[PDF] Leçon 10 Exercices corrigés Exercice 10. Soit X une

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Leçon 10 Exercices corrigés

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.SoitXune variable aléatoire sur un espace probabilisé( ;A;P) de loi exponentielleE(1)de paramètre1. a) Décrire et représenter la fonction de répartition de la loi de la variable aléa- toireZ= min(X;2). b) Décomposer la loi deZsous la forme d"une combinaison linéaire d"une masse de Dirac et d"une mesure à densité. Corrigé.a) S"agissant d"un minimum, il est plus efficace de chercher pour commencer1FZ(t) =P(Z > t). Pour toutt2R, P min(X;2)> t=(P(X > t)sit <2,

0sit2.

Ainsi, commeP(X > t) =etpour toutt >0, il s"ensuit que la fonction de répartitionFZde la variable aléatoireZ= min(X;2)est de la forme F

Z(t) = 1P(Z > t) =8

>:0sit <0,

1etsi0t <2,

1sit2.

b)FZest continue, sauf au pointt= 2auquel elle présente un saut d"amplitude e

2. Sinon, elle est aussi dérivable en dehors det= 0ett= 2, de dérivée

f(t) =et?]0;2[(t),t2R. Ainsi la loi deZse décompose sous la forme de la sommee22+fd. Exercice 2*(Fonction quantile ou inverse généralisée). SoitXune variable aléatoire réelle. Démontrer que la fonction de répartitionFXde la loi deXest croissante, continue à droite, et vérifielimt!1FX(t) = 0etlimt!+1FX(t) = 1. 1 SoitF:R![0;1]une fonction croissante, continue à droite telle que lim t!1F(t) = 0etlimt!+1F(t) = 1. On se propose de montrer qu"il existe une loi surRdontFest la fonction de répartition. a) On définit la fonction inverse généraliséeF(1)deFpar la formule F (1)(y) = infx2R;F(x)y: Montrer que poury2]0;1[,F(1)(y)est bien définie (i.e. la borne inférieure existe dansR). b) Montrer que poury2]0;1[,F(1)(y)tsi et seulement siyF(t). c) SoitUune variable aléatoire de loi uniforme sur]0;1[. Montrer que la variable aléatoireF(1)(U)a pour fonction de répartitionF. Corrigé.a) Commelimt!1F(t) = 0etlimt!+1F(t) = 1, il existe, pour chaquey2]0;1[,t0>0tel queF(t0)< yetF(t0)y. Ainsi, fx2R;F(x)ygest une partie non vide (contenant par exemplet0) et mi- norée (par exemple part0) deR. Elle admet donc une borne inférieure. b) Si yF(t), alorst2 fx2R;F(x)yg, et donc tinfx2R;F(x)y=F(1)(y): Réciproquement, par définition de l"infimum, pour tout" >0, il existex2R vérifiantF(x)ytel que xF(1)(y) +": Ainsi, siF(1)(y)t, alorsxt+"et par croissance deF, yF(x)F(t+"): CommeFest continue à droite, lorsque"!0, il s"ensuit queyF(t). c) Par définition,P(Us) =spour touts2[0;1]. PoserX=F(1)(U) 2 pour soulager les notations. D"après le point précédent,X=F(1)(U)tsi et seulement siUF(t). Ainsi, pour toutt2R, F

X(t) =P(Xt) =PUF(t)=F(t):

ce qui est le résultat. Cette observation est utilisée pour simuler des variables aléatoires de loi quelconque à partir de la simulation d"une loi uniforme. À noter que les argu- ments précédents montrent de la même façon que siXest une variable aléatoire dont la loi admet une fonction de répartitionFXcontinue, alors la variable aléatoireFX(X)suit la loi uniforme sur[0;1]. Exercice 3.SoitXune variable aléatoire de loi exponentielleE(1)de paramètre1; déterminer les lois de la partie entièreN=bXcet de la partie décimaleD=X bXcdeX, et du couple(N;D). Corrigé.Le calcul de la loi du couple permettra de répondre à toutes les questions. Pour; :R!Rdes fonctions boréliennes, positives ou bornées, le théorème de transport pour la loi deXet la fonctionx7!(bxc) (xbxc) fournit

