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GroupesExo7

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MotivationÉvariste Galois a tout juste vingt ans lorsqu"il meurt dans un duel. Il restera pourtant comme l"un

des plus grands mathématiciens de son temps pour avoir introduit la notion de groupe, alors qu"il avait à peine dix-sept ans.

Vous savez résoudre les équations de degré 2 du typeax2ÅbxÅcAE0. Les solutions s"expriment en

fonction dea,b,cet de la fonction racine carréep. Pour les équations de degré 3,ax3Åbx2ÅcxÅdAE

0, il existe aussi des formules. Par exemple une solution dex3Å3xÅ1AE0 estx0AE3qp5¡12

¡3qp5Å12.

De telles formules existent aussi pour les équations de degré 4.

Un préoccupation majeure au début duXIXesiècle était de savoir s"il existait des formules simi-

laires pour les équations de degré 5 ou plus. La réponse fut apportée par Galois et Abel : non il

n"existe pas en général une telle formule. Galois parvient même à dire pour quels polynômes c"est

possible et pour lesquels ce ne l"est pas. Il introduit pour sa démonstration la notion de groupe.

Les groupes sont à la base d"autres notions mathématiques comme les anneaux, les corps, les

matrices, les espaces vectoriels,... Mais vous les retrouvez aussi en arithmétique, en géométrie, en

cryptographie! Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe, puis celle de sous-groupe. On étu- diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes. Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupeZ/nZet le groupe des permutationsSn. 1.

Groupe

1.1.

Définition Définition 1

Ungroupe(G,?) est un ensembleGauquel est associé une opération?(laloi de composi- tion) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x,y2G,x?y2G(?est uneloi de composition interne) 2. pour tout x,y,z2G, (x?y)?zAEx?(y?z) (la loi estassociative) 3. il existe e2Gtel que8x2G,x?eAExete?xAEx(eest l"élément neutre)1 2

4.pour toutx2Gil existex02Gtel quex?x0AEx0?xAEe(x0est l"inversedexet est

notéx¡1)Si de plus l"opération vérifie pour tousx,y2G,x?yAEy?x, on dit queGest un groupecommutatif(ouabélien).Remarque L"élément neutreeest unique. En effet sie0vérifie aussi le point (3), alors on ae0?eAEe (careest élément neutre) ete0?eAEe0(care0aussi). DonceAEe0. Remarquez aussi que l"inverse de l"élément neutre est lui-même. S"il y a plusieurs groupes, on pourra noter eGpour l"élément neutre du groupeG. Un élémentx2Gne possède qu"un seul inverse. En effet six0etx00vérifient tous les deux le point ( 4 ) alors on ax?x00AEedoncx0?(x?x00)AEx0?e. Par l"associativité (2) et la propriété de l"élément neutre ( 3 ) alors (x0?x)?x00AEx0. Maisx0?xAEedonce?x00AEx0et ainsix00AEx0.1.2.Exemples Voici des ensembles et des opérations bien connus qui ont une structure de groupe. propriétés : 1. 2. nombres réels. 3.

1 est l"élément neutre pour la multiplication, en effet 1£xAExetx£1AEx, ceci quelque soit

4. L"inverse dexest doncx¡1AE1x. Notons au passage que nous avions exclu 0 de notre groupe, car il n"a pas d"inverse. 5. Enfin x£yAEy£x, c"est la commutativité de la multiplication des réels. -(Z,Å) est un groupe commutatif. IciÅest l"addition habituelle. 1.

Si x,y2ZalorsxÅy2Z.

2. P ourtout x,y,z2ZalorsxÅ(yÅz)AE(xÅy)Åz. 3.

0 est l"élément neutre pour l"addition, en effet 0 ÅxAExetxÅ0AEx, ceci quelque soitx2Z.

4.

