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Université Paul SabatierToulouse

Préparation à l"Agrégation Année 2018-2019

EXERCICES SUR LES GROUPES

Exercice 1. Groupes diédraux. SoitPnun polygone régulier du plan àncotés (représenté par exemple

par les racinesn-ièmes de l"unité dans le plan complexe). On noteDnle groupe (appelén-ième groupe diédral)

des isométriesdirectes et indirectesdu plan préservantPn. (1)

Mon trerque Dnest d"ordre2n.

(2)

Mon trerque le sous-group eD+nconstitué des isométries directes est cyclique d"ordren:D+n?Z/nZ.

(3) Dresser la listes d esclasse sde conjugaison dans Dn. Exercice 2. Groupe des quaternions.On noteH8le sous-groupe deGL2(C)(appelégroupe des quater- nions) engendré par les trois matrices

I=?0 1

-1 0? , J=?0i i0? , K=?i0 0-i?

Calculer l"ordre deH8, exhiber ses sous-groupes, ses sous-groupes distingués et ses quotients. Est-il isomorphe

au groupe diédralD4? Quel est le rapport avec le corps non commutatif des quaternions?

Exercice 3. Groupes d"ordre 6.Montrer de façon élémentaire (aucun argument sophistiqué au-delà du

théorème de Lagrange) que tout groupe d"ordre 6 non cyclique est isomorphe au groupe symétriqueS3.

[Indication : on pourra montrer qu"un tel groupe contient un couple d"éléments d"ordre 2 et 3 ne commutant

pas.] Exercice 4. Signification de l"opération de conjugaison sur des exemples. (1) Soit pun projecteur d"un sous-espace vectorielFd"un espace vectorielEsur un supplémentaireG, etf?GL(E). Caractériser le conjuguéf◦p◦f-1. (2)

Même question p ourune symétrie spar rapport à un sous-espace vectorielFd"un espace vectoriel

E, parallèlement à un supplémentaireG.

(3) Soit n?N,σ?Snet(a1···ak)unk-cycle deSn. Calculerσ(a1···ak)σ-1. (4) soit Gun groupe,EetFdeux sous-ensembles deG, etσ?G. Soitgun élément deGtel que gE?F. Quelle propriété vérifie son conjuguéσgσ-1? (5)

In venterdes exos similaires...

Exercice 5. Exposant d"un groupe abélien et application. (1) Soit Gabélien eta,bd"ordres finis premiers entre eux. Montrer queordreab= ordrea·ordreb. (2) Soit Gun groupe abélien fini, et soitmle maximum parmi les ordres des éléments deG. Montrer que l"ordre de tout élément deGdivisem. (mest appelé l"exposantdeG). (3) Soit kun corps, etG?k?un sous-groupe fini du groupe multiplicatifk?. Montrer queGest cyclique. [Indication : on pourra considérer les racines du polynômeXm-1?k[X], oùmest l"exposant de G.] (4) Qu"en déduire p ourle group e(Z/pZ)?, oùpest premier? Et pour le groupeC??

Exercice 6. Groupes abéliens infinis.

(1) Mon trerque (Z,+)n"est pas isomorphe à(Z2,+), et que(Q,+)n"est pas isomorphe à(Q2,+). (2) Mon trerque le group eab élien(Q,+)n"est pas de type fini. (3)

Soit Gun sous-groupe de(C?,·)dont chaque élément est d"ordre fini. Est-il vrai queGest forcément

fini? et de type fini? (4) Mon trerque les sous-group esde (R,+)sont soit de la formeaZ, soit denses. (5)

Que dire de Z[⎷2]? Que dire d"une fonction réellefcontinue, admettant1et⎷2pour périodes?

(6)

Que dire des sou s-groupesde (C,+)?

Exercice 7. Une action bien utile.SoitGun groupe, etHun sous-groupe deGd"indice finin. On fait

opérerGpar "translation" sur l"ensemble des classes à gaucheG/H, c"est-à direg·σH:= (gσ)Hpour tout

σ?G.

(1)(La clé de nom breuxexos) Mon trerque le no yaudu morphisme ρ:G→Bij(G/H)?Snassocié à

cette action est le plus gros sous-groupe deHdistingué dansG, et que de plus il est d"indice fini dansG. (2) Application 1. Mon trerqu"un group enon-ab éliend"ordre 6est isomorphe àS3. (3) Application 2. Soit Gun groupe infini, possédant deux sous-groupes d"indice finiHetK. Montrer qu"il y a un sous-groupe distingué dansGet d"indice fini, contenu dansHet dansK. (4) Application 3. Soit Gun groupe fini, etple plus petit facteur premier de son ordre. SoitHun sous-groupe d"indicepdansG. Montrer queHest distingué dansG. [N.B. Le casp= 2est bien plus

élémentaire...]

