Représentation graphique des termes dune suite récurrente
Représentation graphique des termes d'une suite récurrente. Rappel. Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence un+1 = f(un)
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES
REPRESENTATION GRAPHIQUE DE SUITES RECURRENTES. Pour chacun des graphiques ci-dessous on considère une ou plusieurs suites définies par récurrence.
REPRÉSENTATION DUNE SUITE RÉCURRENTE
Une suite récurrente simple est définie par son premier terme et la relation on rencontre un certain nombre de représentations de suites récurrentes :.
Chapitre I Les suites numériques
DEFINITIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE 1. definitions et représentation graphique ... On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 1 (ou suite ...
Suites Représentations graphiques TI-82 Stats
Suites. Représentations graphiques. TI-82 Stats ? On considère la suite u définie par: u0 = 1 et pour tout entier n.
Suites Prise en main des menus suite TI-83+
En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u
Calculatrice Casio Graph 35+ Suites
Suites ? Casio Graph 35+ page 2 / 2. Représentation graphique de la suite. Pour représenter graphiquement une suite il faut auparavant avoir fait un
Suites Prise en main des menus suite TI-82stats
En déduire une autre méthode calcul des 15 premiers termes de chaque suite. 3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u
ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R 3 Représentation Graphique d'une suite récurrente.
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Suites récurrentes. Dans tout le TD Existence et représentation graphique d'une suite récurrente ... on trace d'abord les représentations graphiques.
Cours : Les suites récurrentes
I Représentation graphique d’une suite récurrente Soit la suite dé?nie pour tout n 2N par 8 >> < >>: u0 ?064 un¯1 ?1¯2 p un Pour représenter les termes de cette suite on va tracer dans un repère : •la droite D d’équation y ? x qui va servir à passer d’une valeur de l’axe des ordonnées à la même valeur sur l’axe
SUITES NUMÉRIQUES RÉELLES et ÉQUATIONS DE RÉCURRENCE
On obtient une représentation graphique de la suite avec plot([seq([nu(n)]n=0 N)] style=pointoptions éventuelles) Il est d'usage de joindre les points par des segments de droite et c'est pourquoi on superpose dans l'exemple suivant les graphiques g1 et g2 à l'aide de display g1:=plot([seq([nlog(n^2)]n=1 10)]style=point)
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence u n+1 = f(u n) on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x Puis : a
Images
• tout les termes de la suite existent • tout les termes de la suite sont dans l’intervalle J Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration majoration) concernant u n pour tout n? N Exemple : Soit la suite (u n) n?N d´e?nie par u0 = 2 et pour tout n? N u n+1 = u n+ 1 un
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1 Généralités : calculs de termes mode de dé?nition (explicite récurrente) représentation graphique sens de variation Exercice no 1 (corrigé ci après) Soit u la suite dé?nie pour tout entier naturel n par un ?n2 ¡3n¯2 1 Calculer u0 u1 u2 u3 u4 et u5 2 Peut-on calculer u100 directement?
Qu'est-ce que la représentation graphique de la suite?
Ùest le premier terme • Dans un repère, la représentation graphique de la suiteb?est l’ensemble des points bmb?de coordonnées (n ; b?b?) On compte des objets. Compter, c’est associer à des entiers naturels un objet d’une collection donnée.
Comment représenter les termes d’une suite récurrente ?
Représentation graphique des termes d’une suite récurrente Rappel Pour représenter graphiquementune suite définie par récurrence u n+1= f(u n), on trace au préalable : • la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ; • la droite d’équation y = x . Puis : a. On place le premier terme de la suite sur l’axe des abscisses : u
Quelle est la représentation graphique d'une fonction ?
En dehors des fonctions linéaires et affines, la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite. L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x. Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnée y.
Comment mettre en relation les représentations graphiques et les données numériques?
Pour cela, les différents raisonnements nécessitent souvent des allers-retours entre des représentations graphiques et des données numériques, voire des informations figurant dans un texte. Il s’agit alors de sélectionner les informations pertinentes et de les mettre en relation.
