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Université de Bordeaux

Licence de Sciences, Technologies, Santé

Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie

Structures Algébriques 1 :

Résumé de cours

Table des matières

1 Théorie des groupes 5

1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Exemple : les sous groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3 Ordre d"un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5 Le Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5.1 Rappel : relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5.2 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Le groupe des permutations 13

1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Décomposition en cycles disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Morphismes, sous-groupes normaux, groupes quotients et théorème de fac-

torisation 21

1 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2 Noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Sous-groupes normaux et morphismes : le théorème de factorisation .

25

4 Actions de groupes 27

1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Équation des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4 Une application : le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5 Anneaux 31

1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2 L"anneau

(Z/nZ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3

3 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4 Corps finis(non traité en cours). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

6 Idéaux 39

1 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2 Exemple : les anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1 PGCD, PPCM, Bézout, Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2 Décomposition en produit d"irréductibles . . . . . . . . . . . . .

43

7 Polynômes et fractions rationnelles 45

1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3 Racines et multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5 Dérivées successives, formule de Taylor et applications(non traité

en cours). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

6 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.1 Corps des fractions d"un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . .

52

6.2 Le corps des fractions rationnellesK(X). . . . . . . . . . . . . .53

4

Chapitre 1

Théorie des groupes

1 Définition et premiers exemplesDéfinition 1

Un groupe est la donnée d"un ensemble G et d"uneloi de composition interne GG!G (x,y)7!xy qui vérifie les propriétés suivantes :

1 )la loiest associative :8(x,y,z)2G3,x(yz) = (xy)z

2 )il existe un élément e2G, qu"on appelleélément neutre, qui est tel que :

forallx2G,xe=ex=x

3 )tout élément de G admet uninverse:8x2G,9y2Gjxy=yx=e.Proposition 1

Dans un groupe(G,):

1 )l"élément neutre est unique,

2 )tout élément x admet un unique inverse, que l"on note x1,

3 )e1=e,(x1)1=x pour tout élément x de G, et(xy)1=y1x1pour

tout couple(x,y)d"éléments de G.

Exemples:

•(Z,+) •(R,) 5 •(Z/nZ,+) •(Sn,) •(GLn(R),) racines de l"unit é. pr oduitdir ectde de uxgr oupes.

2 Sous-groupes

2.1 DéfinitionsDéfinition 2

Soit G un groupe noté multiplicativement. Une partie non vide H de G est un sous- groupe si

1 )8(x,y)2H2,xy2H

2 )8x2H,x12H.

Remarquons en particulier qu"un sous-groupe d"un groupeGcontient nécessaire- ment l"élément neutre deG. Clairement, la loi de groupe deG, quand on la restreint à un sous-groupeH, induit une structure de groupe surH. En pratique, on montrera souvent qu"un ensemble, muni d"une loi de composition interne est un groupe en l"identifiant à un sous-groupe d"un groupe connu.

La proposition suivante fournit une caractérisation très utile pour un sous-groupe :Proposition 2

Soit H une partie non vide d"un groupe G noté multiplicativement. Alors H est un sous- groupe si et seulement si

8(x,y)2H2,xy12H.

2.2 Exemple : les sous groupes deZThéorème et définition 1.1 (division euclidienne)

Pour tout couple d"entiers relatifs(a,b)avec b6=0, il existe un unique couple(q,r) d"entiers relatifs tels que( a=bq+r

0r Les entiers q et r s"appellent respectivement le quotient et le reste de la division eucli- dienne de a par b. 6

Preuve.

Existence : il y a deux cas à considérer, selon le signe dea. -sia0, on poseq0=maxfk2Ntels quekjbj ag,r=a jbjq0et q=q0ouq0selon quebest positif ou négatif. -sia<0, on poseq1=minfk2Ntels quekjbj ag,r=a+jbjq1et q=q1ouq1selon quebest négatif ou positif.

Unicité : facile.

Définition 3

1 )Le PGCD de deux entiers relatifs a et b non tous les deux nuls est l"entier d défini

par : d:=maxfk2Njk divise a et bg

2 )Le PPCM de deux entiers relatifs a et b non nuls est l"entier m défini par :

m:=minfk2Njk est un multiple commun à a et bg Notation: si a est un entier (quelconque), on noteaZl"ensemble de ses multiples.

