[PDF] Feuille dexercices no 5 d) Montrer qu'un groupe

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Université Côte d"Azur - Groupes et géométrie

Année 2020-2021

Feuille d"exercices n

o5

Exercice 1

SoitGun groupe de type fini.

Un sous-groupeHdeGest-il nécessairement de type fini? Justifiez votre réponse.

Solution 1

SoitGest un groupe de type fini;Gpeut contenir un sous-groupeHqui n"est pas de type fini. Considérons le sous-groupeGdeGL(2,Q)engendré par les matrices

A=?2 0

0 1? etB=?1 1 0 1?

SoitHle sous-groupe deGformé des matrices deGavec des1sur la diagonale. Raisonnons par l"absurde :

supposons queHsoit de type fini. Alors il existe un entierN>1tel queHsoit contenu dans le sous-groupe de

GL(2,Q)formé des matrices de la forme?1aN

0 1?

OrA-NBAN=?112

N 0 1? : contradiction (2N> N). AinsiHn"est pas de type fini alors queGl"est.

Considérons par exemple le groupe libreGsur deux générateursaetb. SoitHle sous-groupe engendré par

tous les éléments de la formeabnavecn?N. Raisonnons par l"absurde : supposons queHsoit de type fini.

Alors il existe un entierNtel que dans tout mot deHle nombre debconsécutifs soit toujours strictement

inférieur àN. OrabNappartient àH: contradiction. Le sous-groupeHdeGn"est donc pas de type fini.

Exercice 2

SoitGun groupe abélien.

Montrer queT(G) ={g?G|o(g)<∞}est un sous-groupe deG(appelé le sous-groupe de torsion deG). Donner un exemple explicite pour lequelT(G)n"est pas un sous-groupe deGsiGn"est pas abélien.

Solution 2

SoitGun groupe abélien.

Montrons queT(G) ={g?G|o(g)<∞}est un sous-groupe deG(appelé le sous-groupe de torsion deG).

ClairementT(G)est contenu dansG. On a

•o(e) = 1<∞donce?T(G); •soientgethdansT(G). Notonsn(respectivementm) l"ordre deg(respectivementh). Par hypothèse n <∞etm <∞. On a bien sûro(h-1) =m. PuisqueGest abélien on a (gh-1)mn=gmn(h-1)mn Par suite(gh-1)mn= (gn)m((h-1)m)n=emen=e. Ainsio(gh-1)6mn <∞etgh-1appartient à T(G).

AinsiT(G)est un sous-groupe deG.

Montrons que siGn"est pas abélien, alorsT(G)n"est pas forcément un sous-groupe deG.

ConsidéronsG = O(2). Soitρla rotation d"angleθoùθ/πest irrationnel. Alorsρn"appartient pas àT(G).

Maisρ=s2◦s1avecs1,s2réflexions; en particuliero(s1) =o(s2) = 2et doncs1,s2appartiennent àT(G).

Exercice 3

Soitn?N,n>2. Trouver le sous-groupe de torsion deZ×ZnZ. Montrer que l"ensemble des éléments d"ordre infini et l"élément neutre ne forment pas un sous-groupe deZ×ZnZ. 1

Solution 3

Soitn?N,n>2. Déterminons le sous-groupe de torsion deZ×ZnZ: T

Z×ZnZ?

=?(a,b)?Z×ZnZ|o(a,b)<∞? ?(a,b)?Z×ZnZ|?k?N?, o(a,b) =k? ?(a,b)?Z×ZnZ|(ka,kb) = (0,0) ?(a,b)?Z×ZnZ|a= 0etb?ZnZ? ={0} ×ZnZ

Montrons que l"ensemble des éléments d"ordre infini et l"élément neutre ne forment pas un sous-groupe de

Z×ZnZ. Soient(1,1)et(-1,0)deux éléments deZ×ZnZ. Ils sont d"ordre infini mais(1,1)+(-1,0) = (0,1)

est d"ordre fini.