Chapitre I
Les suites numériques
Les suites voient leur importance dans tous les aspects de la discrétisation (voirl'échantillonnage) que l'on peut rencontrer dans le domaine du génie électrique, on parle alors
de signaux discrets.1. DEFINITIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE
1.1. Définition
Une suite numérique est une fonction de Գ dans Թ définie par : ݑ pour désigner la suite dans son ensemble et ݑ pour désigner l'image de l'entier ݊, encore appelé nème
terme de la suite.1.2. Mode de définition d'une suite
L e s suites numé r iques so nt g n ralem ent définies selon deux modes : - Soit ݑ est donné directement en fonction de ݊ ; on parle de définition explicite. - Soit ݑest donné en fonction des ݇ termes précédents ; on parle de définition par récurrence
(ou implicite) d'ordre ݇. Dans ce cas, il est nécessaire de connaître les ݇ valeurs initiales. 1.3. Représentation graphique
Suite définie de façon explicite ()
n ufn=1.3.1.Pour la définition explicite : ݑ
la suite sous forme de bâtons pour les premières valeurs de ݊. Figure 1. Suite définie de façon explicite0 1 2 3 4
B: T; J Q 4 Q 6 Q 7 Q 8 Q509782340-028586_001_400.indd 1309782340-028586_001_400.indd 1305/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
2 Chapitre I : Les suites numériques
Suite définie de façon implicite ࢛
Pour la définition par récurrence : ݑ
•Cas général : calculer les premiers termes et faire une représentation graphique de la
suite sous forme de bâtons pour les premières valeurs de ݊. •Cas particulier, ݑ repèreFigure 2.
Figure 3. Suite définie par ࢛
Algorithme :
i = premier indice de la suitePour les premiers indices de la suite
Partir de
i u, aller chercher verticalement la courbe de f puis horizontalement la droite yx=: vous obtenez 1i uFinPour
1.4. Suites de références
Suite de Dirac 1.4.1.
Figure 4. Dirac
n 1 Q B:T; Q ULT09782340-028586_001_400.indd 1409782340-028586_001_400.indd 1405/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
1. definitions et représentation graphique 3
Suite " échelon unité » 1.4.2.
Figure 5. Echelon unité
Suite arithmétique 1.4.3.
Figure 6. Suite arithmétique
écrire la définition implicite de la suite
raison ݎ et de premier terme ܽ 0 012 0 ().(1)...2 n n np p uunuuu u uSuite géométrique 1.4.4.
n 1 n a a+r a+2.r a+3.r09782340-028586_001_400.indd 1509782340-028586_001_400.indd 1505/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
4 Chapitre I : Les suites numériques
Figure 7. Suite géométrique
écrire la définition implicite de la suite
raison ݍ et de premier terme ܽ 1 012 0 0 (1 )... .(1 ) nn np p quuu u u uq Suite récurrentes linéaires d'ordre 1 1.4.5.On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 1 (ou suite arithmético-géométrique) de raisons ݍ et
ݎ, et de premier terme ܽ
്ܽͲ et ܾ
Cas particuliers :
osi ݍൌͳ et r, on obtient la suite suivante : osi ݎൌͲ et \1q, on obtient la suite suivante : n a q.a q.q.a q.q.q.a09782340-028586_001_400.indd 1609782340-028586_001_400.indd 1605/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
2. convergence d'une suite 5
Suite récurrentes linéaires d'ordre 2
1.4.6.
Propriété : Toute suite récurrente linéaire d'ordre 2 peut s'écrire comme combinaison linéaire
de 2 suites.Passage à l'écriture implicite : On appelle équation caractéristique associée à une suite
récurrente linéaire d'ordre 2, l'équation suivante : 2 .0sasb= : (1). 0= : 12 n n uns=+, avec s racine réelle double de (1) ; 0> : 11 22 nn n us s=+, avec s 1 et s 2 racines réelles de (1) ; 0< : 12 .( .cos( . ) .sin( . )) n n unn =+ , avec 1 j se = et 2 j se =, racines complexes de (1) ;Dans les 3 cas, les deux paramètres
1 et 2 sont déterminés à partir des conditions initiales.2. CONVERGENCE D'UNE SUITE
2.1. Définition et théorème
Définition 2.1.1.
