ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1
ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 2.1 Sous-groupe engendré par un élément . ... 4.2 Produit direct de groupes cycliques théor`eme chinois .
3. Semaine 3 3.1. Algèbre de groupe algèbre de monoïde. Si (M
Soient A et B deux anneaux commutatifs et f : A ? B un homomorphisme d'anneau. Soit G et H deux groupes et ? : G ? H un homomorphsime de groupe. (i) Montrer
Chapitre II Notion de structure de groupe
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ACTION MOYENNABLE DUN GROUPE LOCALEMENT COMPACT
MATH. SCAND. 45 (1979) 289-304. ACTION MOYENNABLE. D'UN GROUPE LOCALEMENT COMPACT. SUR UNE ALGEBRE DE VON NEUMANN. C. ANANTHARAMAN-DELAROCHE. Abstract.
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La géométrie du groupe de Lie SU(2)
géométrie différentielle et l'algèbre abstraite. La famille d'objets à l'étude sera celle des groupes de Lie ; ce sont des objets mathématiques très
Chapitre1 : Groupes
y + x = ?y ' ?x. (1.13). Donc (Z/nZ ') est bien un groupe commutatif. (Dans la suite
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Corps minimaux contenant lalgebre du groupe libre a deux
CORPS MINIMAUX CONTENANT L'ALGEBRE. DU GROUPE LIBRE A DEUX GENERATEURS. Gerard CAUCHON. Universite de Reims U.F.R. Sciences. Departement de Mathematiques.
ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 - Université Clermont Auvergne
1 1 3 D efinition On appelle groupe commutatif ou groupe ab elien tout groupe G dont la loi ? v eri e de plus la condition suppl emen taire de commutativit e: x y = y x pour tous x;y 2 G 1 1 4 Exemples (a) Pour tout ensemble X l’ensemble S(X) des bijections de X sur X muni de la loi de
Mathématiciens de 1900 à nos jours - Encyclopædia Universalis
Dé?nition 1 Un groupe est la donnée d’un ensemble G et d’uneloi de composition interne G G ! G (xy) 7!x y qui véri?e les propriétés suivantes : 1 )la loi est associative : 8(xyz) 2G3 x (y z) = (x y)z 2 )il existe un élément e 2G qu’on appelleélément neutre qui est tel que : forallx 2G x e = e x = x
ALGÈBRE 1 - PSL
Attention : un sous-groupe d’un groupe de type ?ni n’est pas nécessairement de type ?ni (cf exerc 1 11)! Exemples 1 8 —1° Soit n 2N? Le groupe Z/nZ est engendré par la classe de tout entier premier à n 2° Voici trois ensembles de générateurs pour le groupe symétrique Sn: –toutes les transpositions;
GROUP THEORY NOTES FOR THE COURSE ALGEBRA 3 MATH 370 MCGILL
simple group under a homomorphism is for all practical purposes just the group itself The set of atoms is large in?nite in fact The classi?cation of all simple groups was completed in the second half of the 20-th century and has required thousands of pages of di?cult math
Algèbre – 1ère Partie Théorie des Groupes - univ-tlnfr
1 2 RELATIONS 7 1 1 7 L’application identique ou identité d’un ensemble Xest l’application Id X: X !X x ˆ x Si YˆX l’injection canonique de Ydans Xest l’application
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1 1 1 Dé nition (Groupe) Un groupe est un magma associatif unifère dont tous les élements sont inversibles 1 1 2 Proposition Soit (G;:) un groupe et soit un sous-ensemble de G Il existe un plus petit sous groupe Hde Gcontenant E on dit que Hest le sous groupe engendré par E noté 1 1 3 Dé nition (Morphisme de groupe)
Qui est le fondateur de l' algèbre contemporaine ?
On peut considérer Artin comme un des fondateurs de l' algèbre contemporaine ; par exemple, de l'aveu de son auteur, le livre Moderne Algebra de Van der Waerden, qui fut l'ouvrage de référence pendant trente ans, est issu de leçons professées par Emil Artin et Emmy Noether ....
Quels sont les cours d’algèbre?
La dernière partie est le cours d’algèbre, regroupant l’étude des structures algébriques (groupes, anneaux, corps), avec notamment l’étude des anneaux de polynômes, puis l’étude de l’algèbre linéaire sous son aspect vectoriel et matriciel, et en?n l’algèbre bilinéaire.