Exercice 4

a) Donner un exemple de groupe abélien qui n"est pas de type fini. b) Sipest un nombre premier, quel est le groupe sous-jacent au corpsFpn? c) Soientn,m>1deux entiers. Posonsδ:= pgcd(n,m)etμ:= ppcm(n,m).

Montrer que les groupes

ZnZ×ZmZetZδZ×ZμZsont isomorphes.

d) Montrer qu"un groupe abélien de type fini et de torsion est fini (ceci n"est plus vrai pour les groupes

non-abéliens : voir par exemple [Calais, p. 294]). e) Montrer qu"un groupe abélien fini est le produit de ses sous-groupes deSylow.

Solution 4

a)(Q,+)est un groupe abélien qui n"est pas de type fini (pour le vérifier raisonner par l"absurde).

b) Soitpun nombre premier. Sin= 1, alorsFp=ZpZet le groupe sous-jacent estZpZ.

Sin= 2, alors le groupe sous-jacent àFp2estZpZ×ZpZcarZp2Zpossède un élément d"ordrep2alors

queFp2est de caractéristiquepdonc sans élément d"ordrep2. De même pournquelconque le groupe sous-jacent àFpnest?ZpZ? n. c) Soientn,m>1deux entiers. Posonsδ:= pgcd(n,m)etμ:= ppcm(n,m). Montrons que les groupes

ZnZ×ZmZetZδZ×ZμZsont isomorphes.

Écrivons les décompositions demetnen nombre premiers : m=? ip

αiin=?

ipβii Alors ipmin(αi,βi) iμ=? ipmax(αi,βi) i

D"une part

Z nZ×ZmZ?? iZ pαiiZ×? iZ pβiiZ?? i?

ZpαiiZ×ZpβiiZ?

d"autre part Z

δZ×ZμZ??

i?

Zpmin(αi,βi)

iZ×Zpmax(αi,βi) iZ?

Simin(αi,βi) =αi, alorsmax(αi,βi) =βi; réciproquement simin(αi,βi) =βialorsmax(αi,βi) =αi.

Par conséquent tous lesαietβiapparaissent une fois et une seule dans le produit i?

Zpmin(αi,βi)

iZ×Zpmax(αi,βi) iZ? 2 qui est donc isomorphe à i?

ZpαiiZ×ZpβiiZ?

d) Montrons qu"un groupe abélien de type fini et de torsion est fini. SoitGun groupe abélien de type fini et sans torsion. PuisqueGest abélien de type fini on a

G?Zr×Zn1Z×Zn2Z×...×ZnsZ

oùr>0,nj>0pour tout16j6setni+1divisenipour tout16i6s-1.

De plusGest de torsion,i.e.tout élément est d"ordre fini. Il en résulte quer= 0, c"est-à-dire que

G?Zn1Z×Zn2Z×...×ZnsZ

En particulier|G|=n1n2...ns<∞.

e) Montrer qu"un groupe abélien fini est le produit de ses sous-groupes deSylow. SoientGun groupe abélien et(Hi)16i6rune famille de sous-groupes d"ordre2à2premiers entre eux. Alors ces groupes sont en somme directe dansG. En effet soitdil"ordre deHi. Rappelons que dans un groupe abélien siGest d"ordremethd"ordrenavecn,mpremiers entre eux, alorsghest d"ordremn.

Ainsi pour toutil"ordre de tout élément de?

j?=iH jdiviseppcmj?=i(dj)donc est premier avecdi. Il en résulte que nous avons pour touti H i∩?? j?=iH j? ={1} Par conséquent lesHi,16i6r, sont en somme directe.

D"après ce qui précède les différentsp-Sylowd"un groupe abélien finiGsont en somme directe. L"égalité

des cardinaux assure queGest la somme directe de ses sous-groupes deSylow.

Exercice 5

SoitGun groupe abélien fini. Montrer qu"il existe dansGun élément dont l"ordre est égal à l"exposant

deG.