()lim nn uL =. Si L est infini ou n'existe pas, la suite est dite divergente.Théorème 2.1.2.
2.2. Suites de références
•Pour tout réel tel que 0>, la suite 1 n converge vers 0 ; •Pour tout réel tel que 0>, la suite n diverge vers + ; •Pour tout réel q tel que 1q<, la suite n q converge vers 0 ; •Pour tout réel q tel que 1q, la suite n q diverge.09782340-028586_001_400.indd 1709782340-028586_001_400.indd 1705/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
6 Chapitre I : Les suites numériques
2.3. Définitions et vocabulaires
Une suite
n u est majorée si, pour tout n, on a n uM ;Une suite
n u est minorée si, pour tout n, on a n um ;Une suite
n u est bornée si, pour tout n, on a n mu M ;Une suite
n u est croissante si, pour tout n, on a 1nn uuUne suite
n u est décroissante si, pour tout n, on a 1nn uu Une suite croissante ou décroissante est dite monotone ;Une suite
n u est alternée si, pour tout n, on a 1 .0 nn uu2.4. Etude de la monotonie d'une suite
Suite définie de façon implicite ()
n ufn=2.4.1.Si ( )
n ufn=: •Si f est croissante, alors n u est croissante ; •Si f est décroissante, alors n u est décroissante ;Suite définie de façon explicite
1 nn ufu =2.4.2. Si 1 nn ufuSi f est croissante et
10 uu>, alors n u est croissante ; •Si f est croissante et 10 uu<, alors n u est décroissante ; •(Dans les autres cas, on ne peut pas conclure).Etudier le signe de
1nn uu2.4.3.
•Si 1 0 nn uu alors n u est croissante ; •Si 1 0 nn uu alors n u est décroissante ;Etudier le rapport de
1 nn uu et le comparer avec 1 2.4.4. •Si 1 /1 nn uu alors n u est croissante ; •Si 1 /1 nn uu alors n u est décroissante ;2.5. Théorème sur la convergence
Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. Toute suite monotone et bornée est convergente.09782340-028586_001_400.indd 1809782340-028586_001_400.indd 1805/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
3. limite d'une suite 7
3. LIMITE D'UNE SUITE
3.1. Opération sur les limites
Soient deux suites
n u et n v convergentes, de limite respective L et Lҋ , alors : nn uv+ est convergente, de limite L+Lҋ ; n u, (avec réel) est convergente, de limite .L ; nn uv, est convergente, de limite L.Lҋ ; nn uv, est convergente, de limite L/Lҋ , sous réserve que '0L.3.2. Théorème des gendarmes
Si deux suites
n u et n v sont convergentes vers une même limite L, et si à partir d'un certain rang n, on a nnn uwv, alors la suite n w est convergente de limite L.3.3. A partir de la définition explicite
Si ( )
n ufn= et ()lim ( ) x fx L = alors ()lim nn uL3.4. A partir de la définition implicite (d'ordre 1) : théorème du point fixe
Soit 1 nn ufu = et 0 [,]uab.Théorème du point fixe :
- si pour ],[xab , '( ) 1fx< ; - si pour [,]xab , () [,]fx ab ; Alors n u est convergente vers L, solution unique de l'équation ()fx x= dans [,]ab.3.5. Les suites adjacentes
Définition 3.5.1.
Deux suites
n u et n v sont adjacentes, si et seulement si : - L'une est croissante, l'autre est décroissante et ()lim 0 nnn uv09782340-028586_001_400.indd 1909782340-028586_001_400.indd 1905/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
8 Chapitre I : Les suites numériques
Théorème 3.5.2.
Deux suites
n u et n v adjacentes sont convergentes et ont la même limite L.09782340-028586_001_400.indd 2009782340-028586_001_400.indd 2005/11/2018 16:4105/11/2018 16:41
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