[PDF] Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2012

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?Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2012?

EXERCICE15 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal?

O;-→i;-→j?

On considère les points B(100 ; 100) et C?

50 ;50

?e? et la droite (D) d"équationy=x.

On notefla fonction définie surRdont la courbe représentative, notéeΓ, est donnée en annexe.

On suppose de plus qu"il existe deux réelsaetbtels que :

•pour toutxréel,f(x)=xeax+b.

•les points B et C appartiennentà la courbeΓ.

1. a.B(100;100)?Γ??100=f(100)??100=100e100a+b??1=e100a+b??

0=100a+b.

C

50 ;50

?e? Le couple (a;b) est donc solution du système :???100a+b=0

50a+b=-1

2 b.???100a+b=0

50a+b=-1

2???100a+b=0

100a+2b=-1???100a+b=0

b=-1???100a=1 b=-1?? a=0,01 b=-1

Donc, pour toutxréel,f(x)=xe0,01x-1.

2.On sait que limx→+∞0,01x-1= +∞et limy→+∞ey= +∞d"où limx→+∞e0,01x-1= +∞et comme

lim x→+∞x=+∞on a finalement limx→+∞f(x)=+∞

3. a.Pour toutxréel,f(x)=xe0,01x-1=100×0,01xe0,01xe-1=100

e×0,01xe0,01x

b.limx→-∞0,01x= -∞et en posanty=0,01x, limy→-∞yey=0 d"où par composition de li-

mites lim x→-∞f(x)=0

4.fest dérivable surRet pour toutxréel on a :

f

Comme e

0,01x-1>0 quel que soit le réelx, la dérivée a le signe du facteur 1+0,01x.

décroissante ailleurs. f(-100)= -100e0,01×(-100)-1= -100e-2≈ -13,53 est donc le minimum de la fonction surR.

D"où le tableau de variations suivant :

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

x-∞ -100+∞ f ?(x)-0+ f(x) -100e-2

0+∞

5.Pour toutxréel on a :f(x)-x=x?e0,01x-1-1?.

Avec e

0,01x-1-1?0??e0,01x-11?1??e0,01x-11?e0??0,01x-1?0 (par croissance

de la fonction exponentielle)??0,01x?1??x?100.

On a donc le tableau de signes suivants :

x-∞0 100+∞ x e

0,01x-1-1

f(x)-x- +0 0 0 0 La courbeΓest donc en dessous de la droite (D) sur ]0 ; 100] et au dessus ailleurs.

Γet (D) ont deux points communs : B et C.

6. a.Posonspourtouttréel;u(t)=xetv?(t)=e0,01t-1onaalorsu?(t)=1etv(t)=100e0,01t-1.

Les fonctionsu,v,u?etv?sont continues surRcar dérivables sur [0 ; 100] d"où par in- tégration par parties on obtient :?100 0 f(t)dt=?t×100e0,01t-1?1000-? 100
0

100e0,01t-1dt

=10000-10000? 1-1 e? 10000
e. b.La courbeΓest donc en dessous de la droite (D) sur [0 ; 100] donc on a A=? 100
0 t-f(t)dt 100
0 tdt-? 100
0 f(t)dt ?t2 2? 100

0-9900e

=5000-10000 e?1321

Polynésie28 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE25 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

, on considère les points A, B et C d"affixes respectivesa=-2+2i,b=-3-6i etc=1.

La figure de l"exercice est donnée en annexe. Elle peut servirà émettre des conjectures, à vérifier

des résultats.

1.Le triangle ABC semble rectangle en C.?--→CA,--→CB?

=arg?-3-6i-1 -2+2i-1? =arg?-4-6i-3+2i? =arg?2i(2i-3)-3+2i? =arg(2i)=π2

Le triangle ABC est donc bien rectangle en C.

2. a.L"écriture complexe de la rotationrde centre B et d"angleπ

2est :

z ?-(-3-6i)=eiπ b.L"affixe du point A?image de A parresta?=i(-2+2i)-9-3i=-11-5i c.L"affixesdu point S milieu de [AA?] ests=a+a?

2=-2+2i-11-5i2=-132-32i.

d.LetriangleABC étantrectangleenCle centredesoncercle circonscrit estΩlemilieu de [AB] qui a pour affixe-5

2-2i. Son rayon estΩA=????

-2+2i-? -52-2i? ?=????12+4i???? 65
2

OrΩS=????

-13

2-32i-?

-52-2i? -82+12i???? 65

2doncSest bien sur le cercle circons-

crit au triangle ABC.

