[PDF] La géométrie du groupe de Lie SU(2)

View - Download La géométrie du groupe de Lie SU(2)

Previous PDF

Next PDF

La géométrie du groupe de LieSU(2)

Yvan Saint-Aubin

1

1 Une courte introduction

Déjà, dans votre courte carrière de mathématiciens, vous avez rencontré une habitude fort féconde des

mathématiciens, celle d"ajouter des contraintes ou des structures à celles déjà existantes. Dans un cours

d"algèbre linéaire, il est usuel d"étudier les espaces vectoriels abstraits, puis d"étudier ceux munis d"un

produit scalaire. Dans un cours de géométrie, l"étude porte d"abord sur les surfaces, puis sur les surfaces

munies de la première forme fondamentale. Cet ajout de contraintes ou structures semble restrictif. Mais,

même si la classe d"objets à l"étude est plus limitée, les objets sont eux plus riches et de nouvelles propriétés

émergent. Pensez à nouveau aux espaces vectoriels : sans produit scalaire, il est impossible de parler de

sous-espaces orthogonaux, d"angle entre vecteurs, de meilleure approximation, etc.

Les notes qui suivent marient deux structures qui semblent si lointaines qu"il peut sembler étonnant

qu"on ait pensé à les superposer; ces structures sont usuellement étudiées dans deux cours différents : la

géométrie différentielle et l"algèbre abstraite. La famille d"objets à l"étude sera celle desgroupes de Lie; ce

sont des objets mathématiques très séduisants. Nous en étudierons un seul.

2SU(2)est un groupe

Un groupe est un ensembleGmuni d"une opération internequi associe à toute paire d"éléments deG

un autre élément deGet ayant les propriétés suivantes : (i) le pr oduitest associatif : (fg)h=f(gh)pour toutf;g;h2G; (ii) il existe un élément e2G, appelé l"élément neutre, tel queeg=ge=gpour toutg2Get (iii) pour tout g2G, il existe un élémenth2G, appelé l"inverse deg, tel quegh=hg=e. Le groupe que nous étudierons dans ces notes est le suivant. L"ensemble est

SU(2) =fg2C22jgyg=Iet detg=1g

et l"opération interne est la multiplication matricielle. L"ensembleSU(2)est donc un ensemble de matrices

22dont les éléments de matrice sont des nombres complexes. Ces matrices vérifient deux conditions :

la seconde est d"être de déterminant1et la première estgyg=I. Ici la matriceI(l"élément neutre) est

la matrice identité22etgyest la matrice obtenue degen faisant la conjugaison complexe de tous ses éléments de matrice, puis la transposition du résultat. Voici par exemple une pairegetgy: g= a b c d! etgy=

¯a¯c

¯b¯d!

La contraintegyg=Idit donc que, pour appartenir àG, une matriceg2C22doit être telle que son inverse

est simplement obtenue en faisant ces conjugaison complexe et transposition. Cette contrainte est nommée

lacondition d"unitaritéqui explique leUdu nom de l"ensembleSU(2). (LeSsignifie "spécial», c"est-à-dire de

déterminant1.) Plusieurs matrices respectent ces deux contraintes, par exemple les trois familles (infinies)

suivantes : a() = cos2 -isin2 -isin2 cos2 ; b( ) = cos 2 -sin 2 sin 2 cos 2 etc() = e-i=20 0 e i=2! :1. Merci à Alexandre Girouard et Jordan Payette pour leurs nombreux commentaires et suggestions. 1 Pour toute valeur de; ;2R, ces matricesa();b( )etc()sont des éléments deSU(2).

Pour affirmer que l"ensemble de matricesSU(2)forme un groupe, il faut vérifier les conditions défi-

nissant un groupe. La première est la condition d"" être interne », c"est-à-dire le produit de deux matrices

unitaires et de déterminant1est unitaire et de déterminant1. (Lorsque nous noterons explicitement la mul-

tiplication matricielle, nous utiliserons le symbole "».) Puisque det(gh) =detgdethpour toute paire de

matrices, la condition sur le déterminant est satisfaite. Sigethsont dansSU(2), alorsg-1=gyeth-1=hy

et alors (gh)-11=h-1g-12=hygy3= (¯h)t(¯g)t4= (gh)t5=(gh)t= (gh)y

où chacune des étapes est justifiée comme suit : l"étape 1 suit du fait que l"inverse d"un produit matriciel est

le produit des inverses (dans l"ordre opposé!), 2 suit de l"unitarité degeth, 3 utilise la définition de "y»,

4 est la transposée d"un produit et 5 suit du fait que la conjugaison complexe et la transposition sont deux

opérations qui commutent. Ceci termine la vérification que l"opération est interne.