Autrement dit

aZ=fam,m2Zg=fn2Zj 9m2Z,n=amg. De même, siaetbsont deux entiers, on définit aZ+bZ=fax+by,x,y2Zg=fn2Zj 9x,y2Z2Z,n=ax+byg.Proposition 3

1 )Pour tout entier a, l"ensemble aZest un sous-groupe deZ.

2 )Si a et b sont des entiers, on a l"équivalence : aZbZ,b divise a.

3 )Si a et b sont des entiers, l"ensemble aZ+bZest un sous-groupe deZ.Théorème 1

Soit F un sous-groupe deZ. Alors, il existe un unique entier naturel g tel que F=gZ. que son opposéx, donc il contient un élément strictement positif. Par conséquent, 7 l"ensembleF+=fx2Fjx>0gNest non vide. Il admet donc, comme toute partie non vide deN, un plus petit élément notég. Clairement,gappartient àF, ainsi que tous ses multiples, doncgZF. Inversement, siaest un élément (quelconque) deF, on peut effectuer la division euclidienne deaparg: a=gq+r, avecq,r2Zet 0r0, cela contredirait la définition deg, doncr=0, ce qui signifie que a2gZ.Corollaire 1 Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls. On note d leur PGCD et m leur PPCM.

1 )aZ+bZ=dZet aZ\bZ=mZ.

2 )(Théorème de Bézout) SiPGCD(a,b) =d alors il existe deux entiers u et v tels

que au+bv=d.

3 )Le PGCD de a et b est le "plus grand diviseur commun" à a et b au sens de la

relation d"ordre usuelle surZ, mais également au sens de la relation de divisibilité.

4 )Le PPCM de a et b est le "plus petit multiple commun" à a et b au sens de la

relation d"ordre usuelle surZet au sens de la relation de divisibilité. Remarque :on peut donc définir le PGCD (resp. le PPCM) de deux entiersaetb comme le générateur positif du sous-groupeaZ+bZ(resp.aZ\bZ). Si l"on adopte ce point de vue il n"y a plus lieu de conserver la restriction à"a et b non tous les deux nuls"dans la définition du PGCD et du PPCM, et on peut donc éventuellement poser

PGCD(0,0) =PPCM(0,0) =0.

3 Ordre d"un élémentDéfinition 4

Soit G un groupe dont la loi est notée multiplicativement. On dit qu"un élément x de G estd"ordre finis"il existe un entier naturel non nul k tel que xk=e. Si tel est le cas on appelleordre dex le plus petit entier k2N?tel que xk=e.Proposition 4 Soit x un élément d"ordre n d"un groupe G dont la loi est notée multiplicativement. Alors on a, pour tout m2Z, l"équivalence x m=e,n divise m. 8

Preuve.On définit, pour toutxdeG, l"ensemble

E(x) =n

k2Zjxk=eo auquel cas l"ordre dexest le générateur positif deE(x). La proposition en découle. Remarque :sixest d"ordren, les élémentsx0=e,x,x2,...,xn1sont deux à deux distincts. En particulier, l"ordre d"un élement d"un groupeGfini est majoré par le cardinal du groupe. On verra plus loin (théorème de Lagrange) qu"on a en fait une majoration beaucoup plus forte.

4 Sous-groupe engendré par une partieProposition 5

d"un groupe G est un sous-groupe de G. B La réunion de deux sous-groupes n"est en revanche pas un sous-groupe en géné- ral. Ce n"est même essentiellement "jamais" le cas, comme le montre l"énoncé suivant (exercice) "Si H et K deux sous-groupes d"un groupe G. Alors H[K est un sous-groupe de G si et seulement si HK ou KH."

