représentation graphique ... On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 1 (ou suite ...



Suites Représentations graphiques TI-82 Stats

Suites. Représentations graphiques. TI-82 Stats ? On considère la suite u définie par: u0 = 1 et pour tout entier n.



Suites Prise en main des menus suite TI-83+

En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u 



Calculatrice Casio Graph 35+ Suites

Suites ? Casio Graph 35+ page 2 / 2. Représentation graphique de la suite. Pour représenter graphiquement une suite il faut auparavant avoir fait un 



Suites Prise en main des menus suite TI-82stats

En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u 



ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f

On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R 3 Représentation Graphique d'une suite récurrente.



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Suites récurrentes. Dans tout le TD Existence et représentation graphique d'une suite récurrente ... on trace d'abord les représentations graphiques.



Cours : Les suites récurrentes

I Représentation graphique d’une suite récurrente Soit la suite dé?nie pour tout n 2N par 8 >> < >>: u0 ?064 un¯1 ?1¯2 p un Pour représenter les termes de cette suite on va tracer dans un repère : •la droite D d’équation y ? x qui va servir à passer d’une valeur de l’axe des ordonnées à la même valeur sur l’axe



SUITES NUMÉRIQUES RÉELLES et ÉQUATIONS DE RÉCURRENCE

On obtient une représentation graphique de la suite avec plot([seq([nu(n)]n=0 N)] style=pointoptions éventuelles) Il est d'usage de joindre les points par des segments de droite et c'est pourquoi on superpose dans l'exemple suivant les graphiques g1 et g2 à l'aide de display g1:=plot([seq([nlog(n^2)]n=1 10)]style=point)



Représentation graphique des termes d’une suite récurrente

Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence u n+1 = f(u n) on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x Puis : a



Images

• tout les termes de la suite existent • tout les termes de la suite sont dans l’intervalle J Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration majoration) concernant u n pour tout n? N Exemple : Soit la suite (u n) n?N d´e?nie par u0 = 2 et pour tout n? N u n+1 = u n+ 1 un



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1 Généralités : calculs de termes mode de dé?nition (explicite récurrente) représentation graphique sens de variation Exercice no 1 (corrigé ci après) Soit u la suite dé?nie pour tout entier naturel n par un ?n2 ¡3n¯2 1 Calculer u0 u1 u2 u3 u4 et u5 2 Peut-on calculer u100 directement?

Qu'est-ce que la représentation graphique de la suite?

Ùest le premier terme • Dans un repère, la représentation graphique de la suiteb?est l’ensemble des points bmb?de coordonnées (n ; b?b?) On compte des objets. Compter, c’est associer à des entiers naturels un objet d’une collection donnée.

Comment représenter les termes d’une suite récurrente ?

Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquementune suite définie par récurrence u n+1= f(u n), on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x . Puis : a. On place le premier terme de la suite sur l’axe des abscisses : u

Quelle est la représentation graphique d'une fonction ?

En dehors des fonctions linéaires et affines, la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite. L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x. Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnée y.

Comment mettre en relation les représentations graphiques et les données numériques?

Pour cela, les différents raisonnements nécessitent souvent des allers-retours entre des représentations graphiques et des données numériques, voire des informations figurant dans un texte. Il s’agit alors de sélectionner les informations pertinentes et de les mettre en relation.

Chapitre I

Les suites numériques

Les suites voient leur importance dans tous les aspects de la discrétisation (voir

l'échantillonnage) que l'on peut rencontrer dans le domaine du génie électrique, on parle alors

de signaux discrets.

1. DEFINITIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE

1.1. Définition

Une suite numérique est une fonction de Գ dans Թ définie par : ݑ pour désigner la suite dans son ensemble et ݑ pour désigner l'image de l'entier ݊, encore appelé n

ème

terme de la suite.

1.2. Mode de définition d'une suite

L e s suites numé r iques so nt g n ralem ent définies selon deux modes : - Soit ݑ est donné directement en fonction de ݊ ; on parle de définition explicite. - Soit ݑ

est donné en fonction des ݇ termes précédents ; on parle de définition par récurrence

(ou implicite) d'ordre ݇. Dans ce cas, il est nécessaire de connaître les ݇ valeurs initiales. 1.3. Représentation graphique

Suite définie de façon explicite ()

n ufn=1.3.1.

Pour la définition explicite : ݑ

la suite sous forme de bâtons pour les premières valeurs de ݊. Figure 1. Suite définie de façon explicite

0 1 2 3 4

௡B: T; J Q 4 Q 6 Q 7 Q 8 Q

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2 Chapitre I : Les suites numériques

Suite définie de façon implicite ࢛

Pour la définition par récurrence : ݑ

•Cas général : calculer les premiers termes et faire une représentation graphique de la

suite sous forme de bâtons pour les premières valeurs de ݊. •Cas particulier, ݑ repère

Figure 2.

Figure 3. Suite définie par ࢛

Algorithme :

i = premier indice de la suite

Pour les premiers indices de la suite

Partir de

i u, aller chercher verticalement la courbe de f puis horizontalement la droite yx=: vous obtenez 1i u

FinPour

1.4. Suites de références

Suite de Dirac 1.4.1.

Figure 4. Dirac

n 1 Q B:T; Q ULT

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1. definitions et représentation graphique 3

Suite " échelon unité » 1.4.2.