L"inverse d"un élémentx2Zestx0AE¡xcarxÅ(¡x)AE0 est bien l"élément neutre 0. Quand

la loi de groupe estÅl"inverse s"appelle plus couramment l"opposé. 5. Enfin xÅyAEyÅx, et donc (Z,Å) est un groupe commutatif. -(Q,Å), (R,Å), (C,Å) sont des groupes commutatifs. -SoitRl"ensemble des rotations du plan dont le centre est à l"origineO. 3

OµR

µAlors pour deux rotationsRµetRµ0la composéeRµ±Rµ0est encore une rotation de centre

l"origine et d"angleµÅµ0. Ici±est la composition. Ainsi (R,±) forme un groupe (qui est même

commutatif). Pour cette loi l"élément neutre est la rotation d"angle 0 : c"est l"identité du plan.

L"inverse d"une rotation d"angleµest la rotation d"angle¡µ.

SiIdésigne l"ensemble des isométries du plan (ce sont les translations, rotations, réflexions

et leurs composées) alors (I,±) est un groupe. Ce groupe n"est pas un groupe commutatif. En effet, identifions le plan àR2et soit par exempleRla rotation de centreOAE(0,0) et d"angle ¼2etTla translation de vecteur (1,0). Alors les isométriesT±RetR±Tsont des applications distinctes. Par exemple les images du pointAAE(1,1) par ces applications sont distinctes : T±R(1,1)AET(¡1,1)AE(0,1) alors queR±T(1,1)AER(2,1)AE(¡1,2).OA

¼2R(A)T±R(A)OAT(A)R±T(A)¼2

Voici deux exemples quine sont pasdes groupes :

qui n"est pas un entier.

(N,Å) n"est pas un groupe. En effet l"inverse de 3 (pour l"additionÅ) devrait être¡3 mais

¡3ÝN.

Nous étudierons dans les sections

4 et 5 deux autres groupes très importants : les groupes cyc liques (Z/nZ,Å) et les groupes de permutations (Sn,±). 1.3.

Puissance

Revenons à un groupe (G,?). Pourx2Gnous noteronsx?xparx2etx?x?xparx3. Plus généralement nous noterons : -xnAEx?x?¢¢¢?x|{z} nfois, -x0AEe, -x¡nAEx¡1?¢¢¢?x¡1|{z} nfois. Rappelez-vous quex¡1désigne l"inverse dexdans le groupe.

4Les règles de calcul sont les mêmes que pour les puissances des nombres réels. Pourx,y2Get

m,n2Znous avons : -xm?xnAExmÅn, -(xm)nAExmn, -(x?y)¡1AEy¡1?x¡1, attention à l"ordre!

Si (G,?) estcommutatifalors (x?y)nAExn?yn.

1.4.

Exemple des matrices 2£2

Unematrice2£2 est un tableau de 4 nombres (pour nous des réels) notée ainsi : a b c d!

Nous allons définir l"opérationproduitnoté£de deux matricesMAE¡a bc d¢etM0AE¡a0b0

c

0d0¢:

M£M0AEÃ

a b c d! a0b0 c 0d0!

AEÃ

aa0Åbc0ab0Åbd0 ca

0Ådc0cb0Ådd0!

Voici comment présenter les calculs, on placeMà gauche,M0au dessus de ce qui va être le résultat.

On calcule un par un, chacun des termes deM£M0.

Pour le premier terme on prend la colonne située au dessus et la ligne située à gauche : on effectue

les produitsa£a0etb£c0qu"on additionne pour obtenir le premier terme du résultat. Même chose

avec le second terme : on prend la colonne située au dessus, la ligne située à gauche, on fait les

produit, on additionne :ab0Åbd0. Idem pour les deux autres termes. Ãa 0b0c 0d0! ab c d aa

0Åbc0ab0Åbd0

ca

0Ådc0cb0Ådd0!£

Par exemple siMAE¡1 10¡1¢etM0AE¡1 02 1¢alors voici comment poser les calculs (M£M0à gauche,

M0£Mà droite)Ã

1 0 2 1! 1 1

0¡1! Ã

3 1

¡2¡1!Ã

1 1

0¡1!