Solution 5

SoitGun groupe abélien fini. Montrons qu"il existe dansGun élément dont l"ordre est égal à l"exposant

deG. Le théorème de structure assure que

G?Zd1Z×Zd2Z×...×ZdrZ

oùdidivisedi+1pour tout16i6r-1.

L"exposant deGestdret(0,0,...,0,1)est d"ordredr.

Exercice 6

a) Donner la décomposition primaire du groupeZ8Z×Z12Z×Z24Z. En déduire ses facteurs invariants.

b) Donner la décomposition primaire du groupe Z54Z×Z26Z×Z15Z. En déduire ses facteurs invariants.

Solution 6

a) Donnons la décomposition primaire du groupeZ8Z×Z12Z×Z24Z. Notons que8 = 23,12 = 22×3et24 = 23×3. Ainsi

G?Z23Z×Z22Z×Z3Z×Z23Z×Z3Z

et les diviseurs élémentaires deGsont23,22,3,23et3.

Déterminons les facteurs invariants deG. Réordonnons les diviseurs élémentaires comme suit

2

2|23|23

3|3 Les facteurs invariants deGsont donc22×1 = 4,23×3 = 24et23×3 = 24.

Par conséquent

G?Z4Z×Z24Z×Z24Z.

3 b) Donnons la décomposition primaire du groupe

Z54Z×Z26Z×Z15Z.

Notons que54 = 2×33,26 = 2×13et15 = 3×5. Ainsi et les diviseurs élémentaires deGsont2,33,2,13,3et5. Donnons ses facteurs invariants. On ordonne les diviseurs élémentaires comme suit 2|2 3|33 5 13 Les facteurs invariants deGsont donc2×3 = 6et2×33×5×13 = 3510.

Exercice 7

a) Le nombre de classes de conjugaison dansS5est le même que le nombre de groupes abéliens de cardinal

32à isomorphisme près. Pourquoi?

b) Généraliser au nombre de classes de conjugaison dansSn.

Solution 7

a) Le nombre de classes de conjugaison dansS5est le même que le nombre de groupes abéliens de cardinal

32à isomorphisme près. Expliquons pourquoi. Le nombre de classes de conjugaison dansS5et le nombre

de groupes abéliens de cardinal32à isomorphisme près sont chacun en bijection avec l"ensemble des

partitions de5(rappelons qu"une partition d"un entier est une décomposition de cet entier en une somme

d"entiers strictement positifs à l"ordre près des termes).

b) Généralisons au nombre de classes de conjugaison dansSn. Soitpun nombre premier. NotonsGnl"ensemble

des classes d"isomorphismes de groupes abéliens de cardinalpn,Pnl"ensemble des partitions de l"entiern

etCnl"ensemble des classes de conjugaison dansSn. Considérons ?:Pn→Gn(n1,n2,...,nr)?→classe d"isomorphisme der? i=1Z NiZ et ψ:Pn→Cn(n1,n2,...,nr)?→classe de conjugaison de la permutation (1,2,...,n1)(n1+ 1,...,n1+n2)...(n1+n2+nr-1+ 1,...,n)

?etψsont des bijections donc|Cn|=|Gn|: il y a autant de classes de conjugaison dansSnque de classes

d"isomorphisme de groupes abéliens d"ordrepn.

Exercice 8

Déterminer la structure des groupes abéliens de type fini suivants : Z

2?(1,3),(2,0)?Z2?(1,1),(1,-1)?.

Solution 8

Déterminons la structure du groupe abélien de type fini Z

2?(1,3),(2,0)?.

On a ?1 2 3 0? ≂?1 0 3-6? ≂?1 0 0-6? ??1 0 0 6?

Par suite

Z2?(1,3),(2,0)??Z6Z.

4 On a ?1 1 1-1? ≂?1 0 1-2? ≂?1 0 0 2?

Par conséquent

Z2?(1,1),(1,-1)??Z2Z.