Figure 5. Echelon unité

Suite arithmétique 1.4.3.

Figure 6. Suite arithmétique

écrire la définition implicite de la suite

raison ݎ et de premier terme ܽ 0 012 0 ().(1)...2 n n np p uunuuu u u

Suite géométrique 1.4.4.

n 1 n a a+r a+2.r a+3.r

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4 Chapitre I : Les suites numériques

Figure 7. Suite géométrique

écrire la définition implicite de la suite

raison ݍ et de premier terme ܽ 1 012 0 0 (1 )... .(1 ) nn np p quuu u u uq Suite récurrentes linéaires d'ordre 1 1.4.5.

On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 1 (ou suite arithmético-géométrique) de raisons ݍ et

ݎ, et de premier terme ܽ

്ܽͲ et ܾ

Cas particuliers :

osi ݍൌͳ et r, on obtient la suite suivante : osi ݎൌͲ et \1q, on obtient la suite suivante : n a q.a q.q.a q.q.q.a

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2. convergence d'une suite 5

Suite récurrentes linéaires d'ordre 2

1.4.6.

Propriété : Toute suite récurrente linéaire d'ordre 2 peut s'écrire comme combinaison linéaire

de 2 suites.

Passage à l'écriture implicite : On appelle équation caractéristique associée à une suite

récurrente linéaire d'ordre 2, l'équation suivante : 2 .0sasb= : (1). 0= : 12 n n uns=+, avec s racine réelle double de (1) ; 0> : 11 22 nn n us s=+, avec s 1 et s 2 racines réelles de (1) ; 0< : 12 .( .cos( . ) .sin( . )) n n unn =+ , avec 1 j se = et 2 j se =, racines complexes de (1) ;

Dans les 3 cas, les deux paramètres

1 et 2 sont déterminés à partir des conditions initiales.

2. CONVERGENCE D'UNE SUITE

2.1. Définition et théorème

Définition 2.1.1.

()lim nn uL =. Si L est infini ou n'existe pas, la suite est dite divergente.

Théorème 2.1.2.

2.2. Suites de références

•Pour tout réel tel que 0>, la suite 1 n converge vers 0 ; •Pour tout réel tel que 0>, la suite n diverge vers + ; •Pour tout réel q tel que 1q<, la suite n q converge vers 0 ; •Pour tout réel q tel que 1q, la suite n q diverge.

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6 Chapitre I : Les suites numériques

2.3. Définitions et vocabulaires

Une suite

n u est majorée si, pour tout n, on a n uM ;

Une suite

n u est minorée si, pour tout n, on a n um ;

Une suite

n u est bornée si, pour tout n, on a n mu M ;

Une suite

n u est croissante si, pour tout n, on a 1nn uu

Une suite

n u est décroissante si, pour tout n, on a 1nn uu Une suite croissante ou décroissante est dite monotone ;

Une suite

n u est alternée si, pour tout n, on a 1 .0 nn uu

2.4. Etude de la monotonie d'une suite

Suite définie de façon implicite ()

n ufn=2.4.1.

Si ( )

n ufn=: •Si f est croissante, alors n u est croissante ; •Si f est décroissante, alors n u est décroissante ;

Suite définie de façon explicite

1 nn ufu =2.4.2. Si 1 nn ufu

Si f est croissante et

10 uu>, alors n u est croissante ; •Si f est croissante et 10 uu<, alors n u est décroissante ; •(Dans les autres cas, on ne peut pas conclure).

Etudier le signe de

1nn uu

2.4.3.

•Si 1 0 nn uu alors n u est croissante ; •Si 1 0 nn uu alors n u est décroissante ;

Etudier le rapport de

1 nn uu et le comparer avec 1 2.4.4. •Si 1 /1 nn uu alors n u est croissante ; •Si 1 /1 nn uu alors n u est décroissante ;

2.5. Théorème sur la convergence

Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. Toute suite monotone et bornée est convergente.

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3. limite d'une suite 7

3. LIMITE D'UNE SUITE

3.1. Opération sur les limites

Soient deux suites

n u et n v convergentes, de limite respective L et Lҋ , alors : nn uv+ est convergente, de limite L+Lҋ ; n u, (avec réel) est convergente, de limite .L ; nn uv, est convergente, de limite L.Lҋ ; nn uv, est convergente, de limite L/Lҋ , sous réserve que '0L.

3.2. Théorème des gendarmes

Si deux suites

n u et n v sont convergentes vers une même limite L, et si à partir d'un certain rang n, on a nnn uwv, alors la suite n w est convergente de limite L.

3.3. A partir de la définition explicite

Si ( )

n ufn= et ()lim ( ) x fx L = alors ()lim nn uL

3.4. A partir de la définition implicite (d'ordre 1) : théorème du point fixe

Soit 1 nn ufu = et 0 [,]uab.

Théorème du point fixe :

- si pour ],[xab , '( ) 1fx< ; - si pour [,]xab , () [,]fx ab ; Alors n u est convergente vers L, solution unique de l'équation ()fx x= dans [,]ab.

3.5. Les suites adjacentes

Définition 3.5.1.

Deux suites

n u et n v sont adjacentes, si et seulement si : - L'une est croissante, l'autre est décroissante et ()lim 0 nnn uv

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8 Chapitre I : Les suites numériques

Théorème 3.5.2.

Deux suites

n u et n v adjacentes sont convergentes et ont la même limite L.

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