1 0

2 1! Ã

1 1 2 1!

alorsM£M0AE¡3 1¡2¡1¢etM0£MAE¡1 12 1¢. Remarquez qu"en généralM£M06AEM0£M.

Ledéterminantd"une matriceMAE¡a bc d¢est par définition le nombre réel detMAEad¡bc.Proposition 1 L"ensemble des matrices 2£2 ayant un déterminant non nul, muni de la multiplication des matrices£, forme un groupe non-commutatif.Ce groupe est noté (G`2,£). Nous aurons besoin d"un résultat préliminaire : 5

Lemme 1

det(M£M0)AEdetM¢detM0.Pour la preuve, il suffit de vérifier le calcul :¡aa0Åbc0¢¡cb0Ådd0¢¡¡ab0Åbd0¢¡ca0Ådc0¢AE(ad¡

bc)(a0d0¡b0c0). Revenons à la preuve de la proposition.Démonstration 1. Vérifions la loi de composition interne. SiM,M0sont des matrices 2£2 alorsM£M0aussi. Maintenant siMetM0sont de déterminants non nuls alorsdet(M£M0)AEdetM¢detM0est aussi non nul. Donc siM,M02G`2alorsM£M02G`2. 2. Pour vérifier que la loi est associative, c"est un peu fastidieux. Pour trois matricesM,M0,M00 quelconques il faut montrer (M£M0)£M00AEM£(M0£M00). Faites-le pour vérifier que vous maîtrisez le produit de matrices. 3.

Existence de l"élément neutre. Lamatrice identitéIAE¡1 00 1¢est l"élément neutre pour la multi-

plication des matrices : en effet¡a bc d¢£¡1 00 1¢AE¡a bc d¢et¡1 00 1¢£¡a bc d¢AE¡a bc d¢.

4. Existence de l"inverse. SoitMAE¡a bc d¢une matrice de déterminant non nul alorsM¡1AE

1ad¡bc¡d¡b¡c a¢est l"inverse deM: vérifiez queM£M¡1AEIet queM¡1£MAEI.

5. Enfin nous a vonsdéjà vu que cette mult iplicationn"est pas commutative .Mini-exercices 1. 2. Soitfa,b:R!Rla fonction définie parx7!axÅb. Montrer que l"ensembleFAE{fa,bja2 R 3. (Plus dur) SoitGAE]¡1,1[. Pourx,y2Gon définitx?yAExÅy1Åxy. Montrer que (G,?) forme un groupe en (a) montrant que?est une loi de composition interne :x?y2G; (b) montrant que la loi est associative; (c) montrant que 0 est élément neutre; (d) trouvant l"inverse dex. Soit (G,?) est un groupe quelconque,x,y,zsont des éléments deG. 4.

Montrer que si x?yAEx?zalorsyAEz.

5.

Que vaut

¡x¡1¢¡1?

6.

Si xnAEe, quel est l"inverse dex?

Matrices :

7.

SoientM1AE¡0¡11 0¢,M2AE¡1 21 0¢,M3AE¡1 23 4¢. Vérifier queM1£(M2£M3)AE(M1£M2)£M3.

8. Calculer ( M1£M2)2etM21£M22. (Rappel :M2AEM£M) 9. Calculer les déter minantsdes Miainsi que leur inverse. 10.

Montrer que l"ensemble des matrices 2£2 muni de l"additionÅdéfinie par¡a bc d¢Å¡a0b0

c

0d0¢AE¡aÅa0bÅb0

cÅc0dÅd0¢forme un groupe commutatif. 6 2.

Sous-groupes Montrer qu"un ensemble est un groupe à partir de la définition peut être assez long. Il existe une

autre technique, c"est de montrer qu"un sous-ensemble d"un groupe est lui-même un groupe : c"est la notion de sous-groupe. 2.1.

