[PDF] ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 - Université Clermont Auvergne





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ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 2.1 Sous-groupe engendré par un élément . ... 4.2 Produit direct de groupes cycliques théor`eme chinois .



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Qui est le fondateur de l' algèbre contemporaine ?

On peut considérer Artin comme un des fondateurs de l' algèbre contemporaine ; par exemple, de l'aveu de son auteur, le livre Moderne Algebra de Van der Waerden, qui fut l'ouvrage de référence pendant trente ans, est issu de leçons professées par Emil Artin et Emmy Noether ....

Quels sont les cours d’algèbre?

La dernière partie est le cours d’algèbre, regroupant l’étude des structures algébriques (groupes, anneaux, corps), avec notamment l’étude des anneaux de polynômes, puis l’étude de l’algèbre linéaire sous son aspect vectoriel et matriciel, et en?n l’algèbre bilinéaire.

Quelle est la définition de l’algèbre?

Cela nous amène à la dé?nition suivante : Dé?nition 30.1.6 (?-algèbre, ou tribu, Spé) Soit ? un univers (?ni ou non). Une ?-algèbre A d’événements sur ? (ou tribu) est un sous-ensemble T de P(?) telle que : 1.

Comment utiliser l’algèbre ?

Utilise l’opération opposée pour annuler l’opération qui est appliquée à la variable. Fais la même chose pour les deux côtés de l’équation. Répète les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que la variable soit isolée. Nous pouvons utiliser l’algèbre pour résoudre toutes sortes de problèmes de la vie courante. C’est là que l’algèbre devient utile.

UniversiteBlaisePascal

U.F.R.SciencesetTechnologies

DepartementdeMathematiquesetInformatique

LicencedeMathematiques

Troisiemeannee,U.E.35MATF2

ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1

Polycopieducours

2007-2008

FrancoisDumas

LicencedeMathematiques,3emeannee

U.E.35MATF2

Coursd'algebre:groupesetanneaux1

FrancoisDUMAS

Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

3.Morphismesdegroupes

4.Produitdirectdegroupes.

5.Groupessym

etriques

6.Groupesdi

edraux

Chapitre2.{Groupes:groupesquotients

1.Sous-groupesnormaux

3.Quelquescompl

ements

Chapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions

1.Anneauxetsous-anneaux

2.Id eaux

3.Anneauxquotients

4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux

1.Notionsg

en erales

2.Arithm

etiquedanslesanneauxprincipaux

3.Arithm

etiquedanslesanneauxfactoriels

4.Factorialit

edesanneauxdepolyn^omes

Chapitre1

Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

1.1Notiondegroupe

1.1.1D

1.1.2D

(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;

1.1.3D

1.1.4Exemples.

abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.

1.2Sous-groupe

C

1.2.2D

sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 2

1.2.3Exemples.

sous-groupedeU.

1.2.4Remarques.

sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.

1.2.5Exemples.

sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut

1.3Casparticulierdesgroupesnis

1.3.1D

1.3.2Exemples.

C

1.3.3Th

eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.

1.3.5Exemples.

4 11 111
111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.

G1eabc

eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.

G2eabc

eeabc aaecb bbcea ccbae

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

2.1Sous-groupeengendreparunelement

2.1.1Propositionetd

deGcontenantX.

2.1.2D

hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x

2.1.4D

d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.1.6Remarques. toutelementestd'ordrenidivisantjGj. estlui-m^emeinni. nietlegroupeh5i=f5m;m2Zgestinni.

2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.

2.2.1D

d'aprescequiprecede:

G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.

groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 6

2.3Generateursd'ungroupecyclique.

2.3.1Exemplepr

eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.

Figure1

2.3.2Th

eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:

Pardenitionde',onpeutcalculer:

deGsontxetx1.

2.4Groupesnisd'ordrepremier

1.Gestcyclique,

2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,

7 dutheoreme2.3.2.ut

3.Morphismesdegroupes

3.1Notiondemorphismedegroupes

3.1.1D

f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.

3.1.2Exemples.

lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8

Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut

3.2Imageetnoyau

3.2.1Propositionetd

appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.

3.2.2Propositionetd

(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut

3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.

(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.

3.3Isomorphismesdegroupes

3.3.1D

f

1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.

G,cequiachevelapreuve.ut

3.3.3D

3.3.4Remarquesimportantes.

decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.

01;(01

10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle

01;(10

01)getudieen1.3.5.cneleurestpas

reellementd'unautregroupe.

3.3.5Quelquescons

equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:

C4eabc

eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.

3.4Automorphismesdegroupes

3.4.1D

deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.