Exercice 9

SoitHle sous-groupe deZ2engendré par(2,5),(5,-1)et(1,-2). Déterminer une base deHet décrire le

quotient Z2H.

Solution 9

On a ?2 5 1

5-1-2?

≂?0 0 1

9 9-2?

≂?0 0 1

0 9-2?

doncH =?(0,9),(1,-2)?est de rang2.

De plus?0 1

9-2? ≂?0 1 9 0? ; par suite

Z2H?Z9Z.

Exercice 10

Trouver une base du groupe suivant :

G = (x,y,z)?Z3????2x+ 3y+ 5z= 0

3x-6y+ 2z= 0?

Solution 10

SoitGle groupe donné par :

G = (x,y,z)?Z3????2x+ 3y+ 5z= 0

3x-6y+ 2z= 0?

On a G =? (x,y,z)?Z3????2x+ 3y+ 5z= 0

7x+ 12z= 0?

Comme7x+ 12z= 0on écritx= 12ketz=-7k. Alors2x+ 3y+ 5z= 0conduit à3y= 11k. On pose donc k= 3lalors x= 36?, y= 11?, z=-21?

Finalement

G =??(36,11,-21)|??Z?= Vect(36,11,-21)

et{(36,11,-21)}est une base deG.

Exercice 11

SoitGun groupe abélien fini.

Supposons que pour tout diviseurdde l"ordrendeG, il existe un et un seul sous-groupe d"ordreddansG.

Montrer queGest cyclique.

Solution 11

Raisonnons par l"absurde. Supposons queGne soit pas cyclique. AlorsGest isomorphe àZq1Z×Zq2Z×

...×ZqkZoùq1|q2|...|qksont les facteurs invariants deGetk>2. Il y a alors (au moins) deux sous-groupes

distincts d"ordreq1: d"une part le facteurZq1Zet d"autre part l"unique sous-groupe d"ordreq1du facteur

Zq2Zassocié au diviseurq1deq2.

Exercice 12

1. Les groupes

Z12Z×Z72ZetZ18Z×Z48Zsont-ils isomorphes?

5

2. Les groupes

Z72Z×Z84ZetZ36Z×Z168Zsont-ils isomorphes?

Solution 12

1. Les groupes

Z12Z×Z72ZetZ18Z×Z48Zne sont pas isomorphes. En effet posons G

1=Z12Z×Z72ZG2=Z18Z×Z48Z.

Nous avons12 = 22×3,72 = 23×32,18 = 2×32et48 = 24×3. Les groupesG1etG2sont tous deux d"ordre25×33. Les groupesGisont isomorphes àAi×Bipouri= 1,2oùAiest un groupe abélien

d"ordre25etBiun groupe abélien d"ordre33. Le groupeA1est associé à la partition(3,2)de5et le

groupeA2est associé à la partition(4,1)de5; ils ne sont donc pas isomorphes. Par suite les groupesG1

etG2ne sont pas isomorphes.

2. Les groupes

Z72Z×Z84ZetZ36Z×Z168Zsont isomorphes. En effet posons G

1=Z72Z×Z84ZG2=Z36Z×Z168Z.

Nous avons72 = 23×32,84 = 22×3×7,36 = 22×32et168 = 23×3×7. Les groupesG1etG2sont donc de

même ordre25×33×7. Les groupesGisont isomorphes àAi×Bi×CioùAiest un groupe abélien d"ordre25,

B

iest un groupe abélien d"ordre33etCiest un groupe abélien d"ordre7. Les groupesA1etA2sont associés

à la partition(3,2)de5, ils sont isomorphes. Les groupesB1etB2sont associés à la partition(2,1)de3; ils

sont donc isomorphes. Les groupesC1etC2sont isomorphes. Il en résulte queG1etG2sont isomorphes.

Exercice 13

SoitG =Z2Z×Z12Z. Considérons les deux sous-groupes suivants deG: H =

Z2Z× {0}K ={0} × {0,6}.

Remarquons queH?K?Z2Zmais avons-nousGH?GK?