Définition

Soit (G,?) un groupe.Définition 2

Une partieH½Gest unsous-groupedeGsi :

-e2H, -pour toutx,y2H, on ax?y2H,

-pour toutx2H, on ax¡12H.Notez qu"un sous-groupeHest aussi un groupe (H,?) avec la loi induite par celle deG.

Par exemple six2Halors, pour toutn2Z, nous avonsxn2H.Remarque Un critère pratique et plus rapide pour prouver queHest un sous-groupe deGest : -Hcontient au moins un élément -pour toutx,y2H,x?y¡12H.2.2.Exemples -(Z,Å) est un sous-groupe de (R,Å). -{e}etGsont lessous-groupes triviauxdu groupeG. L"ensembleRdes rotations du plan dont le centre est à l"origine est un sous-groupe du groupe des isométriesI. -L"ensemble des matrices diagonales¡a00d¢aveca6AE0 etd6AE0 est un sous-groupe de (G`2,£). 2.3.

Sous-groupes de ZProposition 2

Les sous-groupes de (Z,Å) sont lesnZ, pourn2Z.L"ensemblenZdésigne l"ensemble des multiples den:

nZAEn k¢njk2Zo

Par exemple :

-2ZAE{...,¡4,¡2,0,Å2,Å4,Å6,...}est l"ensemble des entiers pairs, -7ZAE{...,¡14,¡7,0,Å7,Å14,Å21,...}est l"ensemble des multiples de 7. 7

Démonstration

Fixonsn2Z. L"ensemblenZest un sous-groupe de (Z,Å), en effet : -nZ½Z, -l"élément neutre 0 appartient ànZ, -pourxAEknetyAEk0ndes éléments denZalorsxÅyAE(kÅk0)nest aussi un élément denZ,

-enfin sixAEknest un élément denZalors¡xAE(¡k)nest aussi un élément denZ.Réciproquement soitHun sous-groupe de (Z,Å). SiHAE{0}alorsHAE0Zet c"est fini. SinonHcontient

au moins un élément non-nul et positif (puisque tout élément est accompagné de son opposé) et notons

nAEmin©hÈ0jh2Hª. AlorsnÈ0. Commen2Halors¡n2H, 2nAEnÅn2H, et plus généralement pourk2Zalorskn2H. AinsinZ½H. Nous allons maintenant montrer l"inclusion inverse. Soith2H. Écrivons la division euclidienne : hAEknÅr,aveck,r2Zet 0ÉrÇn. Maish2Hetkn2HdoncrAEh¡kn2H. Nous avons un entierrÊ0 qui est un élément deHet

strictement plus petit quen. Par la définition den, nécessairementrAE0. Autrement dithAEknet donc

h2nZ. ConclusionHAEnZ.2.4.Sous-groupes engendrés Soit (G,?) un groupe etE½Gun sous-ensemble deG. Lesous-groupe engendréparEest le plus petit sous-groupe deGcontenantE. Pour le prouver : il faut montrer queHest un sous-groupe, que 22H, et que siH0est un autre sous-groupe contenant 2 alorsH½H0. Autre exemple avec le groupe (Z,Å) : siE1AE{2}alors le sous-groupe engendré parE1estH1AE2Z. SiE2AE{8,12}alorsH2AE4Zet plus généralement siEAE{a,b}alorsHAEnZoùnAEpgcd(a,b). 2.5.

Mini-exercices

1. 2. Montrer que siHetH0sont deux sous-groupes de (G,?) alorsH\H0est aussi un sous-groupe. 3. Montrer que 5 Z[8Zn"estpasun sous-groupe de (Z,Å). 4. Montrer que l"ensemble des matrices 2£2 de déterminant 1 ayant leurs coefficients dansZ est un sous-groupe de (G`2,£). 5. Trouver le sous- groupede ( Z,Å) engendré par{¡12,8,20}. 3.