La proposition 5 permet de définir la notion de sous-groupe engendré par une partie :Définition 5

Soit S une partie d"un groupe G. On appelle sous-groupe engendré par S, et on note hSi le plus petit sous-groupe contenant S. C"est l"intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent S. La définition ci-dessus est peu exploitable en pratique. On dispose de la description plus explicite suivante :Proposition 6 Soit G un groupe. Alors le sous-groupe engendré par une partie S de G est l"ensemble des éléments de la forme x #11x#22...x#rroù : r est un entier na turelnon nul, les x isont des éléments de S, •#i=1pour tout i. 9 SiS=fxgest une partie réduite à un élément d"un groupeG, on notehxile sous- groupe engendré parS. Ce cas particulier important conduit à la notion degroupe monogène.Définition 6 Un groupe G est ditmonogènes"il coïncide avec le sous-groupe engendré par un de ses éléments, autrement dit s"il existe x2G tel que G=hxi=xk,k2Z. Si de plus x est d"ordre fini n, on dit que G etcycliqued"ordre n, et on a alorshxi=e,x,x2,...,xn1. Remarque :un groupe monogène (en particulier un groupe cyclique) est automati- quement abélien. Remarque terminologique :lecardinald"un groupe cyclique engendré par un élé- mentxest donc égal à l"ordredex. Par extension, on utilise le motordrepour désigner lecardinald"un groupe quelconque, cyclique ou non. On adopte cet usage dans toute la suite.Théorème 2 Les sous-groupes d"un groupe monogènes sont monogènes. En particulier, les sous- groupes d"un groupe cyclique sont cycliques. Preuve.SiG=hxiest un groupe monogène engendré par un élémentxet siHest un sous-groupe deG, alors l"ensembleE=k2Z,xk2Gest un sous-groupe de Z, donc de la formeaZpour un entieraconvenable. Il s"ensuit queH=hxai. Exercice :soitG=e,x,x2,...,xn1un groupe cyclique d"ordren. Alors, pour tout `2Z, l"élémentx`est d"ordrenn^`. Dans le cas cyclique, le théorème de Lagrange (paragraphe suivant) montre en outre que les sous-groupes d"un groupe cyclique d"ordrensont cycliques d"ordre un divi- seur den. Inversement, on a la propositionProposition 7 Si G est un groupe cyclique d"ordre n, alors pour tout diviseur d de n il existe un unique sous-groupe G dde G d"ordre d et on a G d=D xnd E =n g2Gjgd=eo

Preuve.Voir TD

10

5 Le Théorème de Lagrange

5.1 Rappel : relations d"équivalenceDéfinition 7

Une relation binaireRsur un ensemble E est unerelation d"équivalencesi elle est •réflexive:

8x2E xRx(1.2)

•symétrique:

8x,y2E,(xRy))(yRx)(1.3)

•transitive

8x,y,z2E,(xRy et yRz))xRz(1.4)

La classe d"équivalence d"un élément x de E , notéeClR(x), est l"ensemble des éléments

de E qui sont en relation avec x. Cl

R(x) =fy2EjxRyg. (1.5)

L" ensemble quotient de E par la relation d"équivalenceR, noté E/R, est l"ensemble des classes d"équivalence de E suivantR:

E/R=fClR(x)jx2Eg(1.6)Proposition 8

L"ensemble des classes d"équivalence de E relativement à une relation d"équivalenceR forme une partition de E, c"est-à-dire que les classes sontdeux à deux disjointeset que leur réunion est égale à E.

5.2 Classes modulo un sous-groupeProposition 9 (et définition)

Soit H un sous-groupe d"un groupe G.

1 )La relation

xy si x1y2H est une relation d"équivalence sur G. La classe d"équivalence d"un élément x est égale à xH ("classeà gauchemodulo H"). L"ensemble quotient est noté G/H.

2 )De même, la relation

xy si yx12H est une relation d"équivalence sur G, qui définit des "classesà droite" Hx, dont l"ensemble est noté HnG. 11

3 )Toutes les classes (à droite ou à gauche) sont en bijection avec H.

4 )L"application xH7!Hx1définit une bijection de G/H sur HnG, qui ont donc

même cardinal. Quand celui-ci est fini on le note (G:H)et on l"appelleindicede H dans G.Théorème 3 ("Théorème de Lagrange") Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe. Alors le cardinal de H divise celui de G et on a (G:H)=jGjjHj.Corollaire 2 Si G est un groupe fini, alors son ordre est un multiple de l"ordre de chacun de ses

éléments.Corollaire 3

Tout groupe G d"ordre p premier est cyclique.

12

Chapitre 2

Le groupe des permutations

1 Définitions et premières propriétésDéfinition 1

Soit n un entier naturel non nul. L"ensemble des bijections de f1,...,ngdans lui-même s"appelle le groupe symétrique sur n éléments. On le note S n. Ses éléments s"appellent des permutations. Plus généralement, l"ensemble des bijections d"un ensemble finiEdans lui-même s"appelle le groupe des permutations deE. Il y a exactementn! façons de permuter les entiers de 1 àn. On a donc

CardSn=n!