Exercice 8. Centre d"un groupe; groupes d"ordrep2.SiGest un groupe, on peut faire agirGpar conjugaison sur lui même. (1)

Mon trerque le cen treZ(G)deGest constitué des éléments dont l"orbite est réduite à un point.

(2) ( i)Si Gest unp-groupe (ppremier), montrer que le centre deGn"est pas réduit à{1}. (ii)Soit Gun groupe tel queG/Z(G)soit monogène. Montrer qu"alorsGest abélien (et donc en particulier le groupe monogèneG/Z(G)était en fait trivial). (iii)Mon trerqu"un gr ouped"ordre p2est nécessairement abélien. (3) Mon trerque le group edes matrices triangulaires sup érieuresunip otentes G=? (1? ? 0 1?

0 0 1)

?GL3(Fp)? est un groupe non-abélien d"ordrep3. Exercice 9.p-Sylow dans un sous-groupe.SoitGun groupe fini d"ordre|G|=pamavecppremier et p?m= 1. SoitS?Gunp-Sylow (c"est-à-dire de cardinalpa), etH?Gun sous-groupe. Montrer qu"il

existeg?Gtel quegSg-1∩Hsoit unp-Sylow deH. [Indication : faire agirGsur l"ensemble des classes à

gauche deGmoduloS, et montrer que l"une des orbites est de cardinal non multiple dep.]

Exercice 10. Existence desp-Sylow.

(1) Soit kun corps, etGun groupe fini. Montrer qu"il existe un entierntel queGsoit isomorphe à un sous-groupe deGLn(k). [Indication : on pourra commencer par plongerGdans un groupe symétrique.] (2)

Soit Fple corps àpéléments, oùpest premier. Montrer que le groupe des matrices triangulaires

supérieures avec 1 sur la diagonale est unp-Sylow deGLn(Fp). (3) Soit Gun groupe fini etpun diviseur premier de|G|. Montrer à l"aide de l"exercice9 que Gadmet unp-Sylow.

Exercice 11. Calculs dans les groupes symétriques.Écrire la décomposition en produit de cycles à

supports disjoints, et calculer l"ordre, la signature et la puissance 10ème de ?1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 4 2 9 5 6 1 7 3?

,de(35)(142)(134)(45)(12345) et de ?1 2 3 4 5 6 7 8

6 5 7 1 3 8 4 2?

◦?1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 2 4 5 7 3 6?

Exercice 12. Quelques propriétés du groupe symétrique.Soitn>2. (1) Mon trerque Anest le seul sous-groupe d"indice2deSn. (2) On admet que Anest simple pourn>5. Montrer que pourn>5, les seuls sous-groupes distingués deSnsont{id},AnetSn. Que devient le résultat pourn= 2,3ou4? (3) Soit Hun sous-groupe deSn, d"indicenavecn>3. L"action deSnsurSn/H(ensemble des classes à gauche) par translation induit un morphisme?deSndans Bij(Sn/H). (i)Mon trerque ?est injectif. (ii)En déduire que H?Sn-1. Exercice 13. Isomorphismes exceptionnels et interprétation.Soitpun nombre premier. On note F

p=Z/pZle corps àpéléments. On fait agirGL2(Fp)sur l"ensemble des droites vectorielles (au nombre de

p+ 1, à vérifier!) du planF2p. Il en résulte un morphisme

ρ: GL2(Fp)-→Sp+1.

(1) Mon trerque le no yaude ρest constitué des homothéties non nulles, d"où une injection PGL

2(Fp) := GL2(Fp)/homothéties non nulles?→Sp+1.

(2)

On se prop osede v oirque, lorsque pest petit, cela donne lieu à des isomorphismes "exceptionnels" :

(i)Mon trerque ?GL2(Fp) = (p2-1)(p2-p), et en déduire?PGL2(Fp). (ii)Mon trerque GL2(F2)?S3. (iii)Mon trerque PGL2(F3)?S4 (iv)Soit F4un corps fini à4éléments (par exempleF4=Z/2Z[X]/(X2+X+ 1)). Montrer que PGL

2(F4)?A5.

