Cours : Groupes
(R?×) est un groupe commutatif
Groupes sous-groupes
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf
Alg`ebre 1-GROUPES
des applications est un groupe. Il peut être non commutatif même si. G l'est [exercice : montrer que c'est le cas pour G = Z/2Z × Z/2Z].
Chapitre1 : Groupes
Si de plus ? est commutative on dit que (G
Groupes anneaux
anneaux
1 Exemples de groupes sous-groupes
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/calaque/Enseignements/TD-groupes.pdf
Sans titre
Comment montrer qu'un groupe est cyclique ? 5. Comment montrer qu'un un groupe commutatif et T l'ensemble des éléments de G d'ordre fini. Montrer que T ...
´Enoncés des exercices
%20anneaux
Chapitre II Notion de structure de groupe
Définition : Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne alors est dit commutatif (ou abélien). ... Ce qui nous montre que ( ) ( ) ...
Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations
Si de plus la loi est commutative
Exo7 - Cours de mathématiques
la loi de groupe est ¯ l’inverse s’appelle plus couramment l’opposé 5 En?n x¯ y? y¯x et donc (Z¯) est un groupe commutatif – (Q¯) (R¯) (C¯) sont des groupes commutatifs – Soit R l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine O
Cours de mathématiques - Exo7
Le groupe (A ) est-il commutatif? Montrer que l’ensemble H formé des éléments f ? A tels que f(x)?f(y) = x?y pour tous xy ? R forme un sous-groupe de A En préciser les éléments 3 Soit G un sous-ensemble non vide ?ni de GL n Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes: (1) G est un sous-groupe de GL n (2
TD1 - Relation d’équivalence ensemble quotient
1) Montrer que HK est un sous-groupe de G 2) Soit ? : H ×K ? HK l’application dé?nie par ?(hk)=hk 2 1) Montrer que ? est un morphisme de groupes 2 2) Déterminer l’image de ? et montrer que ker ? = {(hh?1)h? H ?K} 2 3) Montrer que HK est isomorphe à un quotient du groupe H × K par un sous-groupe bien choisi
Exercices sur les groupes 1 Les inexcusables
1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif
Exercices sur les structures algébriques - normale sup
montrer que (]?1;1[?) est un groupe commutatif Montrer qu'il est isomorphe à (R+) Exercice 5 On considère l'ensemble constitué des six fonctions de R{0;1} dans lui-même suivantes : f 1(x) = x f 2(x) = 1 1?x f 3(x) = x x?1 f 4(x) = 1 x f 5(x) = 1 ? x et f 6(x) = x?1 x Montrer qu'il s'agit d'un groupe pour la
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Dé?nition 1 1 Un groupe est un triplet (Gme) composé d’un ensemble G d’une application m : G×G ? G (aussi appelée loi de composition interne) et d’un élément e ? G tels que : i) la loi m est associative : ?(g 1g 2g 3) ? G3 m(m(g 1g 2)g 3) = m(g 1m(g 2g 3)) ii) l’élément e est neutre : ?g ? G m(eg) = m
Comment montrer qu’un ensemble est un groupe ?
Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la dé?nition peut être assez long. Il existe uneautre technique, c’est de montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe est lui-même un groupe : c’estla notion de sous-groupe. Soit (G,?) un groupe. e2H, pour toutx2H, on ax¡12H.
Comment montrer qu'un groupe est un groupe monogène ?
Pour les group es faut con aître la clas ication. Lemme Montrer 2. 15). est un groupe monogène (ni ou inni). Montrer que est non réduit à l'élément neutre (voirPrépa Agreg G. On sup ose de est commutatif. est commutatif. 6) 5) Complément. ? 3 Group e quotient G. On dénit des nombres premiers distincts). pour RH 8x ) 8x xHx1 0RHnG). ). :
Comment montrer qu'un morphisme est un pro duit de commutateurs ?
Z(O(V)),Z(SO(V)). Group e dérivé un group e. Pour commutateurs. est un pro duit de commutateurs. D(G) = 1. un morphisme de group es. Montrer que l'est). l'est pas. est (surjectif (resp. bijectif ) si l'est). Don er un exemple où Z(G) =G? ker'. groupe ab élien. Montrer que tout morphisme se : G!G=D(G). Homg r . (G=D(G); A)!Homg r . Homg r.
Comment écrire les permutations ?
Notation 9.10Ceci mène à une nouvelle manière d’écrire les permutations. Un cycle est noté enindiquant entre des parenthèses les images successives d’un point de son orbite non ponctuelle, parexemple la notation?= (134)désigne le3-cycle tel que?(1) = 3,?(3) = 4et?(4) = 1.
1. Comment montrer qu'un élément d'un groupe
est d'ordre fini ?2. Comment montrer qu'un sous-groupe
est engendré par une partie non vide ?3. Comment montrer qu'un groupe est monogène ?
