CORRIGÉ PDF CORRIGÉ. TD 9 : Régression

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CORRIGÉ

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Régression linéaire

Exercice 1.10 (Régression simple) Cet exercice est corrigé en annexe sujet de décembre 2010. Exercice 1.11 (Forces de frottement et vitesse) Cet exercice

Corrections des exercices

1.1 Régression linéaire simple. Exercice 1.1 Exercice 1.3 (Variance des estimateurs). Nous avons ... Exercice 1.7 (Estimateur de la variance du bruit).

Corrélation linéaire et régression linéaire simple

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Les exercices 7 8

TD de régression linéaire simple

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1 avr. 2010 4.6 Exercice : Compléments / questionsdecours . ... Ce modèle est appelé modèle de régression linéaire simple.

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Exercices sur le modèle de régression linéaire simple Exercice 1 Le tableau ci-dessous représente l’évolution du revenu disponible brut et de la consommation des ménages en euros pour un pays donné sur la période 1992-2001 [Pour les calculs prendre 4 chiffres après la virgule] Année Revenu Consommation 1992 8000 7389 99

Corrig e - S erie 3 R egression lin eaire simple Exercice 1

x)(2:9 + 3:0 2y) Ils sont maintenant remplaces par (0:2 x)(2:95 y) dans la somme apres reduction des donnees Idem pour les huit autres termes de Sxy iii) L'estimation de la variance autour de la droite sera considerablement reduite et par consequent la marge d'erreur sur les predictions sera faussement diminuee

Master Statistique Appliquée - univ-rennes2fr

1 On considère un modèle de régression linéaire simple sans constante : Y = X + ";où : — Y est un vecteur aléatoire à valeurs dans R2 — X = (2;1)0 — R2 — "est un vecteur aléatoire véri?ant les conditions standards d’un modèle de régression linéaire

Corrections des exercices - univ-rennes2fr

Corrections des exercices 1 1 Régression linéaire simple Exercice 1 1 (Questions de cours) B A B A Exercice 1 2 (Biais des estimateurs) Les ?ˆ j sont fonctions de Y (aléatoire) ce sont donc des variables aléatoires Une autre façon d’écrire ?ˆ 2 en fonction de ?2 consiste à remplacer yi dans (??) par sa valeur soit ?ˆ 2 = P

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Universit´e de Nice L1SV, ann´ee 2017-2018

Math´ematiques pour la Biologie (semestre 1)

CORRIG´E

TD 9 : R´egression lin´eaire

Exercice 1. :On reprend l"exemple des 5 sp´ecimens fossiles d"un animal disparu pour lesquels on poss`ede les mesures de la longueur en cm de leur hum´erusxet de leur f´emury.

1. Compl´eter le tableau suivant et en d´eduire les valeurs des variances et covariance :

ix i y i x 2i y 2i x i y i

14440193616001760

26560422536003900

37159504134814189

47565562542254875

58777756959296699

μ68,460,24879,237674284,6

Calculs eectu´es pour variances et covariance :

Var(x)=μ(x

2 )-μ(x) 2 = 4879,2-68,4 2 = 200,64

Var(y)=μ(y

2 )-μ(y) 2 = 3767-60,2 2 = 142,96 Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y) = 4284,6-68,4·60,2

Cov(x,y) = 166,92

Var(x) = 200,64 Var(y) = 142,96 Cov(x,y) = 166,92

2. D´eterminer, par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires, l´equation de la droite de r´egression de

yenx.

a=Cov(x,y)

Var(x)=166,92200,64?0,83194 etb=μ(y)-aμ(x)?60,2-0,83194×68,4?3,2955 y=0,83194x+3,2955

3. Passe-t-elle par le centre de gravit´eG? Justifier par un calcul.

Le centre de gravit´eGa pour coordonn´ees (μ(x)μ(y)) = (68,460,2).

On v´erifie que 60,2?0,83194×68,4+3,2955.