Remarque:on ne définit pas "S0", moyennant quoi, dans la suite, l"écritureSnsou- entendra toujours quenest un entier naturel non nul. Une façon commode de noter les éléments deSnest d"utiliser un tableau à 2 lignes, la première contenant les entiers de 1 àn, et la seconde leurs images.

Exemple:

s=1 2 3 4 5

5 2 4 1 3

désigne la permutation de f1,,5gdans lui-même définie par s(1) =5,s(2) =2,s(3) =4,s(4) =1 ets(5) =3.

Sa bijection réciproque s"écrit

s

1=1 2 3 4 5

4 2 5 3 1

La composition des applications munitSnd"une structure de groupe : la composée de deux permutations est une permutation, la composition est associative,Snpossède 13 un élément neutre (l"application "identité" qui applique chaque entieri2f1,...,ng sur lui-même), tout élément a un "inverse" (bijection réciproque).

écrirasgpour désigner la composéesg.

Cependant, ce groupen"est pas commutatif: par exemple, les deux éléments s

1=1 2 3

2 1 3 ets2=1 2 3 2 3 1 deS3ne commutent pas (on as1s2=1 2 3 1 3 2 ets2s1=1 2 3 3 2 1 ).Définition 2 (support) Lesupportd"une permutations2SnnotéSuppsest le complémentaire dans f

1,,ngde l"ensembleFixsde ses points fixes. Autrement dit

Supps=fi2f1,...,ngjs(i)6=ig, Fixs=fi2f1,...,ngjs(i) =ig. Remarque : le support d"une permutationset son complémentaire sont stables pars s(Supps) =Supps,s(Fixs) =Fixs. La notion de support apparait dans la proposition (fondamentale) suivante.Proposition 1 Soientsetgdeux éléments de Snde supports disjoints. Alorssg=gs. Autrement dit, "deux permutations de supports disjoints commutent". B La réciproque est fausse : il se peut que deux permutations de supports non dis- joints commutent. Par exemple, toute permutation commute avec elle-même! Preuve.Comparons les images parsgetgsd"un élémentxdef1,...,ng Si xappartientausupportdes,alorsiln"appartientpasausupportdegpuisque ces deux supports sont disjoints, par hypothèse. Par conséquent,g(x) =xet sg(x) =s(x). (2.1) Par ailleurss(x)appartient lui aussi au support des, puisque celui-ci est stable pars(cf.remarque précédente), et n"appartient donc pas au support deg. Par conséquent, g(s(x)) =s(x). (2.2) En comparant (2.1) et (2.2) on conclut quesg(x) =g(s(x)). Le raisonnement serait l emême, en échangeant les rôles de setg, si on suppo- sait quexappartient au support deg. Enfin, si xn"appartient à aucun des deux supports, alorssg(x) =gs(x) =x. 14

2 Cycles

Définition 3

Soient n un entier naturel non nul, et k un entier compris entre2et n. Un élément sde SnnfIdgs"appelle un cycle de longueur k (ou k-cycle) s"il existe une partie f a1,a2,...,akgdef1,...ngtelle que •s(a1) =a2,s(a2) =a3,...,s(ak1) =ak,s(ak) =a1 •s(x) =x si x/2fa1,a2,...,akg.

Un tel cycle se note :s=(a1a2...ak).

Autrement dit, unk- cycle est un élément deSnqui permute circulairement les élé- ments d"une partie àkéléments def1,...nget fixe les autres : a

1!a2! ak1!ak!a1.