4. Comment montrer qu'un groupe est cyclique ?
5. Comment montrer qu'un sous-groupe
d'un groupe est distingué (ou invariant) ?6. Comment déterminer la signature
d'une permutation ?7. Comment montrer qu'un élément d'un anneau
est nilpotent ?8. Comment montrer qu'une partie d'un anneau
est un idéal ?9. Comment calculer dans
nZZStructures algébriques (compléments)
méthode1 14Structures algébriques (compléments)
Comment montrer qu"un élément d"un groupe
est d"ordre fi ni ? Soit (,)G un groupe d'élément neutre e et soit aG.Pour montrer que
a est d'ordre fini, on montre qu'il existe nN tel que n ae .On appelle ordre de
,a le plus petit entier naturel non nul n tel que n ae.Exemple
Soit 4 4 , 1Gz z C1, i, i,1. On sait que 4G muni de la multiplication est un
groupe. Trouver l'ordre de chacun des éléments de 4 G.On a :
411, donc 1 est d'ordre fini, ici ordre 1 2 ;
4 i1, donc i est d'ordre fini, ici ordre i 4 ; 4 i1, donc i est d'ordre fini, ici ordre i 4.Exercices
Ex. 1. • Soit (,)G un groupe d'élément neutre e et soit x un élément de G tel que n xe pour un entier naturel n.Montrer que l'ordre de
x divise n. E x. 2. • Soient (,)G un groupe, x et y deux éléments de G.Montrer que si a.
x, y et xy sont d'ordre 2, alors xy yx ;Montrer que si b.
x est d'ordre fini, alors 1 x est d'ordre fini, de plus x et 1 x ont le même ordre ;Montrer que si c.
x est d'ordre fini alors 1 yxy est d'ordre fini, de plus x et 1 yxy ont le même ordre ;Montrer que si d.
xy est d'ordre fini alors yx est d'ordre fini, de plus xy et yx ont le même ordre.Ex. 3. • Soient
G, 'G deux groupes, :'fGG un morphisme de groupes, x un élément deG d'ordre fini et n l'ordre de x.
Montrer que
fx est d'ordre fini dans 'G et que l'ordre de fx divise n.Ex. 4. • Soit
,G un groupe commutatif et T l'ensemble des éléments de G d'ordre fini.Montrer que
T est un sous-groupe de G.
Ex. 5. • Trouver l'ordre de chacun des éléments de 11ZZ 0,. méthode2 15Comment montrer qu"un sous-groupe
est engendré par une partie non vide ?Soient
(,)G un groupe, A une partie non vide de G et H un sous-groupe de G.Pour montrer que
H est engendré par A, on montre que pour tout x ,H il existe n N, 1 n aaA et 1 ,, 1,1 n tels que 1 1 n n xa aAutrement dit :
1 11 1 , , , , , , 1,1 n nn nHxaaaaA
Exemple
Soient ,AB deux sous-groupes d'un groupe ,G on considère le sous-groupe S engendré par .ABMontrer que tout élément de
S est obtenu comme produit d'une
suite finie d'éléments appartenant alternativement àA et à .B
Soit xS, il existe donc
1 n ccAB, 1 ,, 1,1 n tels que 12 12 n n xcc cOn peut supposer que
1 cA, soit 1 i le plus grand entier de l'ensemble 1, ,n tel que 1 i cA ; si 1 in donc xA, sinon soit 2 i le plus grand entier de 11, ,in tel que
xB ; si 2 in alors 12 x avec 11 1 11 i i cc et 11 11 2 in in ccB , sinon soit 3 i le plus grand entier de 21, ,in tel que
3 i cA ; si 3 in alors 123x avec 21
21
3 in in ccA et ainsi de suite.
Il existe donc
13 21 p A 24 2p
B tels que
123 2p
x ou12 212 21
ppp xExercices
Ex. 1. • Soit n
N, montrer que le groupe
nS des permutations de 1, ,n est engendré
par les cycles de n SEx. 2. • Soit n
N, montrer que
nS est engendré par les transpositions.
Ex. 3. • Soit
nN, montrer que
n S est engendré par les 1n transpositions suivantes :1, 2, (2,3),, ( 1, ).nn
Ex. 4. • Soit n
N, montrer que
nS est engendré par ,Hs où 1, 2 et
1, 2, ,sn.
méthode 16Structures algébriques (compléments)
3Comment montrer qu"un groupe est monogène ?
Soit ,G un groupe.Pour montrer que
G est monogène, on montre qu'il existe aG tel que G soit le sous-groupe engendré par a.Autrement dit : Il existe
aG tel que n GanZ. On remarque que tout groupe monogène est commutatif.Exemple
Soit n
N et notons par
, 1 n nUz z C. On sait que
nU muni de la multiplication
des nombres complexes est un groupe. Montrer que nU est monogène.
nU est l'ensemble des racines
ièmes n de l'unité.On a donc :
2i e, 0,, 1 k nn Ukn Po sons 2i e n a , on a pour tout 0, , 1kn, 2i e kquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] calcul rdm
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