(v)Mon trerque PGL2(F5)?S5. (3) In terprétation: mon trerque PGL2(k)agit simplement3-transitivement sur les droites vectorielles dek2, puis interpréter les isomorphismes exceptionnels. Exercice 14. Groupes des isométries du tétraèdre et du cube. (1)

Mon trer,en le faisan top érersur les quatre sommets, que le group edes isométries directesdu tétraèdre

est isomorphe au groupe alternéA4. (2)

Mon trerque le group edes isométries (directes ou indirectes) d" untétraèdre r égulierest is omorpheà

un produit semi-directA4o{±1}. (voir exercice21 p ourla d éfinition.) (3)

Mon trer,en le faisan top érersur les quatre grandes diagonales, que le group edes i sométriesdirectes

du cube est isomorphe au groupe symétriqueS4. (4)

On considère un carré "é quateur"du cub e,et le sou s-groupeSdes isométries directes du cube

stabilisant (i.e. laissant globalement fixe) cet équateur. Montrer queS=D4, puis observer sur ce cas

les conclusions du théorème de Sylow. (5)

A dapterla question précéden tep ourdécrire les 2-Sylow (= sous-groupes d"ordre 4) deIsom+(tétraèdre)...

(6) ... puis (plus fac ile)les 3-Sylow (= sous-groupes d"ordre 3) deIsom+(tétraèdre)etIsom+(cube). Exercice 15. Groupes symétriques et alternés de petits ordres. (1) P ourc hacundes group essuiv ants,dre sserla liste des classes de conj ugaison: S

2, A2, S3, A3, S4, A4, A5.

(2)

In terprétergéométriquemen tles résultats p ourA4etA5en utilisant les isomorphismes avec les

groupes de rotations préservant un tétraèdre (resp. un icosaèdre) régulier. (3) Donner un exemple de group eG, et de deux sous-groupesH?K?G, tels queHsoit distingué dansK, queKsoit distingué dansG, mais tels queHne soit pas distingué dansG.

Exercice 16. Simplicité deA5.Montrer à l"aide du théorème de Lagrange et de la liste des cardinaux des

classes de conjugaison obtenue dans l"exercice 15 que le group ealterné A5est simple. Exercice 17. Propriétés du groupe alterné. (1) Mon trerque le group ealterné Anest engendré par les 3-cycles. (2) Mon trerque p ourn>5, les 3-cycles deAnsont deux à deux conjugués. Exercice 18. Générateurs deGLn.On dit qu"une matriceM?GLn(k)est unedilatationde rapport

λ?k?siMest conjugué à la matrice diagonale diag(λ,1,...,1). Montrer que les dilatations engendrent

GL n(k), pour toutn>2et tout corpsk?=F2. [Indication : on peut admettre, ou redémontrer, que les transvections engendrentSLn(k), puis montrer que?1 1 0 1? est un produit de deux dilatations.] Exercice 19. Automorphismes de certains groupes abéliens non cyclique.Soitpun nombre premier. (1) Mon trerqu"un eapplication fdeZ/pZ×Z/pZ×Z/pZdans lui même est un morphisme de groupe si, et seulement si, c"est un morphisme deZ/pZ-espace vectoriel. (2) En déduire la stru cturedu group eAut(Z/pZ×Z/pZ×Z/pZ)en terme de groupe linéaire.

Exercice 20. Produits directs internes.

(1) Soit Gun groupe, etH,Kdeux sous groupes deG. On noteHK:={hk|h?H,k?K}. Montrer que si au moins un des sous-groupesHouKest distingué dansGalorsHKest un sous-groupe de

G. (La réciproque est-elle vraie?)

(2)

Dans la s ituationci-des sus,on supp oseque :

H∩K={1}, HK=G, HetKsont distingués dansG.

Montrer qu"alors(h,k)?→hkest un isomorphisme deH×KdansG. (3)

Donner un énoncé récipro que.

(4)

Application : On considè rele group eGdes isométries de l"espace euclidienR3préservant un cube,

et son sous-groupeG+constitué des isométries directes. Montrer queG?G+× {±1}. (5)

Le group edes isométries du plan euclidien préser vantun carré est-il un pro duitd irectde deux

sous-groupes non triviaux? Exercice 21. Produits semi-directs internes.SoitGun groupe, etH,Kdeux sous groupes deG. On dit queG=HnKest leproduit semi-directdeHetKsiK ? G,HK=GetH∩K={1}. (1)

Si G=HnK, montrer queH?G/K.