Morphismes de groupes

3.1.

Définition

8 Définition 3Soient (G,?) et (G0,¦) deux groupes. Une applicationf:G¡!G0est unmorphisme de groupessi : pour toutx,x02G f(x?x0)AEf(x)¦f(x0)

Et doncfest bien un morphisme de groupes.

3.2.

Propriétés Proposition 3

Soitf:G¡!G0un morphisme de groupes alors :

-f(eG)AEeG0, -pour toutx2G,f(x¡1)AE¡f(x)¢¡1.

Il faut faire attention où "habitent» les objets :eGest l"élément neutre deG,eG0celui deG0. Il n"y

a pas de raison qu"ils soient égaux (ils ne sont même pas dans le même ensemble). Aussix¡1est

l"inverse dexdansG, alors que¡f(x)¢¡1est l"inverse def(x) mais dansG0. f(x).Démonstration -f (eG)AEf(eG?eG)AEf(eG)¦f(eG), en multipliant (à droite par exemple) parf(eG)¡1on obtient eG0AEf(eG). Soitx2Galorsx?x¡1AEeGdoncf(x?x¡1)AEf(eG). Cela entraînef(x)¦f(x¡1)AEeG0,en composant à gauche par¡f(x)¢¡1, nous obtenonsf(x¡1)AE¡f(x)¢¡1.Proposition 4 Soient deux morphismes de groupesf:G¡!G0etg:G0¡!G00. Alorsg±f:G¡!G00 est un morphisme de groupes. Sif:G¡!G0est un morphisme bijectif alorsf¡1:G0¡!Gest aussi un morphisme de groupes.Démonstration

La première partie est facile. Montrons la deuxième : Soity,y02G0. Commefest bijective, il existe

x,x02Gtels quef(x)AEyetf(x0)AEy0. Alorsf¡1(y¦y0)AEf¡1¡f(x)¦f(x0)¢AEf¡1¡f(x?x0)¢AEx?x0AE

f ¡1(y)?f¡1(y0). Et doncf¡1est un morphisme deG0versG. 9 Définition 4Un morphisme bijectif est unisomorphisme. Deux groupesG,G0sontisomorphess"il existe un morphisme bijectiff:G¡!G0. ici par la formule bien connue : ln(x£x0)AEln(x)Åln(x0). 3.3.

Noyau et image

Soitf:G¡!G0un morphisme de groupes. Nous définissons deux sous-ensembles importants qui vont être des sous-groupes.Définition 5

Lenoyaudefest

KerfAE©x2Gjf(x)AEeG0ª

C"est donc un sous-ensemble deG. En terme d"image réciproque nous avons par définitionKerfAE f

¡1¡{eG0}¢

. (Attention, la notationf¡1ici désigne l"image réciproque, et ne signifie pas quefest

bijective.) Le noyau est donc l"ensemble des éléments deGqui s"envoient parfsur l"élément neutre

deG0.Définition 6

L"imagedefest

ImfAE©f(x)jx2Gª

C"est donc un sous-ensemble deG0et en terme d"image directe nous avonsImfAEf(G). Ce sont les éléments deG0qui ont (au moins) un antécédent parf.Proposition 5

Soitf:G¡!G0un morphisme de groupes.

1.

K erfest un sous-groupe deG.

2.

Im fest un sous-groupe deG0.

3.fest injectif si et seulement si KerfAE{eG}.

4.fest surjectif si et seulement si ImfAEG0.

10

Démonstration

1.

Montrons que le noyau est un sous-gr oupede G.

(a)f(eG)AEeG0donceG2Kerf. (b) Soient x,x02Kerf. Alorsf(x?x0)AEf(x)¦f(x0)AEeG0¦eG0AEeG0et doncx?x02Kerf. (c)

Soit x2Kerf. Alorsf(x¡1)AEf(x)¡1AEe¡1

G0AEeG0. Et doncx¡12Kerf.