Quelle est la définition de l’algèbre?
Cela nous amène à la dé?nition suivante : Dé?nition 30.1.6 (?-algèbre, ou tribu, Spé) Soit ? un univers (?ni ou non). Une ?-algèbre A d’événements sur ? (ou tribu) est un sous-ensemble T de P(?) telle que : 1.
Comment utiliser l’algèbre ?
Utilise l’opération opposée pour annuler l’opération qui est appliquée à la variable. Fais la même chose pour les deux côtés de l’équation. Répète les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que la variable soit isolée. Nous pouvons utiliser l’algèbre pour résoudre toutes sortes de problèmes de la vie courante. C’est là que l’algèbre devient utile.
UniversiteBlaisePascal
U.F.R.SciencesetTechnologies
DepartementdeMathematiquesetInformatique
LicencedeMathematiques
Troisiemeannee,U.E.35MATF2
ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1
Polycopieducours
2007-2008
FrancoisDumas
LicencedeMathematiques,3emeannee
U.E.35MATF2
Coursd'algebre:groupesetanneaux1
FrancoisDUMAS
Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques3.Morphismesdegroupes
4.Produitdirectdegroupes.
5.Groupessym
etriques6.Groupesdi
edrauxChapitre2.{Groupes:groupesquotients
1.Sous-groupesnormaux
3.Quelquescompl
ementsChapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions
1.Anneauxetsous-anneaux
2.Id eaux3.Anneauxquotients
4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux
1.Notionsg
en erales2.Arithm
etiquedanslesanneauxprincipaux3.Arithm
etiquedanslesanneauxfactoriels4.Factorialit
edesanneauxdepolyn^omesChapitre1
Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
1.1Notiondegroupe
1.1.1D
1.1.2D
(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;1.1.3D
1.1.4Exemples.
abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.1.2Sous-groupe
C1.2.2D
sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 21.2.3Exemples.
sous-groupedeU.1.2.4Remarques.
sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.1.2.5Exemples.
sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut1.3Casparticulierdesgroupesnis
1.3.1D
1.3.2Exemples.
C1.3.3Th
eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.1.3.5Exemples.
4 11 111111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.
G1eabc
eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.G2eabc
eeabc aaecb bbcea ccbae2;1;2;3gavec:
e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques2.1Sous-groupeengendreparunelement
2.1.1Propositionetd
deGcontenantX.2.1.2D
hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x2.1.4D
d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.
2.2.1D
d'aprescequiprecede:G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.
groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 62.3Generateursd'ungroupecyclique.
2.3.1Exemplepr
eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.Figure1
2.3.2Th
eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:Pardenitionde',onpeutcalculer:
deGsontxetx1.2.4Groupesnisd'ordrepremier
1.Gestcyclique,
2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,
7 dutheoreme2.3.2.ut3.Morphismesdegroupes
3.1Notiondemorphismedegroupes
3.1.1D
f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.3.1.2Exemples.
lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut
3.2Imageetnoyau
3.2.1Propositionetd
appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.3.2.2Propositionetd
(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.
(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.3.3Isomorphismesdegroupes
3.3.1D
f1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.
G,cequiachevelapreuve.ut
3.3.3D
3.3.4Remarquesimportantes.
decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.01;(01
10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle
01;(10
01)getudieen1.3.5.cneleurestpas
reellementd'unautregroupe.3.3.5Quelquescons
equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:C4eabc
eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.3.4Automorphismesdegroupes
3.4.1D
deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.3.4.2Exemples.L'application
:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.3.4.3Propositionetd
f3.5Automorphismesinterieursetcentre.
3.5.1Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.
(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. xLespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.
11 queZ(G)=T x2GC(x).3.5.3Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2GPreuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:
x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:Cequiachevelapreuve.
4.Produitdirectdegroupes.
4.1Produitdirect(externe)dedeuxgroupes
4.1.1Propositionetd
est(e1;e2). 124.1.2Remarques.Ilestclairque:
desexemples.4.2.2Premierexempleintroductif.
satable. e=(e;e),a=(e;x),b=(x;e)etc=(x;x).DoncC2C2n'estpascyclique.