Les autres conditions sont beaucoup plus aisées à vérifier! L"opération interne est associative puisque la

multiplication matricielle l"est. Le neutre est la matrice identité22. Est-ce que toutg2SU(2)possède un

inversehégalement dansSU(2)? La définition même deSU(2)nous dit que cet inverse degestgy? Donc

la question est : sigest dansSU(2), est-ce quegyest aussi dansSU(2)? La réponse est oui : puisquegyg=I,

l"inverse degyestg. Ainsi l"inverse degyestg= (gy)yet est donc dansSU(2). Donc l"inverse degest dans

SU(2).

Il est temps de dresser un premier bilan :

SU(2)est un groupe.

En faitSU(2)est un exemple degroupes de Lie, une famille de groupes qui sont des " surfaces » et où la

multiplication et l"opération de prendre l"inverse sont des fonctionsC1(en fait analytiques!). Exercice1.SoitSU(n) =fg2Cnnjgyg=Innet detg=1g. Est-ce un groupe? Pour toutn? Exercice2.Pour ceux qui connaissent la théorie des groupes. (i) Est-ceSU(2)est un groupe fini? abélien? (ii) Est-ce quefa()j2RgSU(2)est un sous-groupe deSU(2)? Que dire defb( )j 2Rgetfc()j2 Rg?

Exercice3.(i) Montrer que les valeurs propres d"une matrice unitaire sont des nombres complexessur le

cercle de rayon unité :jj2=1. Suggestion : utilisez comme point de départ quejjgvjj2=jjvjj2pour tout

v2Cnsigest une matrice unitairenn. Il faudra aussi vérifier ce dernier énoncé en se rappelant de la

définition du produit scalaire surCn!)

(ii) Montrer que toute matrice unitairegest diagonalisable. Suggestion : construire une baseB=fv;w2;w3;

:::;w ngorthonormée (pour le produit scalaire surCn) dont le premier vecteurvest un vecteur propre de

g. Utiliser alors le fait que la matriceadont les vecteurs colonnes sont les éléments de la baseBest unitaire,

puis queaygaest unitaire.

3SU(2)est une surface

Les deux conditions définissant les éléments deSU(2)peuvent être aisément résolues. La condition

d"unitarité donne a b c d! -1

¯a¯c

¯b¯d!

2 Mais l"inverse d"une matricegprend une forme simple dans le cas22: a b c d! -1 =1detg d-b -c a!

Puisque les éléments deSU(2)ont déterminant1, alorsgy=g-1mène aux quatre équations que voici :

¯a=d;¯b= -c;¯c= -bet¯d=a

et donc g= a b

¯b¯a!

:(1)

La condition de déterminant unité est alors1=jaj2+jbj2. Si les nombres complexesaetbsont écrits en

termes de leurs parties réelle et imaginaire (a=x+iyetb=s+itavecx;y;s;t2R), alors la matriceg donnée en (1) est un élément deSU(2)si et seulement si x

2+y2+s2+t2=1:(2)

Ceci est l"équation d"une sphère de rayon un dans l"espaceR4où les coordonnées sont les(x;y;s;t).

Le cours de géométrie différentielle s"est concentré sur les surfaces dansR3, mais il est aisé d"étendre la

définition de surface à des ensembles dansRn;n3. Dans le cas présent, les paramétrages deSU(2)vu

comme la sphèreS3seront des fonctionsx:UR3!S3R4oùUest un ouvert deR3. Ces fonctionsx

qui couvriront la sphère devront vérifier les conditions usuelles : elles serontC1, bijective et régulière. Il est

facile d"utiliser la conditionxuxv6=1pour décider de la régularité du paramétragexdes surfaces dans

R

3. Mais, pour les surfaces dans des espaces de dimension plus grande, nous n"avons pas défini d"analogue

du produit vectoriel. Alors, pour les surfaces dansR4, remplaçons la condition du produit vectoriel non

nul par la condition que les trois vecteursxu;xvetxw2R4soient linéairement indépendants. Avec cette

généralisation, cette section permet de conclure :

SU(2)est une surface dansR4.