3.On construit de la même manière C?l"image de C par la rotation de centre A et d"angleπ

2, Q le milieu de [CC ?], B?l"image de B par la rotation de centre C et d"angleπ

2et P le milieu de

[BB On admet que les affixes respectives de Q et de P sontq=1

2+52i etp=2-5i.

a.Démontrer ques-q p-a=-13

2-32i-12-52i

2-5i+2-2i=-7-4i4-7i=-4i+7i24-7i=-i.

b.On a donc?--→AP;--→QS? =arg(-i)= -π

2. Les droites (AP) et (QS) sont donc perpendicu-

laires.

De plus????s-q

p-a???? =QSAP= |-i| =1 donc que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur. 4. p-s q-b=2-5i+13 2+32i 1

2+52i+3+6i=17

2-72i 7

2+172i=-i.

On a donc

?--→BQ;--→SP? =arg(-i)=-π

2. Les droites (BQ) et (SP) sont donc perpendiculaires.

On montre de même que les droites (CS) et (PQ) sont perpendiculaires. Les droites (AP), (BQ) et (CS) sont donc les trois hauteursdutriangle PQS donc sont concou- rantes

Polynésie38 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

PARTIE A

LorsqueN=3 l"algorithme effectue trois boucles avant de s"arrêter. Àla fin de la boucle pourk=0

on aU=3; à la fin de la bouclek=1 on aU=10 et à la fin de la boucle correspondant àk=2 on obtientU=29.

L"affichage en sortie est donc 29.

PARTIE B

On considère la suite

(un)définie paru0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=3un-2n+3.

1.u1=3 etu2=10.

2. a.Démontrons par récurrence, pour tout entier natureln, la propriétéPn:un?n.

•u0=0?0 donc la propriétéP0est vérifiée. •Supposons la propriétéPnvraie pour une valeur denquelconque. u n+1=3un-2n+3?3n-2n+3?n+3?n+1 la propriété est donc alors vérifiée au rangn+1. •Conclusion : la propriété est vraie au rang0 et si elle est vraie au rangnelle est vraie au rangn+1 : d"après la propriété de récurrence on en déduit que pour tout entier natureln,un?n. b.d"après le théorème de comparaison lim(un)=+∞.

3.Pour tout entier natureln;un+1-un=3un-2n+3-un=2un-2n+3?3?0 donc la suite

un)est croissante.

4.Soit la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=un-n+1.

a.Pourtoutentiernatureln vn+1=un+1-(n+1)+1=3un-2n+3-n-1+1=3(un-n+1)= v n+1=3vn.

La suite

(vn)est une suite géométrique de premier termev0=1 et de raison 3. b.Pour tout entier natureln,vn=3netun=vn+n-1 doncun=3n+n-1.

5.Soitpun entier naturel non nul.

a.La suite(un)tend vers+∞donc on peut affirmer qu"il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn?n0,un?10p. b.u3p=33p+3p-1=27p+3p-1?27p?10pdoncn=3pest une valeur dentelle que u n?10p;n0étant la plus petite de ces valeurs, on a doncn0?3p c.u6=734 etu7=2193 donc pour la valeurp=3;n0=7. d.Algorithme qui, pour une valeur depdonnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entiern0tel que, pour toutn?n0, on aitun?10p.

Polynésie48 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nulp.

Traitement

Affecter àUla valeur 0

Affecter àkla valeur 0

Tant queU<10p

Affecter àUla valeur 3U-2k+3

Affecter àkla valeurk+1

Fin tant que

Sortie

Afficherk

r

Polynésie58 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Si on note les évènements :

B: "le cube est bleu»

R: "le cube est rouge»

C: "le cube a ses faces marquées d"un cercle» L: "le cube a ses faces marqués d"un losange» E: "le cube a ses faces marquées d"une étoile».On a l"arbre suivant : B 60%C
40%
L 20% E 40%
R 40%C
20% L x% E (80-x)%

PARTIE A expérience 1

1.La probabilité que soit tiré un cube marqué d"un losange est égale à :

60%×20%+40%×x%=0,6×0,2+0,4×x

100=0,12+0,004x.

marqué d"une étoile.

100??0,12+0,004x=0,24+0,32-0,004x

??0,008x=0,44

??x=55La probabilité de tirer un cube marquéd"un losange est égale à celle de tirer uncube marqué d"une étoile pourx=55.

3.Les évènements " tirer un cube bleu » et " tirer un cube marqué d"un losange » sont indé-

pendants équivaut àPB(L)=P(L)=PR(L) soit pourx=20.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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