3.4.2Exemples.L'application

:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.

3.4.3Propositionetd

f

3.5Automorphismesinterieursetcentre.

3.5.1Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):

Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.

(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. x

Lespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.

11 queZ(G)=T x2GC(x).

3.5.3Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2G

Preuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:

x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:

Cequiachevelapreuve.

4.Produitdirectdegroupes.

4.1Produitdirect(externe)dedeuxgroupes

4.1.1Propositionetd

est(e1;e2). 12

4.1.2Remarques.Ilestclairque:

desexemples.

4.2.2Premierexempleintroductif.

satable. e=(e;e),a=(e;x),b=(x;e)etc=(x;x).

DoncC2C2n'estpascyclique.

(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;e)(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;x)(e;x)(e;e)(x;x)(x;e) (x;e)(x;e)(x;x)(e;e)(e;x) (x;x)(x;x)(x;e)(e;x)(e;e)

4.2.3Secondexempleintroductif.

Onetablitaisementsatable.

(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (e;")(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (x;y)(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;") (e;y2)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y) (x;")(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2) (e;y)(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;") (x;y2)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)

OnconclutqueC2C3'C6estcyclique.

4.2.4Th

eor premiersentreeux. G z laisseeaulecteur.ut laforme: C nCm'Cnm()metnpremiersentreeux. 13 parunelementdeK.HK=fhk;h2H;k2Kg.

2h1=k2k1

1.Lepremierproduit

Donch1

2h1=k2k1

12H\K,c'est-a-direh1

2h1=k2k1

1=e,etdonch2=h1etk2=k1.

(h;k)7!hk.

4.3.2D

(1)G=HK,(2)H\K=feg,(3)8h2H;8k2K;hk=kh. (a)Exemple.Soient:G=f

10c01b001

;b;c2Rg,H=f

10001b001

;b2Rg,K=f

10c010001

;c2Rg, produitdirectdeHparK. (b)Exemple.Soit:G=f(1001);100j;10 0j2 ;j0 01; j20 01 ;j0 0j;j0 0j2 j20 0j ;j20 0j2 g. y=j0 commelemontrelapropositionsuivante. leurproduitdirect.Posons: 14

5.Groupessym

etriques

5.1Notiondegroupesymetrique.

5.1.1Remarquepr

nedependdoncquedesoncardinal.

5.1.2D

quelconquesurlui-m^eme.OnlenoteSn. (a)Snestungroupeni,d'ordren!. tationsouslaforme=123n(1)(2)(3)(n) n3).Posons =ijk jki et=ijk ikj .Ona =ijk jik et =ijk kji .Donc 6=

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e commeonl'avuen3.3.5.(d)). S etfe;3g,etunsous-grouped'ordre3quiestfe; 2g.

5.2.1D

c'est-a-dire1=.

5.2.2Th

eor S 15

5.3Signature

5.3.1D

d'inversionsdel'entier: "()=(1)I().

DoncI()=ji+ji1=2(ji)1estimpair.

2Sn,ona:"(

7!"() estunmorphismedegroupes. Q

2Sn,ona

(f)=( (x1;x2;:::;xn)=Q

1i x

2Sn,ona:

).Commel'applicationn'est )"().ut

5.3.4Corollaire.Soit2Sn.

deenproduitdetranspositions.

5.4Groupealterne.

5.4.1.D

noteAn. 2. etAn\X=;,onconclutquecardX=jAnj=1

2jSnj=12n!.ut

16

2gavec

=(123231). x

1=(12341342),y1=(12341423)=x2

1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2

2, x

3=(12342431),y3=(12344132)=x2

3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2

4. eabcx1y1x2y2x3y3x4y4 eeabcx1y1x2y2x3y3x4y4 aaecbx3x4y3y4x1x2y1y2 bbceay4x2y1x3y2x4y3x1 ccbaey2y3x4x1y4y1x2x3 x1x1y4y2x3y1ecx4x2aby3 y1y1y3x4x2ex1x3bcy4y2a x2x2x4y3y1by4y2eax1x3c y2y2x3x1y4y3cex2x4bay1 x3x3y2y4x1x4aby1y3ecx2 y3y3y1x2x4cy2y4aex3x1b x4x4x2y1y3ax3x1cby2y4e y4y4x1x3y2x2bay3y1cex4

Lestroiselementsa,b,c

sontd'ordre2,etlesous- groupeV=fe;a;b;cgdeA4 estlegroupedeKlein.

Leshuit3-cyclesxi;yipour

1i4sontd'ordre

3.Onobtientdoncquatre

sous-groupescycliquesGi=quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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