L"exercice suivant permet de vérifier toutes les conditions de la définition généralisée.

La bijection qu"établit l"équation (2) entre les éléments deSU(2)et les points de la sphèreS3R4

permet donc de réfléchir au groupeSU(2)en termes géométriques. Une mise en garde s"impose cepen-

dant. Premièrement nous aurions pu voir l"ensemble des matrices unitaires22comme un sous-ensemble des matrices complexes22qui est un espace euclidien réel de dimension8. Alors l"ensembleSU(2)se-

rait alors une sphère dansR8et l"analogie avec la définition de surfaces régulièresR3n"est pas aussi

convaincante puisque son plan tangent n"est pas de dimension8-1=7. Deuxièmement les groupes uni-

tairesSU(n);n3, ne sont pas des sphères dans un espace euclidien. Le groupe des matrices orthogonales

SO(3)de déterminant1n"est pas une sphère non plus. Sa géométrie est plus complexe. Sig2SO(3)est

une matrice orthogonale, chacun de ses vecteurs colonnes est de longueur unité et l"ensembleSO(3)est un

sous-ensemble de l"intersection de trois cylindres g

211+g221+g231=1; g212+g222+g232=1;etg213+g223+g233=1

dansR33'R9. (Exercice : Pourquoi sont-ce des cylindres? ou plus précisément des " cylindres généra-

lisés »?) Et ces équations n"épuisent pas les contraintes définissant une matrice orthogonale puisque ses

colonnes sont orthogonales deux à deux. Le caractère simple de la " surface » représentantSU(2)est un

peu une chance. Il nous permet de passer rapidement de la géométrie différentielle classique à ce groupe

3

de Lie. Mais l"étude des groupes de Lie en général est toujours faite à l"aide du concept de variété, une

généralisation de celui de surfaces. Exercice4.Montrer que la cartex:DR3!S3oùD=f(u;v;w)2R3ju2+v2+w2< 1getx(u;v;w) =

(u;v;w;+p1-u2-v2-w2)est un paramétrage régulier deS3. Quels sont les points deS3couverts par ce

paramétrage? Définir suffisamment de paramétrages pour que tout point deS3soit couvert par au moins

un paramétrage. En conclure queSU(2)est une surface régulière dansR4. Exercice5.Montrer quey(; ;) =a()b( )c()est un paramétrage deSU(2). Attention : il faudra

déterminer un domaine ouvertUR3tel queysoit régulière. Décrire alors l"ensemble des points deSU(2)

qui ne sont pas couverts paryet suggérer une façon de les couvrir. Exercice6.(i) Considérons les familles de matricesa();b( );c()comme des courbesa;b;c:R!SU(2)

sur le groupe. Sont-elles régulières? Remarque : il faudra étendre d"abord la définition de courbe régulière

au cas présent. (ii) Montrer quea;betcsont des grands cercles surS3.

4 Les vecteurs tangents àSU(2)en l"identité

Il est possible d"oublier queSU(2)est un groupe et de n"utiliser que le fait queSU(2)soit une surface

pour en poursuivre l"étude comme dans le cours de géométrie différentielle. Alors il suffit d"étendre les

définitions de surface dansR3à celles dansR4dont le plan tangent est de dimension3. C"est possible, mais

c"est manquer une chance de faire jouer son rôle à une des structures deSU(2). Nous opterons pour un

chemin qui fait place aux deux structures : l"algébrique (SU(2)est un groupe) et la géométrique (SU(2)est

une surface).

Commençons par l"étude du plan tangent au pointI2SU(2). Puisque les points deSU(2)sont en bijec-

tion avec ceux de la sphèreS3dansR4, le plan tangent sera de dimension3. (Exercice : vous en convaincre.)