Solution 13

D"une partGH?Z12Z?Z4Z×Z3Z, d"autre partGK?Z2Z×Z6Z??Z2Z×Z2Z?

×Z3Z.

Les deux premiers facteurs ne sont pas isomorphes donc les deux groupes ne sont pas isomorphes.

Exercice 14

SoientG,HetKdes groupes abéliens finis.

1. Montrer que siG×G?H×H, alorsG?H.

2. Montrer que siG×K?H×K, alorsG?H.

Solution 14

SoientG,HetKdes groupes abéliens finis. Montrons que siG×G?H×H, alorsG?Het que si

G×K?H×K, alorsG?H.

La décomposition primaire deGests?

i=1A i, celle deG×Gest doncs? i=1A i×Ai.

La décomposition primaire deHestt?

i=1B i, celle deH×Hest donct? i=1B i×Bi.

La décomposition primaire deKestu?

i=1C i, celle deG×Kest doncs? i=1A i×u? i=1C iet celle deH×Kest donc s i=1B i×u? i=1C i.

1. SiG×G?H×H, alorss=tetAi= Bipour touti. Par suiteG?H.

2. SiG×K?H×K, alorss=tetAi= Bipour touti. Par conséquentG?H.

Exercice 15

6

1. Exprimer tous les groupes abéliens d"ordre99comme sommes directes de sous-groupes cycliques.

2. Exprimer tous les groupes abéliens d"ordre100comme sommes directes de sous-groupes cycliques.

Solution 15

1. Exprimons tous les groupes abéliens d"ordre99comme sommes directes de sous-groupes cycliques.

Les groupes abéliens d"ordre99 = 32×11sont isomorphes •soit àZ9Z×Z11Z, •soit àZ3Z×Z3Z×Z11Z.

2. Exprimons tous les groupes abéliens d"ordre100comme sommes directes de sous-groupes cycliques. Les

groupes abéliens d"ordre100 = 22×52sont isomorphes •soit àZ4Z×Z25Z, •soit àZ2Z×Z2Z×Z25Z, •soit àZ4Z×Z5Z×Z5Z, •soit àZ2Z×Z2Z×Z5Z×Z5Z.

Exercice 16

Combien existe-t-il, à isomorphisme près, de groupes abéliens d"ordre106?

Solution 16

Nous avons106= 26×56. Les partitions de6sont

(6) (5,1) (4,2) (4,1,1) (3,3) (3,2,1) (3,1,1,1) (2,2,2) (2,2,1,1) (2,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1)

Elles sont donc au nombre de11. Il y a donc à isomorphisme près112= 121groupes abéliens d"ordre106.

Exercice 17

a) Déterminer à isomorphisme près tous les groupes abéliens d"ordre12et72. b) Déterminer à isomorphisme près tous les groupes abéliens d"ordre106.

Solution 17

a) Déterminons à isomorphisme près tous les groupes abéliens d"ordre12. Nous avons12 = 22×3. De plus les partitions de2sont 2 1,1 Par conséquent il y a à isomorphisme près2groupes abéliens d"ordre12: Z

2Z×Z2Z×Z3ZZ4Z×Z3Z

Déterminons à isomorphisme près tous les groupes abéliens d"ordre72. Nous avons72 = 23×32. De plus les partitions de2sont 2 1,1 7 et celles de3sont

3 2,1 1,1,1

Par conséquent il y a à isomorphisme près2×3 = 6groupes abéliens d"ordre72: Z

8Z×Z9Z,Z2Z×Z4Z×Z9Z,

Z Z b) Déterminons à isomorphisme près tous les groupes abéliens d"ordre106. Nous avons106= 26×56. De plus les partitions de6sont 6 5,1 4,2 4,1,1 3,3 3,2,1

3,1,1,1

2,2,2

2,2,1,1

2,1,1,1,1,1

1,1,1,1,1,1

Il y a donc à isomorphisme près112= 121groupes abéliens d"ordre106.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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