E(N) (D)=EbXc X bXc

Z [0;1[bxc x bxcexd: En décomposant l"intégrale suivant les intervalles[n;n+ 1[,n0, E (N) (D)=1X n=0(n)Z [n;n+1[ (xn)exd; et après le changement de variabley=xnsur chaque intervalle[n;n+ 1[, E (N) (D)=1X n=0(n)enZ [0;1[ (y)eyd: 3 Si la fonction est constante égale à1, il en résulte que E (N)=e1e 1 X n=0(n)en de sorte que la loi deNest la probabilité discrèteP=e1e P n2N[f0genn (vérifier qu"elle est bien de masse totale1, c"est une forme de la mesure géomé- trique de paramètre 1e ou11e suivant la convention). De la même façon, si la fonctionest constante égale à1, E (D)=ee1Z [0;1[ (y)eyd de sorte que la loi deDest la mesure de probabilitéQde densitéf(y) =ee1ey, y2[0;1[, par rapport à la mesure de Lebesguesur[0;1[(vérifier qu"elle est bien de masse totale1). La loi du couple(N;D)est le produit des probabilités

PetQpuisque

E (N) (D)=Z (N[f0g)[0;1[ dP Q: Exercice 4(Loi de l"arcsinus). SoitC(respectivementD) le cercle (res- pectivement disque) de centre0et de rayon 1 dansR2et :D n f0g ! Cla fonction définie par (x;y) =xpx

2+y2;ypx

2+y2 On munitCde la tribu de ses boréliens et de la mesure de probabilitéP, image de la mesure de Lebesgue normalisée surD nf0gpar la fonction(autrement ditPest la mesure uniforme1, ici normalisée, sur la sphèreS1=C- voir Théorème 3, Leçon 4). SoitX:C !Rl"application première coordonnée, i.e. X(x;y) =x. Démontrer que la loi deXsousPa pour densité1

1p1x2?]1;+1[(x)

4 par rapport à la mesure de Lebesgue surR(appelée loi de l"arcsinus, car sa fonction de répartition est donnée par 1 arcsin(t) +12 ,t2[1;+1]).Corrigé.La loi deXsousPest décrite par les intégralesR

C(x)dP(x;y)

pour:R!Rborélienne, positive ou bornée. CommePest la mesure image parde la mesure de LebesguesurD nf0g(normalisée), d"après la formule d"intégration par rapport à une mesure image (Proposition 9, Leçon 3), Z C (x)dP(x;y) =1 Z

Dnf0gxpx

2+y2 d(x;y): Par une intégration en coordonnées polaires, Z C (x)dP(x;y) =1 Z ]0;2]Z ]0;1]cos()d()d() 12Z ]0;2]cos()d(): Le changement de variableu= cos()(sur]0;]) fournit finalement Z C (x)dP(x;y) =1 Z ]1;+1[(u)1p1u2d(u) ce qui exprime le résultat. 5 Exercice 5.Le couple aléatoire(X;Y)est uniformément réparti sur le disque unitéDdeR2. a) Déterminer les lois marginales. b) Déterminer la loi du couple(R;)des coordonnées polaires de(X;Y). (In- dication: évaluerE((R) ())pour des fonctions boréliennes, positives ou bornées,; :R!R.) c) Mêmes questions si(X;Y)suit la loi de densitéf(x;y) =12e12 (x2+y2), (x;y)2R2, par rapport à la mesure de Lebesgue surR2. Corrigé.a) La question a été traitée dans l"Exercice 9, Leçon 8 : la loi du couple(X;Y)a pour densité1 ?Dpar rapport à la mesure de Lebesgue 2= surR2, et la loi marginale commune deXetYest la loi du demi-cercle de densité 2 p1x2?[1;+1](x),x2R, par rapport à la mesure de LebesguesurR. b) En suivant l"indication, et par transport pour la loi du couple

E(R) ()=1

Z D

R(x;y) (x;y)d2(x;y):

Le changement de variables en coordonnées polairesx=cos(),y=sin(),

2]0;1[,2]0;2[, fournit

E (R) ()=1 Z ]0;1[Z ]0;2[() ()d2(;) Z ]0;1[]0;2[() ()212d()d() Z ]0;1[()2d() Z ]0;2[ ()12d()

Le couple(R;)a ainsi pour loi le produitP

Qdes mesures (de probabilité)

Pde densité2?]0;1[()etQde densité12?]0;2[()par rapport à la mesure de Lebesgue surR. La loi deRestP, la loi deestQ(l"angleest donc uniforme sur]0;2[). c) Dans ce cas, le couple(R;)a pour loi le produit 6 P

Qdes mesures (de probabilité)Pde densitée12

2?]0;1[()etQde densité

12?]0;2[()par rapport à la mesure de Lebesgue surR.