Les trois courbesa(),b( )etc()se croisent toutes enIlorsque leur paramètre est nul. La dérivée de ces

courbes enIest donc y =dadt t=0=12i 0 1 1 0! ;y =dbdt t=0=12i 0-i i 0! ety=dcdt t=0=12i 1 0 0-1!

Puisque les points deSU(2)sont des matrices, les vecteurs tangents àSU(2)peuvent être vus comme des

matrices. Un peu étrange, mais très utile comme nous le verrons à l"instant. Remarquons que les vecteurs tangents aux trois courbesa(),b( )etc()sont des matrices anti- hermitiennes, c"est-à-dire qu"elles vérifient toutes la propriété suivante x y= -x:

L"espace tangentTIGà un groupeGen son identité est souvent notég. Alors, pourSU(2), cet espace tangent

est g =TISU(2) =fy+y +yj;;2Rg=fx2C22jxy= -xettrx=0g:(3)

L"exercice 7 ci-dessous vérifie que les trois vecteursy;y etysont linéairement indépendants (comme

il se doit puisqueyest régulière et le plan tangent enIàSU(2)est tri-dimensionnel) et démontre l"égalité

entre les deux descriptions de ce plan tangent : en termes de combinaisons linéaires des vecteurs tangents

aux courbesa(),b( )etc()d"une part et en termes de la condition d"anti-hermiticité d"autre part. 4 Il existe un produit scalaire naturel sur l"espace vectoriel des matrices anti-hermitiennesnn. Soit h;i: gg!Rdéfini par hx;yi=trxyy: (Icigpeut être l"ensemble des matrices anti-hermitiennesnn,n > 2, ou le plan tangentTISU(2).) Par exemple, le produit scalaire deyety est hy;y i=tr 12i 0 1 1 0!! y 12i 0-i i 0!! 14 tr 0 1 1 0! 0-i i 0! 14 tr i 0 0-i! =0:

Exercice7.(i) Montrer que les trois matricesy,y etysont linéairement indépendantes et qu"elles en-

gendrent donc un sous-espace de dimension réelle3dansC22. Note : les combinaisons linéaires sont à

coefficients réels; ainsi la dimension degest trois sur le corps des réels.

(ii) Montrer que ces trois matrices engendrent toutes les matrices anti-hermitiennes22de trace nulle. La

solution à cette question démontre la dernière égalité dans l"équation (3) ci-dessus.

Exercice8.(i) Montrer que la fonctionh;ivérifie les trois propriétés définissant un produit scalaire (quel

que soitn2).

(ii) Montrer que la basefy;y ;ygest orthogonale pour le produit scalaireh;iet que tous ces éléments

sont d"égale longueur. Exercice9.(i) Soitg2SU(2)etx2g. Montrer quegxg-1(=gxgy)est aussi un élément deg. Note pour ceux qui connaissent les actions de groupe : cette question montre queAd:SU(2)g!gdéfini par (g;x)7!Adg(x) =gxgyest une action deSU(2)surg. Cette action se nomme l"action adjointe.

(ii) Montrer que le produit scalaireh;ia la propriété suivante :hAdg(x);Adg(y)i=hx;yipour toutg2

SU(2)etx;y2g.

5 La première forme fondamentale deSU(2)

À nouveau, il est tentant de définir la première fondamentaleSU(2)comme la restriction du produit

scalaire surR4à la sphèreS3. Mais nous définirons plutôt une première forme intimement liée à la structure

du groupe. Cette définition se généralise de façon directe à tous les autres groupes matriciels continus.

Nous avons construit (parfois assez laborieusement) des isométries (locales) entre certaines surfaces.

(Par exemple l"exercice # 18, p. 66, de Shifrin permet de montrer que l"hélicoïde et le caténoïde sont loca-

lement isométriques.) Dans le cas du groupeSU(2), nous pouvons choisir la première forme fondamen-

tale pour qu"elle possède une infinité d"isométries non triviales, ce qui nous permettra de déterminer ai-

sément les géodésiques. Nous utiliserons en fait le produit scalaire surgpour définir la première forme

fondamentale partout sur le groupeSU(2). Au pointI, la première forme fondamentale sera simplement

g I(x;y) =hx;yi. Voici commentgest étendue aux autres points deSU(2). Soitg02SU(2)un élément du groupe et soit la fonctionLg0:SU(2)!SU(2)définie parLg0(g) =g0g

où, comme d"habitude, "» dénote la multiplication matricielle. C"est bien une fonction deSU(2)vers

SU(2)puisque le produit de deux matrices unitaires tellesg0etgest unitaire. De plus la fonctionLg0est

une bijection avecLg-1

0comme inverse. C"est un difféomorphisme deSU(2)nommé la translation à gauche

parg0.