2.

Montrons que l"image est un sous -groupede G0.

(a)f(eG)AEeG0donceG02Imf. (b)Soienty,y02Imf. Il existe alorsx,x02Gtels quef(x)AEy,f(x0)AEy0. Alorsy¦y0AEf(x)¦f(x0)AE f(x?x0)2Imf. (c) Soit y2Imfetx2Gtel queyAEf(x). Alorsy¡1AEf(x)¡1AEf(x¡1)2Imf. 3. Supposonsfinjective. Soitx2Kerf, alorsf(x)AEeG0doncf(x)AEf(eG) et commefest injective alorsxAEeG. DoncKerfAE{eG}. Réciproquement supposonsKerfAE{eG}. Soientx,x02Gtels

quef(x)AEf(x0) doncf(x)¦¡f(x0)¢¡1AEeG0, d"oùf(x)¦f(x0¡1)AEeG0et doncf(x?x0¡1)AEeG0. Ceci

implique quex?x0¡12Kerf. CommeKerfAE{eG}alorsx?x0¡1AEeGet doncxAEx0. Ainsifest injective. 4.

C"est c lair!3.4.Exemples

Exemple 1

1. Soitf:Z¡!Zdéfinie parf(k)AE3k. (Z,Å) est considéré comme ensemble de départ et d"arrivée de l"application Alorsfest un morphisme du groupe (Z,Å) dans lui-même car f(kÅk0)AE3(kÅk0)AE3kÅ3k0AEf(k)Åf(k0). Calculons le noyau :KerfAE{k2Zjf(k)AE0}. Mais sif(k)AE0 alors 3kAE0 donckAE0. AinsiKerfAE{0}est réduit à l"élément neutre et doncfest injective. Calculons maintenant l"imageImfAE{f(k)jk2Z}AE{3kjk2Z}AE3Z. Nous retrouvons que 3Zest un sous-groupe de (Z,Å). Plus généralement si l"on fixen2Zet quefest définie parf(k)AEk¢nalorsKerfAE{0} et ImfAEnZ. 2. Soient les groupes (R,Å) et (U,£) (oùUAE{z2Cj jzj AE1}) etfl"applicationf:R¡!U définie parf(t)AEeit. Montrons quefest un morphisme :f(tÅt0)AEei(tÅt0)AEeit£eit0AE f (t)£f(t0). Calculons le noyauKerfAE{t2Rjf(t)AE1}. Mais sif(t)AE1 alorseitAE1 donc tAE0 (mod2¼). D"oùKerfAE{2k¼jk2Z}AE2¼Z. Ainsifn"est pas injective. L"image def estUcar tout nombre complexe de module 1 s"écrit sous la formef(t)AEeit. 3. formule vue plus haut (lemme 1 )det(M£M0)AEdetM£detM0implique quefest un morphisme n"est pas injectif car par exemple det¡1 00t¢AEdet¡t00 1¢.

Attention : ne pas confondre les différentes notations avec des puissances¡1 :x¡1,f¡1,f¡1¡{eG0}¢:

-x¡1désigne l"inverse dexdans un groupe (G,?). Cette notation est cohérente avec la notation

-Pour une application bijectivef¡1désigne la bijection réciproque. Pour une application quelconquef:E¡!F, l"image réciproque d"une partieB½Fest

f¡1(B)AE©x2Ejf(x)AEBª, c"est une partie deE. Pour un morphismef,KerfAEf¡1¡{eG0}¢est

11donc l"ensemble desx2Gtels que leur image parfsoiteG0. Le noyau est défini même sif

n"est pas bijective.Mini-exercices 1. groupes. Déterminer le noyau def.fest-elle injective? surjective? 2.

Mêmes questions pourf: (R,Å)¡!(R,±), qui à un réelµassocie la rotation d"angleµ

de centre l"origine.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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