Exercice 6.Soit(X;Y)un couple de variables aléatoires dont la loi admet la densitéf(X;Y)(x;y) =c(x2+y2)e12 (x2+y2),(x;y)2R2, par rapport à la mesure de Lebesgue surR2. Que vaut la constantec? Montrer que les lois marginales deXetYadmettent des densitésfXetfYque l"on déterminera. Les variablesXetYsont-elles corrélées? Comparerf(X;Y)avec le produit f XfY. Exercice 7.SoitXune variable aléatoire de loi exponentielleE()de paramètre >0. Déterminer la transformée de LaplaceLXde la loi deX, en précisant son domaine de définition. En déduireE(Xk)pour toutk1, et

Var(X).

Exercice 8(Loi Gamma). Déterminer la transformée de Fourier'de la mesure de probabilité de densité

1(p)pxp1ex,p; >0, par rapport à la

mesure de Lebesgue sur]0;1[, appelée loi Gamma (p;)de paramètres(p;) (sip= 1, il s"agit de la loi exponentielleE()). En déduire les premier et second moments. Les retrouver par un calcul direct. Corrigé.Par définition de la transformation de Fourier d"une mesure, pour toutu2R, '(u) =1(p)Z ]0;1[eitxpxp1exd=iu p (par un changement de variable formel avec un facteur complexe qui peut se justifier rigoureusement, par exemple par prolongement analytique de la transformée de Laplace réelle). Par ailleurs, la loi Gamma admet des mo- ments de tous ordres. En conséquenceR ]0;1[xd (p;) =i'0(0) =p etR ]0;1[x2d (p;) ='00(0) =p(p+1) 2. 7 Exercice 9(Loi log-normale). Une variable aléatoireXà valeurs réelles strictement positives est dite de loi log-normale siY= ln(X)suit une loi normaleN(m;2). Calculer l"espérance et la variance deXsim= 0et2= 1. Indications.Par définition,X=eY. Donc, par transport,

E(X) =E(eY) =1p2Z

R exe12 x2d:

Écrirex12

x2=12 (x1)2+12 , puis effectuer le changement de variable y=x1. Idem pourE(X2) =E(e2Y). Exercice 10.SoitXune variable aléatoire de loi normale centrée réduite

N(0;1).

a) Pour toute fonctiong:R!Rde classeC1, bornée ainsi que sa dérivée, démontrer que

EXg(X)=Eg0(X):

b) Soit'Xla fonction caractéristique de (la loi de)X. Établir une équation différentielle entre'0Xet'X. En déduire la valeur de'X(u)pour toutu2R. c) Soientm2Ret >0, et soitZ=m+X. CalculerE(Z)etVar(Z). d) Déterminer la densité de la loi deZ. Quelle est la loi deZ? e) Quelle est la fonction caractéristique'Zde (la loi de)Z? Corrigé.a) Commegest bornée, la variable aléatoireXg(X)est intégrable carXl"est. Par le théorème de transport, E

Xg(X)=Z

R xg(x)e12 x2d=Z +1 1 xg(x)e12 x2dx puisque les intégrales de Lebesgue et de Riemann coïncident ici. Par intégration par parties,Z+1 1 xg(x)e12 x2dx=g(x)e12 x2+1 1+Z +1 1 g0(x)e12 x2dx: 8 Commegest bornée, le premier terme du membre de droite est nul, et par transport le second est précisémentE(g0(X)), ce qu"il fallait démontrer. b) Comme la fonction sinus est impaire, par le théorème de transport,

X(u) =Ecos(uX) +isin(uX)

1p2Z

Rcos(ux) +isin(ux)e12

x2d(x) 1p2Z R cos(ux)e12 x2d(x) =Ecos(uX) pour toutu2R. En particulier, la fonction caractéristique'Xest à valeurs réelles. D"après le théorème de dérivabilité de Lebesgue,'0X(u) =E(Xsin(uX)), u2R. La question précédente appliquée àx7!sin(ux)pour toutu2Rfournit

E(Xsin(uX)) =uE(cos(uX)), de sorte que

0X(u) =u'X(u); u2R:

Comme'X(0) = 1, la résolution de cette équation différentielle produit'X(u) = e 12 u2,u2R. c) CommeXest de loiN(0;1),E(X) = 0etE(X2) = 1. En par- ticulier,Xest de carré intégrable, donc égalementZ=m+X. Par linéarité de l"espérance,E(Z) =m+E(X) =m. Toujours par linéarité,