Soient deux courbes

(t);(t)2SU(2)telles que (0) =(0) =I22. Alors les courbesLg0 etLg0 passent eng0lorsquet=0et leur vecteur tangent ent=0appartient au plan tangentTg0SU(2). La 5 première forme fondamentalegg0:Tg0SU(2)Tg0SU(2)!Rest définie par g g0(g0

0(0);g00(0)) =gI(

0(0);0(0)):(4)

Voilà! Un exercice ci-dessous montre que cette définition assure que toutes les translationsLg,g2SU(2),

sont des isométries! Il y a donc une infinité d"isométries non triviales. (Et comme l"exercice le montrera, ce

ne sont pas les seules!)

Cette définition paraît un peu redoutable. Calculons l"expression de cette première forme fondamentale

dans la base induite par le paramétragey(; ;) =a()b( )c(). Soitg0le pointy(0; 0;0)deSU(2) (pour des0; 0et0dans le domaine dey). Les trois vecteurs induits par ce paramétrage eng0sont y =a0(0)b( 0)c(0);y =a(0)b0( 0)c(0)ety=a(0)b( 0)c0(0): Pour utiliser la définition deg, il faut réécrire ces vecteurs tangents sous la formeg0

0pour une certaine

courbe . Voici ce travail fait pour le premier vecteur de la base : y =a0(0)b( 0)c(0) = (g0g-1

0)a0(0)b( 0)c(0)

=g0c(0)-1b( 0)-1a(0)-1a0(0)b( 0)c(0): Le calcul pour les deux autres est un peu plus simple : y =g0c(0)-1b( 0)-1b0( 0)c(0)ety=g0c(0)-1c0(0):

Ainsigg0exprimée dans la basefy;y ;ygen ce point est la matrice représentantgIcalculée dans la base

fv1=c(0)-1b( 0)-1a(0)-1a0(0)b( 0)c(0); v

2=c(0)-1b( 0)-1b0( 0)c(0);

v

3=c(0)-1c0(0)g:

La complexité de ces expressions est un peu décourageante. Mais il y a de bonnes nouvelles. La première

est que chacune des ces trois matricesv1;v2etv3est anti-hermitienne pour tout0; 0et0. (Voir exercice

10.) Puisque la solution de l"exercice 8 utilise le fait que les matrices considérées sont anti-hermitiennes, le

fait quev1;v2;v3appartiennent àgest une condition nécessaire pour que la définition (4) ait du sens! La

seconde bonne nouvelle est que l"expression de la première forme fondamentalegg0est étonnament simple

dans la base induitefy;y ;yg: [gg0]fy;y ;yg=12 0 B @1 0sin 0 0 1 0 sin 00 11 C A: Exercice10.(i)Montrerquea()-1a0(),b( )-1b0( )etc()-1c0()appartiennentàg,c"est-à-direqu"elles sont anti-hermitiennes. (ii) Montrer que, sig2SU(2)etx2g, alorsg-1xg2g. (iii) Calculer la forme matricielle dev1;v2etv3. Solution : v 1=12 -isin ieicos ie -icos isin ! ; v 2=12quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] montrer qu'un groupe est commutatif

[PDF] structure de groupe exercices corrigés

[PDF] calcul rdm

[PDF] calcul mfz flexion

[PDF] rdm exercices corrigés pdf

[PDF] cours rdm 1ere année genie civil

[PDF] un losange est un parallélogramme

[PDF] résistance des matériaux cours

[PDF] phenotype erythrocytaire definition

[PDF] groupe helsinki

[PDF] groupe sanguin erythrocytaire

[PDF] groupes sanguins bombay

[PDF] phénotype kell négatif

[PDF] grue liebherr 1500 tonnes

[PDF] fiche technique grue liebherr