(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;e)(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;x)(e;x)(e;e)(x;x)(x;e) (x;e)(x;e)(x;x)(e;e)(e;x) (x;x)(x;x)(x;e)(e;x)(e;e)4.2.3Secondexempleintroductif.
Onetablitaisementsatable.
(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (e;")(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (x;y)(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;") (e;y2)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y) (x;")(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2) (e;y)(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;") (x;y2)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)OnconclutqueC2C3'C6estcyclique.
4.2.4Th
eor premiersentreeux. G z laisseeaulecteur.ut laforme: C nCm'Cnm()metnpremiersentreeux. 13 parunelementdeK.HK=fhk;h2H;k2Kg.2h1=k2k1
1.Lepremierproduit
Donch1
2h1=k2k1
12H\K,c'est-a-direh1
2h1=k2k1
1=e,etdonch2=h1etk2=k1.
(h;k)7!hk.4.3.2D
(1)G=HK,(2)H\K=feg,(3)8h2H;8k2K;hk=kh. (a)Exemple.Soient:G=f10c01b001
;b;c2Rg,H=f10001b001
;b2Rg,K=f10c010001
;c2Rg, produitdirectdeHparK. (b)Exemple.Soit:G=f(1001);100j;10 0j2 ;j0 01; j20 01 ;j0 0j;j0 0j2 j20 0j ;j20 0j2 g. y=j0 commelemontrelapropositionsuivante. leurproduitdirect.Posons: 145.Groupessym
etriques5.1Notiondegroupesymetrique.
5.1.1Remarquepr
nedependdoncquedesoncardinal.5.1.2D
quelconquesurlui-m^eme.OnlenoteSn. (a)Snestungroupeni,d'ordren!. tationsouslaforme=123n(1)(2)(3)(n) n3).Posons =ijk jki et=ijk ikj .Ona =ijk jik et =ijk kji .Donc 6=2;1;2;3gavec:
e=(123123); =(123231); e 2123ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e commeonl'avuen3.3.5.(d)). S etfe;3g,etunsous-grouped'ordre3quiestfe; 2g.
5.2.1D
c'est-a-dire1=.5.2.2Th
eor S 155.3Signature
5.3.1D
d'inversionsdel'entier: "()=(1)I().DoncI()=ji+ji1=2(ji)1estimpair.
2Sn,ona:"(
7!"() estunmorphismedegroupes. Q2Sn,ona
(f)=( (x1;x2;:::;xn)=Q1i x 2Sn,ona:
).Commel'applicationn'est )"().ut 5.3.4Corollaire.Soit2Sn.
deenproduitdetranspositions. 5.4Groupealterne.
5.4.1.D
noteAn. 2. etAn\X=;,onconclutquecardX=jAnj=1 2jSnj=12n!.ut
16 2gavec
=(123231). x 1=(12341342),y1=(12341423)=x2
1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2
2, x 3=(12342431),y3=(12344132)=x2
3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2
4. eabcx1y1x2y2x3y3x4y4 eeabcx1y1x2y2x3y3x4y4 aaecbx3x4y3y4x1x2y1y2 bbceay4x2y1x3y2x4y3x1 ccbaey2y3x4x1y4y1x2x3 x1x1y4y2x3y1ecx4x2aby3 y1y1y3x4x2ex1x3bcy4y2a x2x2x4y3y1by4y2eax1x3c y2y2x3x1y4y3cex2x4bay1 x3x3y2y4x1x4aby1y3ecx2 y3y3y1x2x4cy2y4aex3x1b x4x4x2y1y3ax3x1cby2y4e y4y4x1x3y2x2bay3y1cex4 Lestroiselementsa,b,c
sontd'ordre2,etlesous- groupeV=fe;a;b;cgdeA4 estlegroupedeKlein. Leshuit3-cyclesxi;yipour
1i4sontd'ordre
3.Onobtientdoncquatre
sous-groupescycliquesGi=quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
2Sn,ona:
).Commel'applicationn'est )"().ut5.3.4Corollaire.Soit2Sn.
deenproduitdetranspositions.5.4Groupealterne.
5.4.1.D
noteAn. 2. etAn\X=;,onconclutquecardX=jAnj=12jSnj=12n!.ut
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=(123231). x1=(12341342),y1=(12341423)=x2
1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2
2, x3=(12342431),y3=(12344132)=x2
3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2
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