Var(Z) =EZE(Z)2=E(2X2) =2:

d) Par le théorème de transport, pour toute:R!Rborélienne, positive ou bornée,

E(Z)=1p2Z

R (m+x)e12 x2d; et après le changement de variabley=m+x, E (Z)=1p22Z R (y)e122(ym)2d: Il ressort de cette description queZ=m+Xsuit la loi normaleN(m;2), de moyennemet de variance2. e) D"après les propriétés de l"exponentielle et 9 la question b), pour toutu2R,

Z(u) =Eeiu(m+X)=eium12

2u2; expression décrivant ainsi la transformation de Fourier de la loiN(m;2).

Exercice 11.SoitXune variable aléatoire sur(

;A;P)à valeurs dansZ, dont la loi a pour fonction caractéristique'X; vérifier que

P(X= 0) =12Z

2 0 X()d: Exercice 12*.SoitPune mesure de probabilité sur les boréliens deRde transformée de Fourier'. Rappeler que siPa un moment (absolu) d"ordre 1, i.e.R

RjxjdP <1, alors'est dérivable et'0(0) =iR

RxdP.

Soit à présent la mesureP=P

n2cn

2ln(n)(+n+n); préciser la valeur de

c >0. a) Cette mesure admet-elle un moment (absolu) d"ordre 1? b) Pour tout entierN2et toutu >0, définir f

N(u) =NX

n=2sin 2(nu2 )un

2ln(n)etgN(u) =1X

n=N+1sin 2(nu2 )un

2ln(n):

Démontrer quefN(u)uN4ln(2)

et quegN(u)1uNln(N). c) Trouver une fonctionu!N(u)définie sur]0;1]à valeurs dansNtelle que lim u!0fN(u)(u) = limu!0gN(u)(u) = 0. d) En utilisant la symétrie deP, établir que '(u)1 =2Z N sin2ux2 dP(x); u2R: e) Conclure des questions précédentes que'est dérivable en0. 10

Corrigé.CommePest de probabilité,P

n22cn

2lnn= 1ce qui détermine la

constantec >0. a) Le moment absolu dePest donné parZ R jxjdP=X n22ncn

2ln(n)

qui est une série divergente. b) Pour majorerfN(u), utiliser quejsin(x)j jxj pour toutxréel pour en déduire que f

N(u)NX

n=2u4ln(n)uN4ln(2) Pour majorergN(u), utiliser simplement quejsin(x)j 1pour toutxréel pour en déduire que g

N(u)1X

n=N+11un

2ln(n)1uln(N)1

X n=N+11n

21uNln(N)

après une comparaison entre série et intégrale dans la dernière étape. c) Un peu de réflexion conduit à choisir une fonction de la forme (pouruassez petit)

N(u) =j1u(ln(1u

))k où0< <1pour laquelle lim u!0uN(u)4ln(2) = limu!01uN(u)ln(N(u))= 0 puisqueuN(u)1(ln( 1u ))etln(N(u))ln(1u )quandu!0. d) Par définition '(u) =Z R eiuxdP=Z R cos(ux)dP; u2R; puisque R

Rsin(ux)dP= 0par symétrie deP. Donc

'(u)1 =Z

Rcos(ux)1dP=2Z

R sin2ux2 dP: 11 e) Comme'(0) = 1, pour établir la dérivabilité de'en0, il convient d"examiner la limite quandu!0de1u ['(u)1]. D"après la question d), pour toutu >0 et toutN2N,1u '(u)1=2cfN(u) +gN(u):

En choisissantN=N(u)pour chaqueu >0,limu!0;u>01u

['(u)1] = 0 en vertu de c). De la même façon,limu!0;u<01u ['(u)1] = 0, et donc'est dérivable en0(de dérivée0). Exercice 13*.SoitXune variable aléatoire de loi Gamma de paramètre 12 ;1), donc de densitéf(x) =1( 12 )px exsur]0;1[(Exercice 8). a) Établir une équation différentielle pour la fonction caractéristique'Xde la loi deX. En conclure que

X(u) = exp

12 Z t

01u+idu

; u2R:

Calculer'X(u),u2R.

b) Quel est le sens deI=R1

0cos(x2)dx? CalculerIen étudiant'X(u)lorsque

u! 1. 12quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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