Exemple: DansS4le cycle(1,2,4)désigne la permutation

1 2 3 4

2 4 3 1

Noter que lesupportdu cycle(a1a2...ak)est égal àfa1,a2,...,akg. B Un mêmek-cycle peut s"écrire dekfaçons distinctes. Plus précisement, leskécri- tures suivantes a1a2...ak),(a2a3...aka1), ...,(aka1a2...ak1) désignent toutes le même cycle. À l"inverse, le support d"un cycle ne suffit pas à le définir : dansS4, les cycles(1 2 4) et(1 4 2)ont même support mais sont distincts (exercice : combien y a-t-il de cycles distincts et de support donné? Combien y a-t-il de cycles de longueurkdansSn?). Un cas particulier important est celui des cycles de longueur 2, que l"on appelletrans- positions.Proposition 2 Toute permutation peut s"écrire comme produit de transpositions. B cette décomposition n"est pas unique! Preuve.Récurrence sur le cardinal du support des: six2Suppset sitdésigne la transposition (xs(x))alors le support des0:=tsest contenu strictement dans celui des. 15

Proposition 3

L"ordre d"un k-cycle est égal à k.Proposition 4

Dans S

n, tous les cycles de même longueur sont conjugués. Plus précisément, pour un élémentsde Sn, les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)sest un cycle de longueur k. (ii)Il existeg2Sntel ques=g(1 2 ...k)g1.

3 Décomposition en cycles disjointsDéfinition 4 (orbite)

Soit x2f1,...,ngets2Sn. On appelle orbite de x sous l"action desl"ensemble Orb s(x):=n sk(x),k2No .Proposition 5 Soitsun élément de Sn. Alors, pour tout x2f1,...,ng, il existe un plus petit entier naturel non nul k tel quesk(x) =x. On a alors k=jOrbs(x)jetOrbs(x) =n x,s(x),...,sk1(x)o

Qui plus est, l"entier k divise l"ordre des.

Remarque:dans la définition de l"orbite, on peut remplacerNparZ. En effet, sis est un élément deSnd"ordrek0, alorss1=sk01et Orb s(x) =n sk(x),k2Zo .Proposition 6 Les orbites sous l"action d"une permutationsde Snfournissent une partition de l"en- semble f1,...,ng. Plus précisément, il existe des éléments x1, x2, ..., xrdansf1,...,ng tels que f1,...,ngsoit la réuniondisjointedes orbitesOrbs(x1), ...,Orbs(xr): f

1,...,ng=rG

i=1Orb s(xi). 16 Preuve.On remarque que la relation "appartenir à la même orbite" est une relation d"équivalence. Le théorème suivant est fondamental. Il fournit une décomposition "canonique" pour toute permutation.Théorème 1 Toute permutation différente de l"identité se décompose de façon essentiellement unique comme produitcommutatifde cycles disjoints. Autrement dit, pour touts2SnnfIdg il existe des cycles c

1, ..., csà supports disjoints tels que

s=c1c2...cs et cette décomposition est unique à l"ordre près des facteurs.

Preuve.

•Existence :soientW1=Orbs(x1),W2=Orbs(x2), ...,Ws=Orbs(xs)les orbites desnon réduites à un point. Elles forment une partition du support des, dont on note les cardinauxk1,k2, ...,ksrespectivement. On considère alors les cycles c 1= x

1s(x1)sk11(x1)

c 2= x

2s(x2)sk21(x2)

c s= x ss(xs)sks1(xs) et on vérifie immédiatement ques=c1c2cs. •Unicité :On suppose disposer pour une permutations2Snde deux décom- positions s=c1c2cs=d1dr en produit commutatif de cycles disjoints. Clairement, les supports dec1,c2, ..., c rcoïncident avec les orbitesnon ponctuellesdes. Comme celles-ci ne dépendent que des, et pas d"un décomposition particulière, on conclut ques=ret que, quitte à réordonner les cycles, ce qui est possible puisqu"il s"agit de produits commutatifs, on a

Suppc1=Suppd1, Suppc2=Suppd2, ...,Suppcr=Suppdr.

c moyennant quoidi=ci, et ce pour touti. 17

4 Signature

Définition 5

Soits2Sn. On dit quesréalise uneinversionsur le couple(i,j)si i s(j). On note I(s)le nombre d"inversion réalisées pars. La signature desest le nombre e(s) = (1)I(s). Autrement dit,e(s)vaut+1ou1selon quesréalise un nombre pair ou impair d"in- versions.Proposition 7

1 )La signature d"une permutations2Snest donnée par la formule

#(s) =Õ f i,jg2Ps(i)s(j)ij où le produit est pris sur l"ensemblePdes pairesfi,jgd"éléments def1,...,ng.

2 )La signature d"un produit est égale au produit des signatures :

8s2Sn,8g2Sn,#(sg) =#(s)#(g).

18

Preuve.

1 )Clair.

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