Plus g´en´eralement, plus abstraitement et plus exactement, vu la d´efinition debon a donc la droite de r´egression passe par le centre de gravit´eG.

4. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)=166,92

200,64×142,96?0,9856

ρ(x,y)=0,9856

ρ(x,y)esttr`es proche de 1, l"approximation du nuage de points par la droite de r´egression est donc

tr`es bonne.

5. Calculer la longueur, selon ce mod`ele, du f´emur d"un sp´ecimen dont l"hum´erus mesurerait 55 cm.

D"apr`es ce mod`ele la longueur du f´emur serait :

0,83194×55 + 3,2955?49,05cm.

Exercice 2. :Pour ´etudier les probl`emes de malnutrition dans un pays pauvre, on a calcul´elepoids

moyen par age d"un ´echantillon de 2400 enfants r´epartis uniform´ement en 12 classes d"age.

On a obtenu le tableau suivant :

x i =classe d"age123456789101112 y i =poids moyen3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7 y 2i x i y i

1. Compl´eter ce tableau. D´eterminer la droite des moindres carr´es.

On calculeμ(x)=6,5etμ(x

2 )?54,167puisμ(y)?4,716667etμ(y 2 )?23,1067enfinμ(xy)=33,7.

D"o`uVar(x)=μ(x

2 )-μ(x) 2 ?11,917 et Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y)?3,0417. Donc finalement :

a=Cov(x,y)

Var(x)?3,041711,917?0,25524 etb=μ(y)-aμ(x)?4,716667-0,25524×6,5?3,0576

2. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

On calcule Var(y)?μ(y

2 )-μ(y) 2 ?0,8597 d"o`ulecoefficientdecorr´elation lin´eaire

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)?3,0417

11,917×0,8597?0,9503

ce qui est proche de 1 : le nuage est proche de la droite.

3. Compl´eter le tableau

x i

123456789101112

y i

3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7

y i

3,33,63,84,14,34,64,85,15,45,65,96,1

e i o`uy i est la valeur pr´evue par le mod`ele par classe d"age ete i =y i -y i le r´esidu.

4. Tracer les r´esiduse

i en fonction des classes d"age et commenter.

00,10,20,30,4

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5123456789101112 x i e i

Les r´esidus sont distribu´es au hasard ce qui confirme que la droite de r´egression repr´esente bien

l"´evolution du poids en fonction de la classe d"age.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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Math´ematiques pour la Biologie (semestre 1)

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TD 9 : R´egression lin´eaire

1. Compl´eter le tableau suivant et en d´eduire les valeurs des variances et covariance :

14440193616001760

26560422536003900

37159504134814189

47565562542254875

58777756959296699

μ68,460,24879,237674284,6

Var(x)=μ(x

Var(y)=μ(y

Cov(x,y) = 166,92

Var(x) = 200,64 Var(y) = 142,96 Cov(x,y) = 166,92

2. D´eterminer, par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires, l´equation de la droite de r´egression de

a=Cov(x,y)

3. Passe-t-elle par le centre de gravit´eG? Justifier par un calcul.

On v´erifie que 60,2?0,83194×68,4+3,2955.

4. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)=166,92

200,64×142,96?0,9856

ρ(x,y)=0,9856

5. Calculer la longueur, selon ce mod`ele, du f´emur d"un sp´ecimen dont l"hum´erus mesurerait 55 cm.

0,83194×55 + 3,2955?49,05cm.

On a obtenu le tableau suivant :

1. Compl´eter ce tableau. D´eterminer la droite des moindres carr´es.

On calculeμ(x)=6,5etμ(x

D"o`uVar(x)=μ(x

a=Cov(x,y)

2. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

On calcule Var(y)?μ(y

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)?3,0417

11,917×0,8597?0,9503

3. Compl´eter le tableau

123456789101112

3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7

3,33,63,84,14,34,64,85,15,45,65,96,1

4. Tracer les r´esiduse

00,10,20,30,4

2. D´eterminer, par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires, l´equation de la droite de r´egression de

a=Cov(x,y)

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