Montrer les isomorphismes suivants :

(2)Sn?Ano Z/2Z. (3) Si kest un corps commutatif,GLn(k)?SLn(k)ok?, oùSLn(k)désigne le groupe des matrices de déterminant1. (4)

Si Pest un polygone régulier àncôtés, etIsom+(P)est le groupe des rotations préservantP,

Isom(P)?Isom+(P)o Z/2Z. (IciIsom(P)est le groupe diédralDnde l"exercice1 .) (5) Donner une structure de pro duits emi-directp ourle group edes automorphismes d"un espace affine.

Exercice 22. Automorphismes deZ/nZ.

(1) Soit n>1etk?Zdeux entiers. Montrer l"équivalence des assertions suivantes : (i)¯k?Z/nZengendreZ/nZ. (ii)netksont premiers entre eux. (iii)¯kest inversible dans l"anneauZ/nZ. (2)

Mon trerque (Aut(Z/nZ),◦)?((Z/nZ)?,×).

Exercice 23. Automorphismes intérieurs et centre d"un groupe.Montrer que le sous-groupeInt(G)

des automorphisme intérieurs deGest un sous-groupe distingué du groupeAut(G), et queInt(G)?G/Z(G),

oùZ(G)est le centre deG.

Exercice 24. Groupes abéliens d"ordre donné.Donner la liste des groupes abéliens d"ordre72à iso-

morphismes près, sous forme "facteurs invariants" et sous forme "facteurs élémentaires". Exercice 25. Un théorème de simplification.SoitG,H,G?,H?des groupes finis, tels queG?G?et G×H?G?×H?. On se propose de montrer queH?H?. (1) Mon treren donn antun con tre-exempleque le résultat est faux p ourd esgroup esinfin is. Étant donnés deux groupes finisG1,G2, notonsm(G1,G2)>1le nombre de morphismes deG1versG2, et i(G1,G2)>0le nombre de morphismes injectifs. (2) P ourtous group esfinis G1,G2, montrer quem(G1,G2) =?

NCG1i(G1/N,G2).

(3) P ourtout group efini F, montrer quem(F,H) =m(F,H?), puisi(F,H) =i(F,H?), et conclure. Exercice 26. Deux groupes non isomorphes de cardinal 24. (1) Mon trerque SL2(F3)etPGL2(F3)sont tous deux de cardinal24. (2) Mon trerque SL2(F3)admet un sous-groupe d"ordre 8 isomorphe àH8. (3) En déduire que SL2(F3)etPGL2(F3)ne sont pas isomorphes. Exercice 27. Un groupe d"ordrepq.Soientp < qdeux nombres premiers, tel quepdiviseq-1. Donner un exemple de groupe non-abélienGd"ordrepq, constitué de matrices triangulaires dansGL2(Z/qZ).

Corrigés

Solution de l"exercice 1

On noteOle centre du polygone.

(1)

Soit ABetCDdeux arêtes du polygone. Il existe une rotation qui envoie l"arêteABsur l"arête non

orientéeCD. En composant éventuellement par la symétrie d"axe la médiatrice deCD, on obtient

un élémentf?Dntel quef(A) =Cetf(B) =D. De plusfest entièrement déterminé par cette

propriété, car une application linéaire deR2est déterminée par l"image d"une base (ici les vecteurs

OAetOBforment une base). CommePncompte2narêtes orientées distinctes (narêtes, chacune avec 2 orientations possibles), on obtientordre(Dn) = 2n. (2) Le group eengendré par la rotation rde centreOet d"angle2π/nest cyclique d"ordren. De plus toute symétrie d"axe passant par un sommet et parOest un élément deDn\D+n. DoncD+nest un sous-groupe strict deDnde cardinal au moinsn, par Lagrange on en déduit qu"il est de cardinal exactementn, et doncD+n=?r? ?Z/nZ. (3) •Casnimpair. Pour chacun desncouples de sommet et milieu d"arête opposée on a un axe et une symétrie associés : cesnsymétries forment une classe de conjugaison.

Deux rotations sont conjugués ssi elles ont même angles orienté, on a donc une classe singleton

pour l"identité, et(n-1)/2classes de paires de rotations.

Casnpair.

On a deux classes de conjugaison den/2symétries, celles d"axe reliant deux sommets opposés,

et celles d"axe reliant les milieux de côtés opposés. Outre l"identité, on a également la rotation

d"angleπ(que l"on peut aussi voir comme une symétrie centrale) qui commutent avec tous les éléments deDn: cela donne deux classes de conjugaison singleton. On a ensuite(n-2)/2classes de paires de rotations comme précédemment.

Solution de l"exercice 2

On vérifie que

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